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一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.1 函数及其表示课时规范训练

时间:2016-07-14


第二章 基本初等函数、 导数及其应用 2.1 函数及其表示课时规范训 练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1]
? ?x≥0 解析:由? ?1-x>0 ?

)

B.[0,1) D.[0,1] ,解得 0≤x<1,故选 B.

答案:B

?1- x,x≥0, 2.(2015·高考陕西卷)设 f(x)=? x x<0, ?2 ,
f(f(-2))=(
A.-1 C. 1 2 ) B. D. 1 4 3 2



1 -2 解析:因为-2<0,所以 f(-2)=2 = >0, 4

?1? 所以 f? ?=1- ?4?
答案:C

1 1 1 1 =1- = ,故 f(f(-2))= . 4 2 2 2

?lg x,0<x<1 3.(2016·浙江台州调研)若点 A(a,-1)在函数 f(x)=? ? x,x≥1
则 a=( A.1 C. 10 ) B.10 D. 1 10

,的图像上,

解析:当 x≥1 时,y= x≥1,因此点 A(a,-1)在函数 y=lg x(0<x<1)的图像上,故 1 -1=lg a,a= . 10 答案:D 4.(2016·青岛一模)函数 y=f(x)的定义域为[-1,5],在同一坐标系下,y=f(x)与 直线 x=1 的交点个数是__________. 解析:由函数定义的唯一性及 x∈[-1,5],知函数 f(x)与 x=1 只有唯一一个交点.
1

答案:1 3x -4?x>0?, ? ? 5.(2016·西宁模拟)若函数 f(x)=?π ?x=0?, ? ?0?x<0?, 解析:∵f(0)=π ,f(π )=3π -4, ∴f(f(0))=f(π )=3π -4. 答案:3π -4 6.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=________. 解析:∵f(x)是一次函数, ∴设 f(x)=ax+b(a≠0), 又∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 即 ax+5a+b=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7. 答案:2x+7
2 2 2 2

则 f(f(0))=________.

7.已知函数 y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析 式.

解:根据图像,设左侧的射线对应的解析式为 y=kx+b(x≤1). ∵点(1,1),(0,2)在射线上, ∴?
?k+b=1, ? ?b=2, ?

解得?

?k=-1, ? ?b=2. ?

∴左侧射线对应函数的解析式为 y=-x+2(x≤1); 同理,x≥3 时,函数的解析式为 y=x-2(x≥3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为 y=a(x-2) +2(1≤x≤3,a<0), ∵点(1,1)在抛物线上, ∴a+2=1,a=-1, ∴1≤x≤3 时,函数的解析式为
2

y=-x2+4x-2(1≤x≤3),

2

?-x+2,x<1 综上,函数的解析式为 y=?-x +4x-2,1≤x≤3 ?x-2,x>3
2

.

8.(2016·深圳模拟)已知 f(x)=x -1,g(x)=? (1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式. 解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, ∴f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 故 f(g(x))=(x-1) -1=x -2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f(g(x))=(2-x) -1=x -4x+3; ∴f(g(x))=?
?x -2x,x>0, ? ? ?x -4x+3,x<0,
2 2 2 2 2 2

2

? ?x-1,x>0 ?2-x,x<0 ?

.

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 故 g(f(x))=f(x)-1=x -2; 当-1<x<1 时,f(x)<0, 故 g(f(x))=2-f(x)=3-x ,
?x -2,x>1或x<-1, ? ∴g(f(x))=? 2 ? ?3-x ,-1<x<1.
2 2 2

[B 级 能力突破]
?2 -2, x≤1, ? 1. (2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)=? ?-log2?x+1?, x>1, ?
x- 1

且 f(a)=-3,

则 f(6-a)=( 7 A.- 4 3 C.- 4

) 5 B.- 4 1 D.- 4

解析:由于 f(a)=-3, ①若 a≤1,则 2
x a-1

-2=-3,整理得 2
a-1

a-1

=-1.

由于 2 >0,所以 2

=-1 无解;

②若 a>1,则-log2(a+1)=-3, 解得 a+1=8,a=7,
3

所以 f(6-a)=f(-1)=2

-1-1

7 -2=- . 4

7 综上所述,f(6-a)=- .故选 A. 4 答案:A 2.(2016·衡水模拟)函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有

f(x1)≤f(x2),则称函数 f(x)在 D 上为非减函数.设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满

?x? 1 ?1? ?1? 足以下三个条件:①f(0)=0;②f? ?= f(x);③f(1-x)=1-f(x),则 f? ?+f? ?等于 3 ? ? 2 ?3? ?8?
( ) A. 3 4 B. D. 1 2 2 3

C.1

解析:∵f(0)=0,f(1-x)=1-f(x),

?1? 1 ∴f(1)=1,又 f? ?= f(1), ?3? 2 ?1? 1 ∴f? ?= , ?3? 2
又∵f(1-x)+f(x)=1,

?1? ?1? ?1? 1 ∴f? ?+f? ?=1,∴f? ?= , ?2? ?2? ?2? 2
f? ?≤f? ?≤f? ?, ?9? ?8? ?6? f? ?= f? ?= , ?9? 2 ?3? 4 f? ?= f? ?= . ?6? 2 ?2? 4
1 ?1? 1 ?1? 1 ∴ ≤f? ?≤ ,∴f? ?= . 4 ?8? 4 ?8? 4

?1?

?1?

?1?

?1? 1 ?1? 1 ?1? 1 ?1? 1

?1? ?1? 1 1 3 ∴f? ?+f? ?= + = . ?3? ?8? 2 4 4
答案:A 1,x>0 ? ? 3.(2015·高考湖北卷)设 x∈R,定义符号函数 sgn x=?0,x=0 ? ?-1,x<0 A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn|x|

,则(

)

4

C.|x|=|x|sgn x

D.|x|=xsgn x

解析:当 x<0 时,|x|=-x,x|sgn x|=x,xsgn|x|=x, |x|sgn x=(-x)·(-1)=x,排除 A,B,C,故选 D. 答案:D 4.(2015·高考浙江卷)存在函数 f(x)满足:对任意 x∈R 都有( A.f(sin 2x)=sin x C.f(x +1)=|x+1| 解析:取特殊值法. π 取 x=0, ,可得 f(0)=0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项 A 错误; 2 取 x=0,π ,可得 f(0)=0,π +π ,这与函数的定义矛盾,所以选项 B 错误; 取 x=1,-1,可得 f(2)=2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项 C 错误; 取 f(x)= x+1,则对任意 x∈R 都有 f(x +2x)= x +2x+1=|x+1|,故选项 D 正 确. 综上可知,本题选 D. 答案:D
? ?2x -8ax+3,x<1, 5.(2016·福州一模)函数 f(x)=? ?logax, x≥1 ?
2 2 2 2 2

)

B.f(sin 2x)=x +x D.f(x +2x)=|x+1|
2

2

在 x∈R 内单调递减,则 a 的范围是(

)

? 1? A.?0, ? ? 2? ?1 5? C.? , ? ?2 8?
者相等,即

?1 ? B.? ,1? ?2 ? ?5 ? D.? ,1? ?8 ?

解析:要求此函数的两段均为减函数,并且 x=1 时第一段的函数值在第二段的上方或

?2a≥1,

? ?0<a<1, ? ?2-8a+3≥loga1,
答案:C

a≥ , 2 ? ? 解得?0<a<1, 5 ? ?a≤8,
1

1 5 故 ≤a≤ . 2 8

2 ? ?x+ -3,x≥1 6 .(2015·高考浙江卷 ) 已知函数 f(x) = ? x ? ?lg?x2+1?,x<1 ________,f(x)的最小值是________.

,则 f(f( - 3)) =

5

解析:由内到外依次代入计算可得 f(f(-3)),在分段函数的两段内分别计算最小值, 取二者中较小的为 f(x)的最小值. ∵f(-3)=lg[(-3) +1]=lg 10=1, ∴f(f(-3))=f(1)=1+2-3=0. 2 当 x≥1 时, x+ -3≥2
2

x

x· -3=2 2-3,当且仅当 x= ,即 x= 2时等号成立, x x

2

2

此时 f(x)min=2 2-3<0; 当 x<1 时,lg(x +1)≥lg(0 +1)=0,此时 f(x)min=0. 所以 f(x)的最小值为 2 2-3. 答案:0 2 2-3
2 2

7.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升 血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示曲线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第 一次服药的时间为 7∶00,问之后的 10 小时中应怎样安排服药时间?

?0≤t≤1?, ? ? ?12t ? 2? ? 解:(1)由题意知 y=? 4 32 ?1 <t≤8? ?. ? ?-5t+ 5 ? ?2 ? ?1 ? (2)设第二次服药是在第一次服药后 t1? <t1<8?小时, ?2 ?
4 32 则- t1+ =4,解得 t1=3(小时).因而第二次服药应在 10:00.设第三次服药在第一 5 5 次服药后 t2(3<t2<8)小时,则此时血液中含药量应为两次服药后的含药量的和. 4 32 4 32 - t2+ - (t2-3)+ =4, 5 5 5 5 解得 t2=7(小时),即第三次服药应在 14:00. 设第四次服药应在第一次服药后 t3 小时(t3>8), 则此时第一次服进的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、三次的和.

6

32? 4 32 ? 4 - (t3-3)+ +?- ?t3-7?+ ?=4, 5? 5 5 ? 5 解得 t3=10.5(小时)>10 小时故舍去.

7


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