nbhkdz.com冰点文库

2018届高三数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明夯基提能作业本理

时间:2017-10-28


第二节

不等式的证明

A 组 基础题组 1.如果 x>0,比较( -1) 与(
2

+1) 的大小.

2

2.已知 a,b,c 都是正数,求证:

≥abc.

3.已知 x,y 都是正数,求证:x + y ≥x y+xy .

3

3

2

2

4.已知△ABC 的三边长分别是 a,b,c,且 m 为正数,求证:

+

>

.

1

5.设 n 是正整数,求证: ≤

+

+…+ <1.

6.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明:

(1)ab+bc+ca≤ ;

(2) + + ≥1.

B 组 提升题组

7.(2016 江西赣州一模)设 a、b 为正实数,且 + =2

.

2

(1)求 a +b 的最小值; (2)若(a-b) ≥4(ab) ,求 ab 的值.
2 3

2

2

8.(2016 江西质量检测)已知函数 f(x)=|x-1|. (1)解不等式 f(2x)+f(x+4)≥8;

(2)若|a|<1,|b|<1,a≠0,求证:

>f

.

3

答案全解全析 A 组 基础题组 1. 解析 ( =( =-4 因为 所以( -1+ . >0,所以-4 -1) <(
2

-1) -(

2

+1)

2

+1)[(

-1)-(

+1) ]

<0,
2

+1) .
2 2 2 2 2 2 2

2. 证明 因为 b +c ≥2bc,a >0,所以 a (b +c )≥2a bc.① 同理,b (a +c )≥2ab c,② c (a +b )≥2abc .③ ①②③相加得 2(a b +b c +c a )≥2a bc+2ab c+2abc , 从而 a b +b c +c a ≥abc(a+b+c).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

由 a,b,c 都是正数,得 a+b+c>0,因此 3. 证明 (x +y )-(x y+xy ) =x (x-y)+y (y-x) =(x-y)(x -y ) =(x-y) (x+y), ∵x,y 都是正数,∴(x-y) ≥0,(x+y)>0, 即(x +y )-(x y+xy )≥0, ∴x +y ≥x y+xy .
3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2

≥ abc.

4. 证明 要证

+

>

,

只需证 a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0, 即证 ab c+abm+acm+am +abc+abm+bcm+bm -abc-acm -bcm-cm >0, 即证 abc+2abm+(a+b-c)m >0. 由于 a,b,c 分别是△ABC 的三边长,故有 abc>0,ab>0,a+b>c. 因为 m>0,所以(a+b-c)m >0,2abm>0, 所以 abc+2abm+(a+b-c)m >0 成立,
2 2 2 2 2 2

因此

+

>

成立.
4

5. 证明 由 2n≥n+k>n( k=1,2,…,n),

得 ≤

< .

当 k=1 时, ≤

< ;

当 k=2 时, ≤ ……

< ;

当 k=n 时, ≤

< ,

所以 = ≤

+

+…+ < =1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

6. 证明 (1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c) =1, 即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1, 所以 3(ab+bc+ca)≤1,
2 2 2 2

即 ab+bc+ca≤ .

(2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c,

故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c),

即 + + ≥a+b+c.

所以 + + ≥1. B 组 提升题组

7. 解析 (1) 由 2

= + ≥2

得 ab≥ ,

当 a=b= 时取等号.

5

故 a +b ≥2ab≥1,当 a=b= 时取等号. 所以 a +b 的最小值是 1.
2 2

2

2

(2)由(a-b) ≥4(ab) 得

2

3

≥4ab.



- ≥4ab,从而 ab+ ≤2.

又 ab+ ≥2,所以 ab+ =2, 又 a,b 为正实数,所以 ab=1. 8. 解析 (1)f( 2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|

=

当 x<-3 时,由-3x-2≥8,解得 x≤- ;

当- 3≤x< 时,-x+4≥8 无解;

当 x≥ 时,由 3x+2≥8,解得 x≥2. 所以不等式 f(2x)+f(x+4)≥8 的解集为

.

(2) 证明:

>f

等价于 f(ab)>|a|f

,

即|ab-1|>|a-b|. 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.
2 2 2 2 2 2 2 2



>f

.

6


赞助商链接

相关文档

更多相关标签