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数理(学生用卷)

时间:2016-06-02


泄露天机——2016 年金太阳高考押题 精粹 数学理科
本卷共 48 题,三种题型:选择题、填空题和解答题。选择题 30 小题,填空题 4 小题,解答题 14 小题。

A.2

B.-

1 2

C.-3

D.

1 3

9.一个算法的程序框图如右图所示,若输入的 x 值为 2016,则输
出的 i 值为 ( A.3 B.4 ) C.5 D.6

1.已知集合 A ? {x | log2 x ? 1}, B ? {x | x ? x ? 6 ? 0}, 则 (?R A) ? B 等于(
2



10.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 ,a与b 的夹角为 60?,a 在 a +b
上的投影等于 ( ) B.2 C. 3 D.4+2 3 ?2 x ? y ? 5 ≤ 0 y ?1 11.不等式组 ? 的解集记为 D,z ? , 有下面四 ?3 x ? y ≥ 0 x ?1 ?x ? 2 y ≤ 0 ? 个命题: p1: ?( x, y ) ? D , z ≥ 1 p2: ?( x, y ) ? D , z ≥ 1
2

A. {x | ?2 ? x ? 1}

B. {x | ?2 ? x ? 2}

C. {x | 2 ? x ? 3}

D. {x | x ? 2}

2. 已知复数 z ?
A.第一象限

4 ? bi ? b ? R ? 的实部为 ? 1 ,则复数 z ? b 在复平面上对应的点位于( 1? i B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
) D.

)

A.

3.若复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i ? i ,则 z 的实部为(
A.

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C. 1

2 ?1 2

(0, ) 4.下列函数中,既是奇函数又在区间 2 上是减函数的是(
A. y ? x
3

?

p3: ?( x, y ) ? D , z ≤ 2


p4: ?( x, y ) ? D , z ? 0

B. y ? ? sin x

C. y ? 2 x ? 1

D. y ? cos x )

5.若 A? a, b? , B ? c, d ? 是 f ? x ? ? ln x 图象上不同两点,则下列各点一定在 f ? x ? 图象上的是(
A.

其中的真命题是 ( ) A.p1,p2 B.p1,p3 C.p1,p4 D.p2,p3 12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何 体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合) 在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主 视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )

? a ? c, b ? d ?
2

B.

? a ? c,bd ?

C.

? ac, b ? d ?

D.

? ac, bd ?


y2 ? 1 的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为( 6.双曲线 C : x ? 3
A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2
2

13.一个几何体的三视图如图 2 所示(单位:cm),则该几何体的体积是(
23 cm3 3 22 B. cm3 3
A. C. )



7.在区间 ?? 1,1? 内随机取两个实数 x , y ,则满足 y ? x
概率是( 2 A. 9 )

?1 的

7 1 5 B. C. D. 9 6 6 8.执行如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值是(

47 cm3 6
3

D.7 cm

1

14.若数列{ an }满足

1 an-1



1 1 , 则称数列{ an }为调和数列. 已知数列{ } =d( n ? N * , d 为常数) an xn
) D.40

A. 3

B. 3

C. 2

D. 2

为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5 ? x16 等于( A.10 B.20 C.30

22.过抛物线 y 2=4x 焦点 F 的直线交其于 A, B 两点,O 为坐标原点.若 AF ? 3 ,则
?AOB 的面积为(
A. ) B. 2 C.

15.《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题, 《张丘建算经》卷上第 22 题为:
“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺布, 现一月(按 30 天计)共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( )尺布.

2 2

3 2 2

D.2 2

1 A. 2

8 B. 15

16 C. 31

16 D. 29

2 2 23.已知圆 C1 : x2 ? 2cx ? y2 ? 0 , 圆 C2 : x ? 2cx ? y ? 0 , 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2


16.在某次联考测试中,学生数学成绩 X ? N ?100,? 2 ? ?? ? 0 ? ,若

焦距为 2c ,若圆 C1 , C2 都在椭圆 C 内,则椭圆 C 离心率的范围是( A. [ ,1)

P(80 ? X ? 120) ? 0.8, 则 P(0 ? X ? 80) 等于( )
A.0.05 A.2544 B.0.1 B.1332 C.0.15 C.2532 D.0.2 ) D.1320 )

17.由 1,2,3,0 组成没有重复数字的三位数,其中 0 不在个位上,则这些三位数的和为(

2 2 D. (0, ] ,1) 2 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 24.已知向量 AB 、 AC 、 AD 满足 AC ? AB ? AD , AB ? 2 , AD ? 1 , E 、 F 分别是线段 BC 、
1 2
B. (0, ]

1 2

C. [

2x π π ? ax ? cos 2 x, 若 f ( ) =2,则 f ( ? ) 等于( 18.已知 f ? x ? ? x 3 3 2 ?1
A. ? 2 B. ? 1 C.0 D. 1

n 2 x ? ? ? ? (? 19. 函 数 f ( x) ? A s i ?

?
2

??? ? ???? ???? ??? ? 5 CD 的中点.若 DE ? BF ? ? ,则向量 AB 与向量 AD 的夹角为( ) 4 π 2π π 5π A. B. C. D. 3 3 6 6
? x ? 3, x ? 0 25. 已 知 函 数 f ? x ? ? ? 满 足 条 件 : 对 于 ?x1 ? R , ? 唯 一 的 x2 ? R , 使 得 ?ax ? b, x ? 0
f ?x1 ? ? f ?x2 ? .当 f ?2a ? ? f ?3b? 成立时,则实数 a ? b ? (
)

) 分 图 象 如 图 所 示 , 对 不 同 的 x1 , x2 ? ?a, b? , 若 部


f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,有 f ?x1 ? x2 ? ? 3 ,则(
5? 12 5? C. f ?x ? 在 ( ? 12
A. f ?x ? 在 ( ?

, ,

?
12

) 上是减函数 ) 上是增函数
7

B. f ?x ? 在 ( D. f ?x ? 在 (
2

? 5?
3 , 6 ,

) 上是减函数

A.

?

? 5?
3
8

12

6

) 上是增函数


6 2

B. ?

6 2

C.

6 +3 2


D. ?

6 +3 2

20.若 ?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? ? ? a8 x ,则 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 的值是(
A. ? 2 B. ? 3 C.125 D. ? 131

26.函数 y ?

2x 的图象大致为( ln x

x2 y 2 a2 21.设点 A 、 F ? c,0? 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点、右焦点,直线 x ? 交该 a b c
双曲线的一条渐近线于点 P .若 ?PAF 是等腰三角形,则此双曲线的离心率为( )
2

? 27.已知定义在 (0, ) 上的函数 f (x) , f ?( x ) 为其导数,且 f ( x) ? f ?(x) tan x 恒成立,则( ) 2 ? ? ? ? A. 3 f ( ) ? 2 f ( ) B. 2 f ( ) ? f ( ) 4 3 6 4 ? ? ? C. 3 f ( ) ? f ( ) D. f ?1? ? 2 f ( ) ? sin1 6 3 6
28.若过点 P ? a, a ? 与曲线 f ? x ? ? x ln x 相切的直线有两条,则实数 a 的取值范围是(
A. ? ??,e? B. ?e, ??? C. ? 0, ? )

数列,其中 t 为 3 阶公积,已知数列 { pn } 为首项为1 的 4 阶等和数列,且满足

p4 p3 p2 ? ? ? 2 ;数 p3 p2 p1

列 {qn } 为公积为 1的 3 阶等积数列,且 q1 ? q2 ? ?1 ,设 Sn 为数列 { pn ? qn } 的前 n 项和,则 S2016 ? ___________.

34.用 g ? n ? 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数,例如:9 的因数有 1,3,9,g ?9? ? 9,10 的
2015 ?1 ? 因数有 1,2,5,10, g ?10? ? 5 ,那么 g ?1? ? g ? 2 ? ? g ? 3? ? ? ? ? ? g 2

? 1? ? e?

D. ?1, ?? ?

?

?

.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 29.已知四边形 ABCD 的对角线相交于一点, AC ? 1, 3 , BD ? ? 3,1 ,则 AB ? CD 的最小值

?

?

?

?

35.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 2cos ? B ? C ? ? 1 ? 4sin B sin C .
(1)求 A ; (2)若 a ? 2 7 , ?ABC 的面积 2 3 ,求 b ? c .

是( ) A. 2 B. 4 C. ?2 D. ?4

30.定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意 x1, x2 ? x1 ? x2 ? 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0, 且函数 y ? f ? x ? 1?

2 2 的图象关于(1,0)成中心对称,若 s , t 满足不等式 f s ? 2s ? ? f 2t ? t ,则当 1 ? s ? 4 时,

?

?

?

?

t ? 2s 的取值范围是( ) s?t
A. ? ?3, ? ?

? ?

1? 2?

B. ? ?3, ? ? 2

? ?

1? ?

C. ? ?5, ? ?

? ?

1? 2?

D. ? ?5, ? ? 2

? ?

1? ?

31.已知边长为 3 的正 ?ABC 的三个顶点都在球 O 的表面上,且 OA 与平面 ABC 所成的角
为 30 ,则球 O 的表面积为________.
?

? y?x ? 32.设 m ? 1 ,当实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 2 x 时, 目标函数 z ? x ? my 的最大值等于 2, 则m 的 ?x ? y ? 1 ?
值是_______.

33.已知数列 {an} 中,对任意的 n ? N* ,若满足 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? s ( s 为常数),则称该数列
为 4 阶等和数列,其中 s 为 4 阶公和;若满足 an ? an?1 ? an?2 ? t ( t 为常数),则称该数列为 3 阶等积

3

36.(本小题满分 12 分)
如图,在 ?ABC 中,点 D 在边 BC 上, ?CAD ? (1)求 sin ?C 的值; (2)若 ?ABD 的面积为 7 ,求 AB 的长.

?
4

, AC ?

7 2 , cos?ADB ? ? . 2 10

38.(本小题满分 12 分) * 设 n ? N ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn?1 ? Sn ? an ? 2 , a1 , a2 , a5 成等比数列.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足

bn ? ( 2)1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

37.(本小题满分 12 分)
已知公差不为 0 的等差数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 a2 ? 1, a4 ? 1, a8 ? 1 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)设数列{ bn }满足 bn ?

45 3 ,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 的正整数 n 的值. 32 an

4

39.(本小题满分 12 分)
近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015 年双 11 期间,某购物平台的销售业绩高达 918 亿 人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品 和服务都做出好评的交易为 80 次. (1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评的 次数为随 机变量 X : ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示) ; ②求 X 的数学期望和方差.

40.(本小题满分 12 分)
某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛,等级分为 1 至 10 分,随机调阅了 A、B 两所学校各 60 名学生的成绩,得到样本数据如下:

P( K 2 ≥ k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

n(ad ? bc)2 (K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较; (2) 记事件 C 为“ A 校学生计算机优秀成绩高于 B 校学生计算机优秀成绩” .假设 7 分或 7 分以 上为优秀成绩,两校学生计算机成绩相互独立.根据所给样本数据,以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率,求事件 C 的概率.

5

41.(本小题满分 12 分)
如图,已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面,平面 ABCD ? 平面

42.(本小题满分 12 分)
正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AD ? CD, AB / /CD,

ABPE = AB ,且 AB ? BP ? 2, AD ? AE ? 1 , AE ? AB, 且 AE ∥ BP .
(1)设点 M 为棱 PD 中点,求证: EM∥平面 ABCD ; (2) 线段 PD 上是否存在一点 N , 使得直线 BN 与平面 PCD 所成角
2 的正弦值等于 ?若存在,试确定点 N 的位置;若不存在,请说明 5

AB ? AD ?

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上且不与 E , C 重合. 2

BM // 平面ADEF ; (1) 当点 M 是 EC 中点时, 求证:
(2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦 值为

理由.

6 时,求三棱锥 M ? BDE 的体积. 6

6

43.(本小题满分 12 分)
x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点,点 M (m, 0) 、 N (0, n) 分别是 x 轴、 y 轴上的动 已知点 F 是椭圆 1 ? a2
点,且满足 MN ? NF ? 0 .若点 P 满足 OM ? 2ON ? PO . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、 B 两点,直线 OA 、 OB 与直线

44.(本小题满分 12 分)
x2 y 2 6 ,以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 2 3. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程;

以椭圆 C :

(2) 过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,A 是椭圆 C 的右顶点, 直线 AP、AQ 分别与 y 轴交于点 M、N ,问:以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点?若恒过 x 轴上的定点, 请求出该定点的坐标;若不恒过 x 轴上的定点,请说明理由.

??? ? ??? ? ,试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个定值; x ? ?a 分别交于点 S 、 T ( O 为坐标原点)
若不是,请说明理由.

7

45.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3 ( a ? 0 ) . (1)讨论 f ? x ? 的单调性;
2 (2)若 f ? x ? ? ? a ? 1? x ? 4 ? e ? 0 对任意 x ? ? ? e, e ? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围( e 为自然常

46.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? a( x ?1)(e x ? a) .(常数 a ? R 且 a ? 0 ). (1)证明:当 a ? 0 时,函数 f ?x ? 有且只有一个极值点; (2)若函数 f ?x ? 存在两个极值点 x1 , x2 ,证明: 0 ? f ? x1 ? ?

4 4 0 ? f ? x2 ? ? 2 . 2 且 e e

数) ;
2 2 2 2 (3)求证: ln 2 ? 1 ? ln 3 ? 1 ? ln 4 ? 1 ? ??? ? ln n ? 1 ? 1 ? 2 ln n ! ( n ? 2 , n ? ? ) .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

8

47.(本小题满分 10 分)
从下列三题中选做一题 (1).选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,两个圆相内切于点 T ,公切线为 TN ,外圆的弦 TC , TD 分别交内圆于 A 、 B 两点, 并且外圆的弦 CD 恰切内圆于点 M . (1)证明: AB // CD ; (2)证明: AC ? MD ? BD ? CM . T

N
A C M B D (3)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 的最大值为 m . (1)求 m ; (2)若 a, b, c ? ?0, ?? ?, a ? 2b ? c ? m ,求 ab ? bc 的最大值.
2 2 2

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) . ? y ? t sin ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且

AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值.

9

48.(本小题满分 12 分)
从下列三题中选做一题 (1).选修 4-1:几何证明选讲 在△ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D. (1)求证:

PC PD ; = AC BD

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值. (3)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 1 的解集 A 满足 ? ?1,1? ? A . (1)求实数 m 的取值范围 B ; (2)若 a, b, c ? ? 0, ?? ? , m0 为 B 中的最小元素且 求证: a ? 2b ? 3c ?

1 1 1 ? ? ? m0 , a 2b 3c

9 . 2

(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 在以直角坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下, 曲线 C1 的方程是 ? ? 1 , 将 C1 向上平移 1 个单位得到曲线 C2 . (1)求曲线 C2 的极坐标方程; (2)若曲线 C1 的切线交曲线 C2 于不同两点 M , N ,切点为 T .求 TM ? TN 的取值范围.

10


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