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浙江省衢州市2017届高三1月教学质量检测数学试题 Word版含答案

时间:2017-03-20


衢州市 2017 年 1 月高三年级教学质量检测试卷 数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 U ? {1, 2,3, 4,5, 6} , 集合 A ? {2,3} , 集合 B ? {1, 2, 4} , 则 (CU B) ? A ?( A. {2} B. {3} C. {5, 6} D. {3,5, 6} ) D.既不充分 )

2.若实数 x , y ? R ,则“ x ? 0 , y ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的( A.充分不必要条件 也不必要条件 3.二项式 (1 ? 2 x)4 展开式的各项系数的和为( A.81 B.80 C.27 ) D.26 B.必要不充分条件

C.充要条件

?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? 4.若实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是( ? x ? ?3 ?
A.-7 B. ?



13 4

C.-1

D.7 )

5.函数 f ( x) ? (sin x ? 3 cos x)(cos x ? 3sin x) 的最小正周期是( A.

? 2

B. ?

C.

3? 2

D. 2? )

6.函数 f ( x) ?

ln | x | cos x ( ?? ? x ? ? ,且 x ? 0 )的图象可能是( x

A.

B.

C.

D.

7.已知函数 f ( x) ( x ? R ,且 x ? 1 )的图象关于点 (1, 0) 对称,当 x ? 1 时

f ( x) ? log a ( x ?1) ,且 f (3) ? ?1 ,则不等式 f ? x ? ? 1 的解集是(



A. ( ?3, ) D. ( ??, ?1) ? (1, )

3 2

B. (??, ?3) ? ( , ??)

3 2

C. (??, ?1) ? ( , ??)

3 2

3 2

8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F (?c, 0)(c ? 0) ,过点 F 作圆 a 2 b2

x2 ? y 2 ?

a2 的一条切线交圆于点 E ,交双曲线右支于点 P ,若 OP ? 2 OE ? OF ,则双曲 4
) B.

线的离心率为( A.

10 2

5 2

C.

7 2

D. 2

9.如图,有一个底面是正方形的直棱柱型容器(无盖) ,底面棱长为 1dm ( dm 为分米) ,高 为 5dm ,两个小孔在其相对的两条侧棱上,且到下底面距离分别为 3dm 和 4dm ,则(水不 外漏情况下)此容器可装的水最多为( )

A.

9 3 dm 2

B. 4dm3

C.

10.已知向量 a , b 夹角为

?

?

? ? ? ? ? ? , | b |? 2 ,对任意 x ? R ,有 | b ? xa |?| a ? b | ,则 3


7 3 dm 2

D. 3dm3

? ? ? ? a | tb ? a | ? | tb ? | (t ? R) 的最小值是( 2
A.

13 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

D.

7 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分, 把正确答案填在答题卡中的横线上.
11.计算: | 3 ? i |? ,

10i ? 3?i



12.一个袋中装有质地均匀,大小相同的 2 个黑球和 3 个白球.从袋中一次任意摸出 2 个球, 则恰有 1 个是白球的概率为 ; 从袋中一次任意摸出 3 个球, 摸出白球个数的数学

期望 E? 是

. ,表面积为 .

13.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为

14.已知函数 f ( x) ? x3 ? 2ax2 ? 1 在 x ? 1 处的切线的斜率为 1,则实数 a ? 时函数 y ? f ( x) 在 [0,1] 最小值为 .

,此

15.在数列 {an } 中,a1 ? 1,(n2 ? 2n)(an?1 ? an ) ? 1(n ? N * ) , 则通项公式 an ? 16.若 f ( x) ? x2 ? ax ? b (a, b ? R) , x ?[?1,1] ,且 | f ( x) | 的最大值为

.

1 ,则 2

4a ? 3b ?

.

17.已知 ?ABC 的面积为 1, ? A 的平分线交对边 BC 于 D , AB ? 2 AC ,且 AD ? kAC ,

k ? R ,则当 k ? _____ 时,边 BC 的长度最短.

三、解答题 :本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
18. 已知函数 f ( x) ? 3 cos(

?
2

? x) ? cos x ? sin 2 x , x ? R .

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 B ? 足 f ( A) ? 0 ,求 ?ABC 的面积. 19. 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,?ADC ? 120? , AD 的中点 M 是顶点

?
4

, a ? 2 且角 A 满

P 的底面 ABCD 的射影, N 是 PC 的中点.

(Ⅰ)求证:平面 MPB ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若 MP ? MC ,求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值. 20.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, Sn ? 2an?1 ,其中 Sn 为 {an } 的前 n 项和 (n ? N * ) . (Ⅰ)求 S1 , S2 及数列 {Sn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 求证:当 n ? 2 时,

(?1) n ,且 {bn } 的前 n 项和为 Tn , Sn

1 7 ?| Tn |? . 3 9

21. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴长为 4,焦距为 2 3 ,以 A 为圆心的圆 a 2 b2

( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与椭圆相交于 B 、 C 两点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)求 AB ? AC 的取值范围; (Ⅲ)设 P 是椭圆 C 长异于 B 、 C 的任一点,直线 PB 、 PC 与 x 轴分别交于 M 、 N ,求

??? ? ????

S?POM ? S? PO N 的最大值.
21. 已知函数 f ? x ? ?| x ? a | , g ( x) ? x ? ax , a ? R .
2
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最大值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最大值 M (a) 的最大值; (Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 在 (0, 2) 上有两个解,求 a 的取值范围.

衢州市 2017 年 1 月高三年级教学质量检测试卷 数学参考答案 一、选择题
1-5:BAACB 6-10: ADACD

二、填空题
11.

10 ,?1 ? 3i

12.

3 9 , 5 5

13.

8 ,8 ? 4 2 3

14. ?

1 , 2

23 27
15.

7 2n ? 1 ? 4 2n(n ? 1)

16. ?

3 2

17.

2 10 5

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
2 3? ? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ,k ?Z , 2 6 2 ? 2? ? k? ? ? x ? k ? ? ,k ?Z , 6 3 ? 2? ],k ?Z . ? f ( x) 的单调递增区间是 [k? ? , k? ? 6 3 1 ? (Ⅱ)? f ( A) ? 0 ,? ? sin(2 x ? ) ? 0 , 又? 0 ? A ? ? 2 6
18.解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 cos(

?

? x) ? cos x ? sin 2 x ?

?

?

1 ? ? sin(2 x ? ) , 2 6

?A?

?
3



又b ?

6? 2 sin B 2 6 , sin C ? sin( A ? B) ? , ?a ? 4 sin A 3 1 1 2 6 6 ? 2 3? 3 . ab sin C ? ? 2 ? ? ? 2 2 3 4 3

故 S?ABC ?

19.解: (Ⅰ)证明:在菱形 ABCD 中,设 AB ? 2a , M 是 AD 的中点,

MB 2 ? AM 2 ? AB 2 ? 2 AM ? AB ? cos 60? ? 3a 2 ,
MC 2 ? DM 2 ? DC 2 ? 2DM ? DC ? cos120? ? 7a 2 .
又? BC 2 ? 4a 2 ,? MB 2 ? BC 2 ? MC 2 ,? MB ? BC , 又? P 在底面 ABCD 的射影 M 是 AD 的中点,

? PM ? 平面 ABCD ,又? BC ? 平面 ABCD ,? PM ? BC ,

而 PM ? MB ? M , PM , MB ? 平面 PMB ,

? BC ? 平面 PMB ,又 BC ? 平面 PBC ,

? 平面 MPB ? 平面 PBC .
(Ⅱ)解:过 B 作 BH ? MC ,连接 HN ,

? PM ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,? BH ? PM ,
又? PM , MC ? 平面 PMC , PM ? MC ? M ,? BH ? 平面 PMC ,

? HN 为直线 BN 在平面 PMC 上的射影,
故 ?BNH 为直线 BN 与平面 PMC 所成的角, 在 ?MBC 中, BH ?

2a ? 3a 2 21 ? a 7 7a
? PB ? BC .

由(Ⅰ)知 BC ? 平面 PMB , PB ? 平面 PMB

2 21 a BH 2 6 1 14 ? 7 ? . BN ? PC ? a ,? sin ?BNH ? BN 7 2 2 14 a 2
20.解: (Ⅰ)数列 {an } 满足 Sn ? 2an?1 ,则 Sn ? 2an?1 ? 2(Sn?1 ? Sn ) ,即 3Sn ? 2Sn?1 ,

?

3 3 n ?1 S n ?1 3 即数列 {Sn } 为以 1 为首项, 以 为公比的等比数列, 所以 S n ? ( ) (n ? N * ) . ? , 2 2 Sn 2

(Ⅱ)在数列 {bn } 中, bn ?

(?1) n (?1) n ?1 ? ?1 ? , {bn } 的前 n 项和, 3 n ?1 Sn ( ) 2

2 (?1) n ?1 2 4 2 4 }|? |1 ? (? ) ? ? | Tn | ?| ?1? {1 ? (? ) ? ?[?( )3 ] ? ? ? 3 3 9 3 9 3 ( ) n ?1 2 2 (?1) n ?1 [ ?( ) 3 ] ? ? ? |. 3 n ?1 3 ( ) 2 (?1) n ?1 2 2 4 2 3 2 4 7 |?|1 ? (? ) ? |? , 而当 n ? 2 时, 1 ? ?|1 ? (? ) ? ? [ ?( ) ] ? ? ? 3 3 3 9 3 3 9 9 ( ) n ?1 2



1 7 ?| Tn |? . 3 9

21.解: (Ⅰ)椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4
2 x0 2 ? y0 ? 1, 4

(Ⅱ)设 B( x0 , y0 ) 则 C ( x0 , ? y0 ) 且

2 ??? ? ??? ? x0 5 2 5 8 1 2 2 2 ? 4 x0 ? 3 ? ( x0 ? ) 2 ? , ? AB ? AC ? ( x0 ? 2) ? y0 ? ( x0 ? 2) ? (1 ? ) ? x0 4 4 5 5 4 ??? ? ???? 1 因为 ?2 ? x0 ? 2 ,所以 AB ? AC 的取值范围为 [ ? ,16) .

5

(Ⅲ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? ? y0 ) ,则

x12 ? y12 ? 1 ,直线 PB , PC 的方程分别为: 4

PB : y ? y1 ?

y0 ? y1 ?y ? y ( x ? x1 ) , PC : y ? y1 ? 0 1 ( x ? x1 ) , x0 ? x1 x0 ? x1

分别令 y ? 0 得 xM ?

x1 y0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 , xN ? 1 0 , y0 ? y1 y0 ? y1

所以 xM xN ?

2 2 2 2 2 2 x12 y0 ? x0 y1 (4 ? 4 y12 ) y0 ? (4 ? 4 y0 ) y12 4( y0 ? y12 ) ? ? ?4, 2 2 2 y0 ? y12 y0 ? y12 y0 ? y12

于是 S ?POM ? S ?PON ?

1 1 | OM || ON | ? y12 ? | xM xN | ? y12 ? y12 , 4 4

因为 ?1 ? y1 ? 1 ,所以 S?POM ? S?PON 取得最大值为 1.
2 21.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1| , f ( x) 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1.

(Ⅱ)由于 f ( x) ?| x ? a | 在区间 [?1,1] 上是偶函数,故只需考虑 f ( x) 在 [0,1] 上的最大值
2

即可. 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x ? a ,它在 [0,1] 上是增函数,故 M (a) ? 1 ? a .
2

1 1 时, M (a) ? 1 ? a ,当 a ? 时, M (a) ? a , 2 2 1 1 故当 a ? 时, M (a) 最小,最小值为 . 2 2
若 a ? 0 ,由 a ? 1 ? a 知,当 a ? (Ⅲ)令 y ? f ( x) ? g ( x) ,
2 当 a ? 0 时,方程 y ? 2 x ? 0 只有一解,

当 a ? 0 , y ? 2 x2 ? ax ? a 对称轴为 x ? 两解.

a ? 0 ,故方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 在 (0, 2) 上不存在 4

?2 x 2 ? ax ? a( x ? ?a或x ? a) 当 a ? 0 时, y ? ? , ?ax ? a(?a ? x ? a) ?
令 h( x) ? 2x2 ? ax ? a 由 h(0) ? ?a ? 0 知方程 h( x) ? 0 在 (0, ??) 只有一解, 故方程 ?ax ? a ? 0 必有一解 x ? 1 ,知 a ? 1 ,所以方程 h( x) ? 0 在 (1, 2) 必有一解. 由 h(1)h(2) ? 0 得 (2 ? 2a)(8 ? 3a) ? 0 所以 1 ? a ? 综上所述, a 的取值范围为 1 ? a ?

8 8 1? a ? , 3 3

8 . 3


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