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导数的四则运算法则和复数基本运算导学案

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复数 一、复习引入: 数系扩充的脉络: 2.数集的表示方法:自然数集__________整数集_________ 有理数集__________实数集________ 二、概念形成: 1.规定:

2.设 a , b 都是______ ,形如_____________ 的数叫做复数。 表示方法:________________,其中实部是________虚部是________虚数单位是________ 注意:1)______________2)____________ 3._________________叫虚数;______________叫纯虚数 _________________叫复数集,用_____表示, R

C

?实数 ________ ? 4.复数 z ? ?纯虚数 ________ ? ?虚数 ________ ?非纯虚数______ ?
5.复数相等: 如果_____________ 三、知识应用: ______我们说这两个复数相等,记作:_________________

例 1 实数 x 取何值时,复数 z ? ( x ? 2) ? ( x ? 3)i

(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?

练习 3 实数 x 取何值时,复数 z ? ( x ? x ? 2) ? ( x ? 3 x ? 2)i
2 2

(1)是实数(2)是虚数(3)是纯虚数?

例 2 求适合下列方程的 x 和 y ( x , y ? R) 的值 (1) ( x ? 2 y ) ? i ? 6 x ? ( x ? y )i ; (2) ( x ? y ? 1) ? ( x ? y ? 2)i ? 0

1

复数的几何意义 一、复习引人: 1.实数可以用数轴上的点来表示。 实数 一一对应 数轴上的点 (数) (形) 2.复数的代数形式? z ? a ? bi 其中实部 ,虚部 ; 虚数 ,纯虚数 3.两个复数相等的定义 二、知识的形成: 复数 z ? a ? bi 一一对应 有序数对 ?a, b ? 1.复平面的定义: ; y 轴的单位是 x 轴的单位是 2.复数的几何意义 (1)复数的点的表示 y 有序数对 ?a, b ? 一一对应 点 Z ?a, b ? 叫实轴; 叫虚轴。

在复平面内,

0

x

复数 z ? a ? bi

一一对应 复平面内的点 Z ?a, b ?

(2) 复数的向量表示 y 平面向量 OZ 复数 z ? a ? bi 一一对应 复平面内的点 Z ?a, b ? 3.复数的绝对值(复数的模) (1) 复数模的定义:对应平面向量 OZ 的长度| OZ |,即复数 z ? a ? bi 在复平面上对应的点 Z(a,b)到原点的 距离,称为复数的模。 (2)计算公式:| a ? bi |= (3)几何意义: 4. 共轭复数: (1)共轭复数的定义:两个复数的实部 (2) z 的共轭复数表示为 (3)共轭复数的性质:两个共轭复数的模 三、知识的深化
2 2

0

x

虚部

则称这两个复数互为共轭复数; 对称。

;表示两个共轭复数的点关于

1.已知复数 z=( m ? m ? 6 )+( m ? m ? 2 )i 在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数 m 允许的取值范围。

?m 2 ? m ? 6 ? 0 解:由? 2 ?m ? m ? 2 ? 0

? ?3 ? m ? 2 得? ?m ? ?2 或 m ? 1

? m ? (?3,?2) ? (1,2)
2

表示复数的点所在象限的问题 (几何问题)

转化

复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 (代数问题)

2. 求 z1 ? 3 ? 4i , z 2 ? 1 ? 3i 的模和它们的共轭复数。

复数的加减法 二、概念形成: 1.设 z1 ? a ? bi , z 2 ? c ? di , a, b, c, d ? R ,规定 z1 ? z 2 ? 显然,两个复数的和仍然是 。

且容易验证:对于任意复数 z 1 , z 2 , z3 ,有 即:复数的加法运算满足交换律、结合律。

z1 + z2 = z2 + z1

( z 1 + z 2 )+ z3 = z 1 +( z 2 + z3 )

2.复数的相反数:由复数加法的定义有,复数 a ? bi 的相反数为 3.根据复数加法及相反数的定义,两个复数的减法法则如下:



z1 ? z 2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ?
显然,两个复数的差仍然是 4.复数加减法运算法则: 。

(a ? bi)?(c ? di) ?

.

即:两个复数相加(减),就是把实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) 。 三、应用举例: 例 1 已知 z1 ? 3 ? 2i , z 2 ? 1 ? 4i ,计算 z 1 + z 2 , z 1 - z 2 。 练习:1. (4 ? 3i) ? (5 ? 7i) 4 . 0 ? (5 ? 4i) 2. (?5 ? i) ? (3 ? 2i) 5. (3 ? (4 ? 2i) 3. (3 ? 2i) ? (?3 ? 2i) 6. (3 ? 5i ? 7i)

例 2 计算 (2 ? 5i) ? (3 ? 7i) ? (5 ? 4i) 练习: 1. (4 ? 5i) ? (3 ? 2i) 4. 5 ? (3 ? 2i) 2. (?3 ? 2i) ? (4 ? 5i) 3. (6 ? 3i) ? (?3i ? 2i)

5. (?3 ? 2i) ? (5 ? i) ? (4 ? 7i)

6. (1 ? i) ? (1 ? i) ? (5 ? 4i) ? (?3 ? 7i)
3

复数的乘除 一、复习回顾

问题 1:我们已经学习过复数的加减法,如何进行?类似于实数集的何种运算?
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 类 “合并同类项”

问题 2: 那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢?

二、概念形成 1.设 z1 ? a ? bi , z 2 ? c ? di , a , b , c , d ? R, 定义 z1 z 2 = 2.两个复数的乘积仍为 3.由定义出发,复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施:

z1 z 2 =

=

=

4.复数乘法运算满足: (1)交换律: (2)结合律: (3)对加法的分配律: 三、概念应用 例 1 已知 z1 ? 2 ? i , z 2 ? 3 ? 4i ,计算 z1 ? z 2 练习 1:计算 (1) (3 ? 2i)(7 ? i) (4) ? i(11? 2i) (2) (1 ? i)(1 ? i) (5) (3 ? 4i)
2

(3) (4 ? 8i)i (6) [(3 ? 2i)i]2

3

练习 2:在下列各题中,分别求 z z 和 z (1) z ? 3 ? 4i (3) z ? 5 ? 12i 例 3 计算 (1 ? 2i) 2

(2) z ? ?3 ? 4i (4) z ? ?5 ? 12i

复数的四则运算 一、复习引入: (5 分钟)
4

1. 复数的加、减、乘运算:已知两个复数 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di

z1 ? z 2 ?
运算满足 2. i =
2

; z1 ? z 2 ?

i3=

i4 =

i n 是以

为周期的。

3. 共轭复数的性质:若 z ? a ? bi 则 z = (1) | z |?| z | ; (2) z1 ? z 2 ? (3) z z ? 二、概念的形成: 1. 定义复数的倒数:已知复数 z ? a ? bi ,如果存在一个复数,使 则 z ? 叫做 z 的倒数,记作: 设: 。 ;特别地当 | z |? 1 时, z z ? ; z1 ? z 2 ?

1 1 ? x ? yi ?x ? R, y ? R ? 则 z ? ? ( x ? yi )?a ? bi ? z z

两边同乘( a ? bi )得: 整理得: 因此:

1 ? x ? yi = z
1 z ? z | z |2

=

显然:

2. 复数的除法法则: 实质:

(a ? bi ) ? ?c ? di ? ?

a ? bi = c ? di

=

3. 复数的商:把满足 ?c ? di?( x ? yi) ? ?a ? bi?

的复数 x ? yi 叫做复数 z ? a ? bi 除以复数

c ? di 的商。
三、知识的应用: 例 1 计算 ?1 ? 2i ? ? ?3 ? 4i ? 练习: ( 1)

2?i 7 ? 4i

(2)

2?i 4?i

(3)

2i 1? i

(4)

1 2i
5

导数及其运算
知识梳理
1. 常见函数的导数公式: (默写)

(kx ? b)? ? _________

C ? ? ____

( x ? )? =_____________ (a x )? ? _______ (loga x)? ? ______
(e x )? ? __________ _
(sin? )? =____________
(ln x)? ? _________

(cos? )? ? ________

练习: 求下列函数函数的导数 (1) f ( x) ? x ?5 (2) y ? cos(2? ? x) (3) y ? 4 x (4) y ? log3 x

2 导数的加减法运算法则: 1. ? f ( x ) ? g ( x )?? ? 2. ? f ( x) ? c?? ? 导数的乘除法运算法则 1. ? f ( x) g ( x)?? ? 3. ?kf ( x)?? ?
? f ( x) ? ; 2. ? ? g ( x) ? ? ? ?





说明: 1.导数的加法与减法法则 两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差) ,即 (u ? v)? ? u ? ? v? ,和(差)函数求导法则由两 个可以推广到 n 个。 2.导数的乘法、除法法则: ①两个函数积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数的和,即 ? (uv) ? u ?v ? uv? 。若 c 为常数,则 (cu)? ? u ?c ? uc? ? 0 ? cu ? ? cu ? 。由以上两个法则可知: au( x) ? bv( x) ? au ?( x) ? bv?( x) , a , b 为常数。 ②两个函数商的 导数,等于分子的导数与分 母的积减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方。即
? u ?v ? uv ? ?u? y? ? ? ? ? v v2 ? ?

例 1 求下列函数的导数 (1) f ? x ? ? 2x ? 3x ? 4x ? 5x ? x ? 9
5 4 3 2

(2) f ? x ? ? x sin x

6

(3) y ? sin 2 x

(4)

y ? tan x

(5) y=

1 ·cosx x

(6) y ? 2e x sin x ? 3 x

2

(7) y ? e x ln x

(8) y

? a x ? ln x

例 2 求下列函数的导数 (1) y ? x2 ? sin x (2) y ? x ?
3

3 2 x ? 6x ? 2 2

(3) y ? (2x ? 1) 2

(4) y ? (2 x2 ? 3)(3x ? 2)

(5) s (t ) ?

t2 ?1 t

(6) y ?

x ?1 x ?1

7


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