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江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试

时间:2015-01-18


江苏省南通中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试 高三数学试卷(理)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 ........

(必做题部分)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 A ? ?x | x ? 3|? 1? , B ? x x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,则 A

?

?

B?





2 2 2 2、已知 a , b , c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ≥ 3 ”的否命题是______

▲_____. 3、若 sin(? ?

?
12

)?

1 7? , 则 cos( ? ? ) 的值为 3 12


▲ .

.

4、函数 f ( x ) ? x ? 2 ln x 单调递减区间是

5、已知|a|= 2 ,|b|=3,a 和 b 的夹角为 45°,若向量(λa+ b)⊥(a+λb),则实数 λ 的值 为 ▲ .

6 、设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x? 4 ) ,当

x ? (?2 ,0 ) 时, f ( x) ? 2x ,则 f (2012) ? f (2013) =



. ▲ .

7、设 ?an ? 是正项数列,其前 n 项和 Sn 满足: 4Sn ? (an ?1)(an ? 3) ,则 an =

8 、 已 知 命 题 p : f ( x) ? 1 ? a ? 3x 在 x ? ?? ?,0? 上 有 意 义 , 命 题 q : 函 数

R .如果 p 和 q 有且仅有一个正确,则 a 的取值范围 的定义域为 y?l g ( a2 x ? x? a )
▲ .

9、设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C ,动点 A( x, y ) 在曲线 C 上,过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合) ,设线段

y A B

O

AB 的长为 f ( x) ,则函数 f ( x) 单调递增区间 ▲

. ▲

? 2


?

x

1 1 10、当 0 ≤ x ≤ 时, | ax ? 2x3 |≤ 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 2

11、已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线, 则实数 a 的取值范围是 ▲ 2sin x+1 ? π? 12、设 x∈?0, ?,则函数 y= 的最小值为___▲_____. 2? sin 2x ?
1
2

13、设实数 a ? 1 ,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ?? a, 3a? ,都有 y ?[a, a2 ] 满足方 程 loga x ? loga y ? c ,这时,实数 a 的取值的集合为 14、已知函数 f ( x) ? ? ▲ .

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
▲ .

序排列成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15、设向量 a =(4cosα ,sinα ), b =(sinβ ,4cosβ ), c =(cosβ ,-4sinβ ). (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求 b ? c 的最大值; (3)若 tanα tanβ =16,求证: a ∥ b .

16、(本题满分 14 分)

a ( x ? x?1 ) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 . a ?1 (1)求函数 f ( x) 的解析式,并判断其奇偶性和单调性;
已知函数 f (loga x) ?
2

(2)对于函数 f ( x) ,当 x ? (?1,1) 时, f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 ,求实数 m 的取值范围; (3)当 x ? (??,2) 时, f ( x) ? 6 的值恒为负数,求函数 a 的取值范围.

17、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn = 2 ? an , n ? 1, 2,3, ?. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式; (III)设 cn ? n(3 ? bn ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

2

18、 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯, 样式如图中实线部分所示. 其 上部分是以 AB 为直径的半圆, 点 O 为圆心, 下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, DE、 π DF 是两根支杆,其中 AB=2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x< ).现在弧 EF、线段 DE 与线 4 段 DF 上装彩灯,在弧 AE、弧 BF、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯.若每种灯的“心悦效 果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为 2k,节能灯的比例系数为 k(k >0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和. (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ( x ? R )的图象为曲线 C . 3 (1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐
标的取值范围; (3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的 所有直线方程;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } , {bn } 满足: bn ? an?1 ? an ? n ? N *? . (1)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn?1bn?1 ? bn ? n ? 2? ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 . ①记 cn ? a6n ?1 ? n ? 1? ,求证:数列 ?cn ? 为等差数列;
?a ? ②若数列 ? n ? 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项 a1 应满足 ?n?

的条件.

3

江苏省南通中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试 数学Ⅱ(理科附加题)
21、自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA,切点为 A,M 为 PA 的中点,过点 M 引圆 O 的 割线交该圆于 B、C 两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,则∠MPB 的大小 .

22、 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE 与 AC 交于点 F. ⑴判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若 AE=6,BE=8,求 EF 的长. A O F B C D E

23. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如右图所示) ,现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方法有______种.

24.已知 (1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x), 2

an ( x), an?1 ( x) .

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),

? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x) .

(1)若 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求 n 的值; (2)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2
n?1

(n ? 2) ?1 .

4

江苏省南通中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试 高三数学答卷(理)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 1. 2. 3. 姓名 ___________ 5. 10. 6. 11. 7. 12. 8. 13. 9. 14.

4.

二、解答题:本大题共 5 小题;共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)

座位号__________ 答题卡号 _____________

装订线内请勿答题 16. (本小题满分 14 分)

班级___________

5

17. (本小题满分 15 分)

18. (本小题满分 15 分)

6

19. (本小题满分 16 分)

7

20. (本小题满分 16 分)

8

数学Ⅱ(理科附加题)答卷
21、 已知 OA、 OB 是⊙O 的半径, 且 OA⊥OB, P 是线段 OA 上一点, 直线 BP 交⊙O 于点 Q,过 Q 作⊙O 的切线交直线 OA 于点 E,则∠OBP+∠AQE 的度数为

姓名 ___________

22、 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE 与 AC 交于点 F. ⑴判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若 AE=6,BE=8,求 EF 的长. A O F B 装订线内请勿答题 C D E

班级___________

答题卡号 _____________

座位号__________

9

23. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试,由于其中两所学 校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数 是 . (用数字作答)

24.已知 (1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x), 2

an ( x), an?1 ( x) .

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),

? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x) .

(1)若 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求 n 的值; (2)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2n?1 (n ? 2) ?1 .

10

江苏省南通中学 2012—2013 学年度第一学期中考试 高三数学试卷(理)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 ........

(必做题部分)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 A ? ?x | x ? 3|? 1? , B ? x x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,则 A

?

?

B?

{4} .

2 2 2 b, 2、 已知 a , 命题 “若 a ? b ? c ? 3 , 则 a ? b ? c ≥ 3 的否命题是___________. c? R,
2 2 2 若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c < 3 ;

3、若 sin(? ?

?
12

)?

1 7? , 则 cos( ? ? ) 的值为 3 12


?

1 3

. 。 (0,2)

4、函数 f ( x ) ? x ? 2 ln x 单调递减区间是

5、已知|a|= 2 ,|b|=3,a 和 b 的夹角为 45°,若向量(λa+ b)⊥(a+λb),则实数 λ 的值 为 ▲ .
?11 ? 85 6

6 、设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x? 4 ) ,当

x ? (?2 ,0 ) 时, f ( x) ? 2x ,则 f (2012) ? f (2013) =





1 2
▲ .

7、设 ?an ? 是正项数列,其前 n 项和 Sn 满足: 4Sn ? (an ?1)(an ? 3) ,则 an =

2n ? 1
8 、 已 知 命 题 p : f ( x) ? 1 ? a ? 3x 在 x ? ?? ?,0? 上 有 意 义 , 命 题 q : 函 数 的 y?l g ( a2 x ? x? a ) 定义域为 R .如果 p 和 q 有且仅有一个正确,则 a 的取值范 围 . (??, ]

1 2

(1, ??)
y A B

9、设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C ,动点 A( x, y ) 在曲线 C 上,过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合) ,设线段

AB 的长为 f ( x) ,则函数 f ( x) 单调递增区间

.[

?
2

,? ]

O

? 2

?

x

1 1 3 10 、 当 0 ≤ x ≤ 时 , | ax ? 2 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 ≤ | 2 2

11



1 3 . [? , ] 2 2

11、已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线, 则实数 a 的取值范围是 ▲

a?

1 3

2 2sin x+1 ? π? 12、设 x∈?0, ?,则函数 y= 的最小值为________. 3 2? sin 2x ?

13、设实数 a ? 1 ,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ?? a, 3a? ,都有 y ?[a, a2 ] 满足方 程 loga x ? loga y ? c ,这时,实数 a 的取值的集合为 14、已知函数 f ( x) ? ? ▲ 。 {3}

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)
▲ 。

大的顺序排列成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n , 则 S10 = A. 210 ? 1 B. 2 9 ? 1 C.45

D.55

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15、设向量 a=(4cosα ,sinα ),b=(sinβ ,4cosβ ),c=(cosβ ,-4sinβ ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tanα tanβ =16,求证:a∥b. 解、(1)因为 a 与 b-2c 垂直,所以 a·(b-2c)=a·b-2a·c=0. 所以 4sin(α +β )-8cos(α +β )=0,所以 tan(α +β )=2. (2)由条件得,b+c=(sinβ +cosβ ,4cosβ -4sinβ ). 2 2 2 2 2 所以 |b + c| = sin β + 2sinβ cosβ + cos β + 16cos β - 32cosβ sinβ + 16sin β = 17-30sinβ cosβ =17-15sin2β . 又 17-15sin2β 的最大值为 32, 所以|b+c|的最大值为 4 2. (3)证明:由 tanα tanβ =16 得,sinα sinβ =16cosα cosβ ,即 4cosα ·4cosβ - sinα sinβ =0,所以 a∥b. 16、(本题满分 14 分) 解: (1)由 f (loga x) ?

a a ( x ? x?1 ) 得 f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ) ,…………………………2’ a ?1 a ?1
2

因为定义域为 R, f (? x) ? 2 因为 f ?( x) ?

a (a? x ? a x ) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数,……4’ a ?1
2

a ln a x (a ? a? x ) ,当 0 ? a ? 1 及 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 2 a ?1 所以 f ( x) 为 R 上的单调增函数;……………………………………………………6’

(2)由 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ? f (m2 ? 1) ,
12

1 1 ? , 又 x ? (?1,1) , 则 ?1 ?1 ? m ? m2 ? 得1 ? m ? 2 ; ……………………………10’

(3)因为 f ( x) 为 R 上的单调增函数,所以当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 6 的值恒为负数, 所以 f ( x) ? 6 ? 0 恒成立,

f (2) ? 6 ?

a (a2 ? a?2 ) ? 6 ? 0 ,…………………………………………………12’ a ?1
2

整理得 a 2 ? 6a ? 1 ? 0 ,所以 3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2 , 又 a ? 0 且 a ? 1 ,所以实数 a 的取值范围是 [3 ? 2 2,1) (1,3 ? 2 2] .…………14’ 错误!未找到引用源。 17、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn = 2 ? an , n ? 1, 2,3, ?. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式; (III)设 cn ? n(3 ? bn ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (Ⅰ)∵ n ? 1 时, a1 ? S1 ? a1 ? a1 ? 2 当 n?2 时 , ∴ a1 ? 1 两 式 相 减:

∵ Sn ? 2 ? an 即 an ? Sn ? 2 , ∴ an?1 ? Sn?1 ? 2

an?1 ? an ? Sn?1 ? Sn ? 0 即 an?1 ? an ? an?1 ? 0
故有 2an?1 ? an ∵ an ? 0 ,∴

an ?1 1 ? (n ? N * ) an 2

1 1 n ?1 * 的等比数列, an ? ( ) ( n ? N ) ??? 6 分 2 2 1 n ?1 ( ) (Ⅱ)∵ bn?1 ? bn ? an (n ? 1, 2,3,…) ,∴ bn ?1 ? bn ? 2 1 1 1 n?2 b3 ? b2 ? b4 ? b3 ? ( ) 2 ? bn ? bn ?1 ? ( ) 得 b2 ? b1 ? 1 ( n ? 2,3 ?) 2 2 2 1 1 ? ( )n ?1 1 1 2 1 3 1 n?2 1 2 将这 n ? 1 个等式相加 bn ? b1 ? 1 ? ? ( ) ? ( ) ? … ? ( ) ? ? 2 ? 2( ) n ?1 1 2 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 又∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? 3 ? 2( ) ( n ? 1, 2,3 ?) ????? 12 分 2 1 n ?1 (Ⅲ)∵ cn ? n(3 ? bn ) ? 2n( ) 2 1 0 1 1 2 1 n?2 1 n ?1 ∴ Tn ? 2[( ) ? 2( ) ? 3( ) ? … ? ( n ? 1)( ) ? n( ) ] ① 2 2 2 2 2
所以,数列 {an } 为首项 a1 ? 1 ,公比为
13

1 1 1 1 1 ② 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 2 1 n ?1 1 n ①-②得: Tn ? 2[( ) ? ( ) ? ( ) ? … ? ( ) ] ? 2n( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? 4n( 1 )n ? 8 ? 8 ? 4n( 1 ) n ? 8 ? (8 ? 4n) 1 (n ? 1, 2,3, …) ? 16 分 Tn ? 4 1 2 2n 2 2n 1? 2
2 3 n ?1 n 而 Tn ? 2[( ) ? 2( ) ? 3( ) ? … ? ( n ? 1)( ) ? n( ) ]

1 2

18、 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯, 样式如图中实线部分所示. 其 上部分是以 AB 为直径的半圆, 点 O 为圆心, 下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, DE、 π DF 是两根支杆,其中 AB=2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x< ).现在弧 EF、线段 DE 与线 4 段 DF 上装彩灯,在弧 AE、弧 BF、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯.若每种灯的“心悦效 果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为 2k,节能灯的比例系数为 k(k >0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和. (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?

解:(1) 因为∠EOA=∠FOB=2x,所以弧 EF、AE、BF 的长分别为 π-4x,2x,2x.(3 分) π 连结 OD,则由 OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+ , 2 π 所以 DE=DF= 1+1-2cos?2x+ ?= 2+2sin2x= 2(sinx+cosx).(6 分) 2 所以 y=2k[2 2(sinx+cosx)+π-4x]+k(2 2+4x) =2k[2 2(sinx+cosx)-2x+ 2+π](9 分) (2) 因为由 y′=4k[ 2(cosx-sinx)-1]=0,(11 分) π 1 π 解得 cos(x+ )= ,即 x= .(13 分) 4 2 12 π π 又当 x∈(0, )时,y′>0,所以此时 y 在(0, )上单调递增; 12 12 π π π π 当 x∈( , )时,y′<0,所以此时 y 在( , )上单调递减. 12 4 12 4 π 故当 x= 时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.(16 分) 12 19. (本小题满分 16 分) 解: (1) f ?( x) ? x ? 4 x ? 3 ,则 f ?( x) ? ( x ? 2) ? 1 ? ?1,
2 2

即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 ?? 1,??? ;------------4 分 (2)由(1)可知, ? 1

? ? k ? ?1 ---------------------------------------------------------6 分 ? ? ?1 ? ? k
14

2 2 解得 ? 1 ? k ? 0 或 k ? 1 ,由 ? 1 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 或 x ? 4 x ? 3 ? 1

得: x ? ? ?,2 ? 2 ? (1,3) ? 2 ? 2,?? ;-------------------------------9 分 (3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x2 , y 2 ) ,

?

?

?

?

x1 ? x 2 ,
则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 ? 3 x1 ) ? ( x1 ? 4 x1 ? 3)( x ? x1 ) ,

1 3

3

2

2

2 3 2 x1 ? 2 x1 ) ,--------------------------11 分 3 2 3 2 2 而过 B ( x2 , y 2 ) 的切线方程是 y ? ( x 2 ? 4 x 2 ? 3) x ? (? x 2 ? 2 x 2 ) , 3
化简得: y ? ( x1 ? 4 x1 ? 3) x ? (?
2

由于两切线是同一直线, 则有: x1 ? 4x1 ? 3 ? x2 ? 4x2 ? 3 ,得 x1 ? x2 ? 4 ,----------------------13 分 又由 ? 即?
2 2

2 3 2 3 2 2 x1 ? 2 x1 ? ? x 2 ? 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 2( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0 3

1 2 2 ? ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,即 x1 ( x1 ? x2 ) ? x2 2 ? 12 ? 0 3
即 (4 ? x2 ) ? 4 ? x2 ? 12 ? 0 , x2 ? 4x2 ? 4 ? 0 得 x2 ? 2 ,但当 x2 ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 4 得 x1 ? 2 ,这与 x1 ? x 2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。----------------------------------16 分 20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } , {bn } 满足: bn ? an?1 ? an ? n ? N *? . (1)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn?1bn?1 ? bn ? n ? 2? ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 . ①记 cn ? a6n ?1 ? n ? 1? ,求证:数列 ?cn ? 为等差数列;
?a ? ②若数列 ? n ? 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项 a1 应满足 ?n?
2 2

的条件. 20.解: (1)当 n ? 2 时,有

15

an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ?

? ? an ? an?1 ? ? a1 ? b1 ? b2 ?

? bn?1 ?

n2 n ? ? 1. 2 2

又 a1 ? 1 也满足上式,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (2)①因为对任意的 n ? N * ,有 bn ? 6 ? 所

n2 n ? ? 1 .?????4 分 2 2

bn ? 5 b 1 ? ? n ?1 ? bn , bn ? 4 bn ? 3 bn ? 2





cn?1 ? cn ? a n? ? a n? ? b n? ? b n ? b n? ? b n? ? b n? 6? b n? ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?
所以,数列 ?cn ? 为等差数列. ②设 cn ? a6n?i ? n ? N *? (其中 i 为常数且 i ??1,2,3,4,5,6? ,

1 1 ? ? 7, 2 2

5

???????? 8 分

所以, cn?1 ? cn ? a6n?6?i ? a6n ?i ? b6n?i ? b6n?i ?1 ? b6n?i ? 2 ? b6n?i ?3 ? b6n?i ? 4 ? b6n?i ?5 ? 7 , 即数列 ?a6n?i ? 均为以 7 为公差的等差数列. ???????? 10 分

7 7 7 i ? 6k ? ? ai ? i ai ? i a6 k ? i ai ? 7k 6 ? 7 6 ? ? 6 . ? ? 设 fk ? 6k ? i i ? 6k i ? 6k 6 i ? 6k

(其中 n ? 6k ? i, k ? 0, i 为 ?1, 2,3, 4,5,6? 中一个常数)

a 7 7 当 ai ? i 时,对任意的 n ? 6 k ? i ,有 n ? ; ???????? 12 分 6 n 6 7 7 ai ? i ai ? i ?6 7 6 6 ? ?a ? 7i? 当 ai ? i 时, f k ?1 ? f k ? . ? ? i ? 6 ? k ? 1? ? i 6k ? i ? 6 ?? 6 ?6 ? k ? 1? ? i ? ? ? 6k ? i ? 7 ?a ? (Ⅰ)若 ai ? i ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 ? 6 k ? i ? 为递减数列; 6 k ? i 6 ? ? a 7 ? ? (Ⅱ)若 ai ? i ,则对任意的 k ? N 有 f k ?1 ? f k ,所以数列 ? 6 k ? i ? 为递增数列. 6 ? 6k ? i ?
?7 ? ?4? ?1 ? ? 1? ? 1? ?1 ? ?7 4 1 1 1? 综上所述,集合 B ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? , , , ? , ? ? . ? 6 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 3? ? 6 ? ? 2 ? ? 6 3 2 3 6 ? ?a ? 当 a1 ? B 时,数列 ? n ? 中必有某数重复出现无数次; ?n? ?a ? 当 a1 ? B 时,数列 ? 6 k ? i ? ? i ? 1, 2,3, 4,5, 6 ? 均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中 6 k ? i ? ? ?a ? 最多出现一次,所以数列 ? n ? 任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.?? 16 分 ?n?

16

数学Ⅱ(理科附加题)
21、 、已知 OA、OB 是⊙O 的半径,且 OA⊥OB,P 是线段 OA 上一点,直线 BP 交⊙O 于点 Q,过 Q 作⊙O 的切线交直线 OA 于点 E,则∠OBP+∠AQE 的度数为

证明: 连结 AB, 则∠AQE=∠ABP, 而 OA=OB, 所以∠ABO=45° .所以∠OBP+∠AQE =∠OBP+∠ABP=∠ABO=45° .

22、 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE 与 AC 交于点 F. ⑴判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若 AE=6,BE=8,求 EF 的长. A O F B C D E

⑴BE 平分∠ABC.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD, ∴∠ABE=∠EBC,即 BE 平分∠ABC. ⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.∴ ∵AE=6, BE=8.∴EF=

AE EF ? , BE AE

AE 2 36 9 ? ? ; BE 8 2

23. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试,由于其中两所学 校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数 是 . (用数字作答) 16

24.已知 (1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x), 2

an ( x), an?1 ( x) .

设 F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),

? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x) .

(1)若 a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求 n 的值;

17

(2)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2n?1 (n ? 2) ?1 . 24.解: (1)依题意 ak ( x ) ? Cn ( x )
k ?1

1 2

k ?1

, k ? 1, 2,3,

, n ? 1,

n 1 n(n ? 1) 1 1 2 0 ? ? , Cn ? ( )2 ? , a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 Cn ? 1 , Cn 2 2 2 8 n n(n ? 1) 所以 2 ? ? 1 ? ,解得 n ? 8 ; ???4 分 2 8
(2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x),
0 1 1 2 1 ? Cn ? 2Cn ( x) ? 3Cn ( x) 2 2 2

? nan ( x) ? (n ?1)an?1( x)
n ?1 1 n 1 ? nCn ( x) n ?1 ? (n ? 1)Cn ( x) n 2 2

0 1 2 F (2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn 0 1 2 设 Sn ? Cn ? 2Cn ? 3Cn n n?1 则 Sn ? (n ? 1)Cn ? nCn

n?1 n ? nCn ? (n ?1)Cn n?1 n , ? nCn ? (n ? 1)Cn 2 1 0 ? 3Cn ? 2Cn ? Cn

k n ?k 考虑到 Cn ,将以上两式相加得: ? Cn 0 1 2 2Sn ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn n?1 n ? Cn ? Cn )

所以 Sn ? (n ? 2)2n?1 又当 x ? [0, 2] 时, F '( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x ) 是 [0, 2] 上的单调递增函数, 所以对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? (n ? 2)2n?1 ?1 . ???10 分

18


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