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2015届一诊理科数学试题

时间:2015-12-13


成都市 2015 届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {x | x ? 0} ,集合 P ? {1} ,则 ? UP ? (A) [0,1) ? (1, ??) (B) (??,1) (C) (??,1) ? (1, ??) (D) (1, ??) 2.若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是

(A) (B) (C) (D) 3.已知复数 z ? ?4 ? 3i ( i 是虚数单位) ,则下列说法正确的是 (A)复数 z 的虚部为 ?3i (B)复数 z 的虚部为 3 (C)复数 z 的共轭复数为 z ? 4 ? 3i (D)复数 z 的模为 5

? x3 ? 1 , x ? 0 ? 4.函数 f ( x ) ? ? 1 x 的图象大致为 ?( ) , x ? 0 ? 3

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

(A) (B) (C) (D)

2 2 5.已知命题 p : “若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ” ,则下列说法正确的是 2 2 (A)命题 p 的逆命题是“若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ” 2 2 (B)命题 p 的逆命题是“若 x ? 2ab ,则 x ? a ? b ”

2 2 (C)命题 p 的否命题是“若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ” 2 2 (D)命题 p 的否命题是“若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ”

2 6.若关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0 在区间 [2, 4] 上有实数根,则实数 a 的取值范围是

(A) (?3, ??) (B) [ ?3, 0] (C) (0, ??) (D) [0,3]

7. 已知 F 是椭圆 轴.若 PF ?

x2 y2 PF ? x (a ? b ? 0) 的左焦点, ? ?1 A 为右顶点, P 是椭圆上一点, a 2 b2

1 AF ,则该椭圆的离心率是 4

(A)

3 1 3 1 (B) (C) (D) 2 4 4 2

8.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,且 m // 叙述正确的是 (A)若 ? // ? ,则 m // n (B)若 m // n ,则 ? // ? (C)若 n ? ? ,则 m ? ? (D)若 m ? ? ,则 ? ? ? 9.若 sin 2? ? (A)

? , n ? ? ,则下列

5 10 ? 3? , sin(? ? ? ) ? ,且 ? ?[ , ? ] , ? ? [? , ] ,则 ? ? ? 的值是 5 10 4 2

7? 9? 5? 7? 5? 9? (B) (C) 或 (D) 或 4 4 4 4 4 4

10.如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 4,点 H 在棱 AA1 上,且 HA1 ? 1 .在侧 面 BCC1 B1 内作边长为 1 的正方形 EFGC1 , P 是侧面 BCC1 B1 内一动点,且点 P 到平面

CDD1C1 距离等于线段 PF 的长.则当点 P 运动时, HP 的最
小值是 (A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 25 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a , b 的夹角的大小为__________. 12.二项式 ( x 2 ? )6 的展开式中含 x3 的项的系数是__________. (用数字作答)

2

1 x

b?4, cos B ? 13. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 若 c ? 2a ,
的面积 S ? __________.

1 , 则 ?ABC 4

14.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? log3 ( x ? 1) .若关于 x 的不等式 函数 f ( x) 在 [?8,8] 上的值域为 B , 若 “ x ? A” f [ x2 ? a(a ? 2)] ? f (2ax ? 2x) 的解集为 A , 是“ x ? B ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是__________. 15.已知曲线 C : y ? 2 x ? a 在点 Pn (n, 2n ? a ) ( a ? 0, n ? N )处的切线 ln 的斜率
2

为 k n ,直线 ln 交 x 轴, y 轴分别于点 An ( xn ,0) , Bn (0, yn ) ,且 x0 ? y0 .给出以下结论: ① a ?1; ②当 n ? N* 时, y n 的最小值为 ③当 n ? N* 时, kn ?

5 ; 4

2 sin

1 ; 2n ? 1

④当 n ? N* 时,记数列 {k n } 的前 n 项和为 S n ,则 Sn ? 2( n ? 1 ?1) . 其中,正确的结论有(写出所有正确结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 口袋中装有除颜色,编号不同外,其余完全相同的 2 个红球,4 个黑球.现从中同时取 出 3 个球. (Ⅰ)求恰有一个黑球的概率; (Ⅱ)记取出红球的个数为随机变量 X ,求 X 的分布列和 数学期望 E ( X ) .

17. (本小题满分 12 分) 如 图 , ?ABC 为 正 三 角 形 , EC ? 平 面 ABC , DB / / EC , F 为 EA 的 中 点 , EC ? AC ? 2 , BD ? 1. (Ⅰ)求证: DF // 平面 ABC ; (Ⅱ)求平面 DEA 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
E

D F

C

B

A

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 ;数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,bn ?1 ? bn ? 2 .

n ? N *.
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? anbn , n ? N * .求数列 {cn }的前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 12 分) 某大型企业一天中不同时刻的用电量 y (单位:万千瓦时)关于时间 t ( 0 ? t ? 24 , 单位: 小时) 的函数 y ? f (t ) 近似地满足 f (t ) ? A sin(?t ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) , 下图是该企业一天中在 0 点至 12 点时间段用电量 y 与时间 t 的大致图象. (Ⅰ)根据图象,求 A , ? , ? , B 的值; (Ⅱ)若某日的供电量 g (t ) (万千瓦时)与 时间 t (小时)近似满足函数关系式 .当该日内 g (t ) ? ?1.5t ? 20 ( 0 ? t ? 12 ) 供电量小于该企业的用电量时,企业就必须 停产.请用二分法计算该企业当日停产的大 致时刻(精确度 0.1). 参考数据:

t (时)
g (t ) (万千瓦时)

10

11 2.433 3.5

12 2.5 2

11.5 2.48 2.75

11.25 2.462 3.125

11.75 2.496 2.375

11.625 2.490 2.563

11.6875 2.493 2.469

f (t ) (万千瓦时) 2.25
5

20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点为 (2 2 , 0) , 且椭圆 ? 上一点 M 到 a 2 b2 其两焦点 F1 , F2 的距离之和为 4 3 . (Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 ? 交于不同两点 A , B ,且 AB ? 3 2 .若 ??? ? ??? ? 点 P ( x0 , 2) 满足 PA ? PB ,求 x0 的值.
已知椭圆 ? :

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

mx 2 mx 2 , g ( x) ? m ? mx ,其中 m ? R 且 m ? 0 . e ? 2.71828? 为自然 ln x e

对数的底数. (Ⅰ)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极小值; (Ⅱ)当 m ? 0 时,若函数 g ( x) 存在 a , b, c 三个零点,且 a ? b ? c ,试证明: ?1 ? a ? 0 ? b ? e ? c ; (Ⅲ)是否存在负数 m ,对 ?x1 ? ( 1 , ??) ,?x2 ? (??,0) ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.


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