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2013年石景山一模高三数学(理)答案

时间:2016-05-05


2013 年石景山区高三统一测试

高三数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 D 6 C 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 12 13 14

3

7? 12

?2013

29

2

8;

n 2 ? 3n 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x

? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x
????1 分

?

3 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

1 3 ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2
? 3 sin(2 x ?
令?

?
3

)

????3 分

?
2

+2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

+2k?
????5 分

?

5? ? +k? ? x ? +k? 12 12

函数 f ( x ) 的单调递增区间 ?

? ? 5? ? +k?, +k? ? (k ? Z ) . ? 12 ? 12 ?

????6 分

高三数学(理科)答案

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(Ⅱ)由 f ( A) ?

? 1 3 , sin(2 A ? )= , 3 2 2
2 ? ? 5 ? ,所以 ? 2 A ? ? ? 3 3 3 3
????8 分 ????10 分

因为 A 为 ?ABC 内角,由题意知 0 ? A ?

5 ? ? ? ,解得 A ? . 3 6 4 a b ? 由正弦定理 ,得 b ? 6 , sin A sin B
因此 2 A ? 由A?

?

?
4

,由 B ?

?
3

,可得 sin C ?

6? 2 ,????12 分 4
????13 分

∴ s ? 1 ab sin C ? 1 ? 2 ? 6 ? 6 ? 2 ? 3 ? 3 .

2

2

4

2

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记“当天 PM2.5 日均监测数据未超标”为事件 A,

P ( A) ?

2?4 3 ? . 10 5

????2 分

(Ⅱ)记“这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为
1 1 C2 ? C4 8 事件 B, P( B) ? ? . 2 C6 15

????5 分

(Ⅲ) ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,

P(? ? 0) ?

3 2 1 C6 1 C6 ? C4 1 ? P ( ? ? 1) ? ? ; ; 3 3 C10 6 C10 2 1 2 C6 ? C4 3 ? 3 C10 10 3 C4 1 ? 3 C10 30

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

????9 分

其分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30
????13 分

1 1 3 1 6 E? ? 0 ? ? 1 ? +2 ? +3 ? = 6 2 10 30 5
高三数学(理科)答案 第 2 页(共 6 页)

17. (本小题满分 14 分) 证明: (I)在直角梯形 ABCD 中, AD ? 1, AB ? 3 所以 BD ? 2, CD ? 2 3 ,所以 BD ? CD . 又因为 PD ? 面ABCD ,所以 PD ? BD 由 PD ? BD ? D ,所以 BD ? 面PCD 所以 BD ? PC ????4 分 ????2 分

(II)如图,在平面 ABCD 内过 D 作直线 DF//AB,交 BC 于 F, 分别以 DA、DF、DP 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 由条件知 A(1,0,0) ,B(1, 3 ,0) , 设P , D?a,则 B D ? ( ? 1 , ? 3 , 0 ) , P C ? ( ? 3 , 3 , ? a ) 由(I)知 BD ? 面PDC, DB 就是平面PDC的法向量 .

? ? ? ?

? ? ? ?

????5 分
z P E

??? ?

? ? ? ? ? ? ? ? A B ? ( 0 ,3 , 0 ) , D B ? ( 1 ,3 , 0 ) .
B 与 面 P D C 所 成 角 大 小 为 设A ,

?

x B

A yF

D

G C

? ? ? ? ?? ? ? ? |D B ?A B | 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? i n ? ?? ? ? . 则s |D B |? |A B | 23 2

????7 分

为 6 0 ? . ????8 分 ? 0 ? ? ? 9 0 ? , ? ? 6 0 ? ,即直线 A B 与 平 面 P D C 所 成 角 (III)由(2)知 C(-3, 3 ,0) ,记 P(0,0,a) ,则

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ? ( 1 , 0 , a ) C ? ( ? 3 , 3 , ? a ) ,D ,P ,P , P ? ( 0 ,0 ,a ) A B ? ( 0 , 30 , )

E ? ( ? 3 , 3 , a ) 而P ,所以 P , E ? ? P C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? (, ? 3 ?3 ? , aa ? ? ) . D E ???? D P P E D P P C = ? ( 0 , 0 ,)( a ? ? 3 , 3 , ? a )
????10 分

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ??

?

???

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???? ? ? ? ? ?y ? 0 ? AB ?n ? 0 ? 3y ? 0 ? ( x , y , z ) 设n 为平面 PAB 的法向量,则 ? ??? ,即 ? ,即 ? . ? ? x ? a z x ? a z ? 0 ? P A ? n ? 0 ? ? ? ?

? ( a ,01 ,) , 取z ? 1,得 x ? a,进而 n
En ? ?0 , 由D ,得 D E / / 平 面 P A B
∴3 a ? a a ? 0 , 而 a?0 , ? ?? . 18. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)在区间 ? 0, ??? 上, f ?( x) ? a ?

?

????12 分

? ? ? ??

? ?

1 4

????14 分

1 ax ? 1 ? . x x

????????1 分 ?????3 分

①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是区间 ? 0, ??? 上的减函数; ②若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 . a

在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数; 在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数; 综上所述,①当 a ? 0 时, f ( x ) 的递减区间是 ? 0, ??? ,无递增区间; ②当 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间是 ( , ??) ,递减区间是 (0, ) . (II)因为函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 f ?(1) ? 0 解得 a ? 1 , 经检验满足题意. ????7 分 ???????8 分 ???????10

1 a

1 a

1 a

1 a

????6 分

1 ln x ? ?b x x 1 1 ? ln x ln x-2 1 ln x ? 令 g ( x) ? 1 ? ? ,则 g ?( x ) ? ? 2 ? x x x x2 x2
由已知 f ( x) ? bx ? 2, 则 f ( x) ? bx ? 2,1 ? 分 易得 g ( x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, 所以 g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ? 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF 1

?

?

?

?

???????12 分 ????13 分

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 . e2

? F1F2 ,所以 AF1 ? F1F2 ,
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高三数学(理科)答案

即 a ? 2c ,故椭圆的离心率 e ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 2

. . . . . . . . . . . . . . . .3 分

1 3a c 1 1 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a, 0) , B ( ? , 0) , 2 2 a 2 2

1 1 Rt ?ABC 的外接圆圆心为 F1 (? a, 0) ) ,半径 r ? | F2 B |? a . . . . . . . . . . . .4 分 2 2
1 | ? a ?3| 由已知圆心到直线的距离为 a ,所以 2 ? a ,解得 a ? 2,? c ? 1, b ? 2
所求椭圆方程为

3

x2 y2 ? ? 1. 4 3

. . . . . . . . . . . . . . . .6 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 F2 (1,0) , 设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4

消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . . . . .7 分

因为 l 过点 F2 ,所以 ? ? 0 恒成立 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?

?6k 8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k
. . . . . . . . . . . . . . .9 分 . . . . . . . . . . . . . .10 分

MN 中点 (

4k 2 ?3k , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 当 k ? 0 时 MN 中垂线方程 y ? 令 y ? 0 ,? m ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2
. . . . . . . . .12 分

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2

?

3 1 ? 0 , 2 ? 4 ? 4 , 可得? 0 ? m ? 1 2 k k 4 1 4
. . . . . . . . . . . . . .14 分

综上可知实数 m 的取值范围是 [0, ) .

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20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)数列 {xn } 具有性质 P ,数列 { yn } 不具有性质 P . 对于数列 {xn } ,若 A1 (?2,2) 则 A2 (2,2) ;若 A1 (?2,?2) 则 A2 (2,?2) ;所以具有性质

P . 对于数列 { yn } ,当 A1 (?2,3) 若存在 A2 ( x, y) 满足 OA1 ? OA2 , 即 ? 2 x ? 3 y ? 0 , 即

y 2 ? ,数列 { yn } 中不存在这样的数 x, y ,因此不具有性质 P . x 3

??????3 分

(Ⅱ) ( 1 )取 A1 ( xk , xk ) ,又数列 {xn } 具有性质 P ,所以存在点 A2 ( xi , x j ) 使得

OA1 ? OA2 ,即 xk xi ? xk x j ? 0 ,又 xk ? 0 ,所以 xi ? x j ? 0 . ??????5 分
(2) 由 (1) 知, 数列 {xn } 中一定存在两项 xi , x j 使得 xi ? x j ? 0 ; 又数列 {xn } 是单调递增数列且 x2 ? 0 ,所以 1 为数列 {xn } 中的一项. 假设 x2 ? 1 ,则存在 k (2 ? k ? n, k ? N ? ) 有 xk ? 1 ,所以 0 ? x2 ? 1 此时取 A1 ( x2 , xn ) , 数列 {xn } 具有性质 P , 所以存在点 A2 ( xt , xs ) 使得 OA 1 ? OA2 , 所以 x2 xt ? xn xs ? 0 ;只有 x1 ? 0 ,所以当 xt ? ?1 时 x2 ? xn xs ? xs ? x2 ,矛盾; 当 xs ? ?1 时 x2 ?

xn ? 1 ,矛盾.所以 x2 ? 1 . xt

????9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, x2 ? 1 .若数列 {xn } 只有 2013 项且具有性质 P ,可得 x4 ? 4 ,

x5 ? 8 猜想数列 {xn } 从第二项起是公比为 2 的等比数列.(用数学归纳法证明).
所以 S 2013 ? ?1 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2
2011

2 ? 22012 ? ? 22012 ? 2 1? 2

????13 分

【注:若有其它解法,请酌情给分】

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