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《基本不等式(一)》

时间:2010-10-07


a + b ≥ ab 2

(a > 0,b > 0)

2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标 2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标 年在北京举行的第24

思考: 思考:这会标中含有怎 样的几何图形? 样的几何图形? 思考: 思考:你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系? 或不等关系?

在正方形ABCD ABCD中 AF=a,BF=b,则正方形的面积 问1:在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a +b 为S=————, Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 问2:Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 D 它们的面积和是S = 2ab 形,它们的面积和是S’=——— A 有什么样的关系? 问3:S与S’有什么样的关系? 有什么样的关系 从图形中易得, 从图形中易得, s’, s > s ,即
H
2

a +b

2

E F

G

a + b > 2ab

2

2

B

C

问题1 有相等的情况吗? 问题1:s, S’有相等的情况吗? 何时相等? 何时相等?

形的角度

图片说明: 图片说明:当直角三角形 变为等腰直角三角形, 变为等腰直角三角形,即 正方形EFGH EFGH缩为一 a=b时,正方形EFGH缩为一 个点,这时有 个点,

a + b =2ab
2 2

数的角度

当a=b时 时 a2+b2-2ab =(a-b)2=0

问题2:当 a,b为任意实数时,a +b ≥ 2ab 成 问题2 a,b为任意实数时, 为任意实数时
2 2

立吗? 立吗?

结论:一般地,对于任意实数a 结论:一般地,对于任意实数a、b,我们有

a + b ≥ 2a b
2 2

当且仅当a=b时 当且仅当a=b时,等号成立 a=b 此不等式称为重要不等式 此不等式称为重要不等式

类 比 联 想

> > (特别的)如果 a>0 ,b>0 , 特别的)

用 a和 b代替a、b, 可得 a + b ≥ 2 ab
也可写成

a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当 a=b 时“=”号成 立 此不等式称为基本不等式 此不等式称为基本不等式

a + b ≥ 2
算术平均数

a b

几何平均数

(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 (1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 两个正数的算术平均数不小于 均数. 均数. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

对基本不等式的几何意义作进 对基本不等式的几何意义作进 几何意义 一步探究: 一步探究

P

A

a

o

Q b

B

如图,AB是圆 如图,AB是圆o的 ,AB 直径, AB上任 直径,Q是AB上任 一点, 一点,AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 过点Q作垂直于AB 的弦PQ PQ, AP,BP, 的弦PQ,连AP,BP,

ab PQ=____, ____,半径 则PQ=____,半径 a+b AO=_____ AO=_____

2

几何意义: 几何意义:圆的半径不小于圆内半弦长

已知

x, y 都是正数,试探究: 都是正数,试探究:

xy 是定值 ,和 x+y 是否有最小值? 是定值P, 是否有最小值 最小值? x = ,最小值为: 2 P 若有, 若有,那么当 时 y 最小值为:
(1)如果积 ) (2)如果和 x + ) 若有,那么当 若有, 是定值S, 是否有最大值 最大值? y 是定值 ,积 xy 是否有最大值? 1 时,最大值为 S x= y 4
2

用篱笆围成一个面积为100 100m 例 1 : ( 1 ) 用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形 菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少? 篱笆最短。最短的篱笆是多少?
设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, xy=100,篱笆的长为2 x+y) 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

x+ y ∴ x + y ≥ 2 100, ∵ ≥ xy 2 2( x + y ) ≥ 40 等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10. 等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10. x=y时成立
因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的篱笆最 因此,这个矩形的长、宽都为10m时 10m 最短的篱笆是40m. 短,最短的篱笆是40m.

强调:两个正变量积为定值, 和有最小值, 强调:两个正变量积为定值,则和有最小值, 积为定值 当且仅当两值相等时取最值。 当且仅当两值相等时取最值。

(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的 面积最大,最大面积是多少? 面积最大,最大面积是多少?
设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则 2( x + y )= 36 , x + y = 18 ( 矩形菜园的面积为xym 矩形菜园的面积为xym2 得 xy

≤ 81

x+ y ∵ xy ≤ =18/2=9 2

当且仅当x=y,即x=y=9时 当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立 x=y, 因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园面积最大, 因此,这个矩形的长、宽都为9m时 菜园面积最大, 9m 最大面积是81m 最大面积是81m2

强调:两个正变量和为定值, 积有最大值, 强调:两个正变量和为定值,则积有最大值, 和为定值 当且仅当两值相等时取最值。 当且仅当两值相等时取最值。

应用基本不等式求最值的条件: 应用基本不等式求最值的条件:
一正 二定 三相等

a与b为正实数

积定和最小 和定积最大

若等号成立, 若等号成立, a与b必须能 够相等

强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“ 强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”

应用基本不等式求最值的条件: 应用基本不等式求最值的条件:
一正 二定 三相等

2 求f (x) = sin x + ,(x ∈(0,π ))的最值。 sin x
a与b为正实数 积定和最小 和定积最大 若等号成立, 若等号成立, a与b必须能 够相等

强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“ 强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”

例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积 2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池 深为3m.如果池底每平方米的造价为150 3m.如果池底每平方米的造价为150元 为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120 120元 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造 价最低?最低总造价是多少? 价最低?最低总造价是多少?

分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 3m, 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了. 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低。 面的长与宽取什么值时水池总造价最低。

设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z xm,宽为ym,水池总造价为 解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意, 根据题意,有: z = 150 × 4800 + 120(2 × 3x + 2 × 3y)
3 = 240000 + 720(x + y)

由容积为4800m 可得:3xy=4800 由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质, 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 + 720(x + y) ≥ 240000 + 720 × 2 xy
z ≥ 240000 + 720 × 2 1600



当x=y,即x=y=40时,等号成立 x=y,即x=y=40时 所以,将水池的地面设计成边长为40m 40m的正方 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600 297600元 形时总造价最低,最低总造价为297600元.

z ≥ 297600

1.下列函数中最小值为4的是( 1.下列函数中最小值为4的是( 下列函数中最小值为

C)

4 4 sinx+ π) A、y = x + B、y = sinx + (0 ≤ x ≤π) x sinx +43 C、y = 3x +43-x D、y =lgx+4logx 10
2.设a>1, 2.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a+1), (2a)则m,n,p的大小关系是 的大小关系是( p=loga(2a)则m,n,p的大小关系是(

m>p>n )
4 2)

3.若a.b∈R,且a+b=3,则 3.若a.b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值为(

4.设计一副宣传画,要求画面面积为4840cm 4.设计一副宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面 设计一副宣传画 的宽与高的比为a(a<1),画面的上下各留出8cm的 的宽与高的比为a(a<1),画面的上下各留出8cm的 a(a<1) 8cm 空白,左右各留5cm的空白, 5cm的空白 空白,左右各留5cm的空白,怎样确定画面的高与 宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小? 宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小? 解:设宣传画的宽为xcm,面积为 设宣传画的宽为 ,面积为S
4840 3025 S = (x + 10)( + 16) = 5000 + 16(x + ) x x 3025 ≥ 5000 + 16× 2 x = 6760 x 3025 即 x = 55 取 " = " 只有x = x 4840 55 = 88,a = <1 x 88

5.某种生产设备购买时费用为10万元, 5.某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理 某种生产设备购买时费用为10万元 费共计9千元,这种生产设备的维修费各年为: 费共计9千元,这种生产设备的维修费各年为:第一 千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2 年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2千元 的增量递增。 的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最 合算(即使用多少年的平均费用最少? 合算(即使用多少年的平均费用最少?) 解:设使用x年报废最合算 设使用 年报废最合算
(0.2 + 0.2x)x 10 + 0.9x + 10 x 2 y= = 1+ + x x 10 10 x ≥ 1 + 2× =3 x 10 10 x 10取 只有 = 即 x = 10 取 " = " x 10

1. 两个不等式 (1)

a, b ∈ R, 那么a 2 + b 2 ≥ 2ab

(当且仅当a = b时取" ="号)
a+b 当且仅当a=b a=b时 (2) ab ≤ (a>0,b>0) 当且仅当a=b时,等号成立 2
注意:1.两公式条件,前者要求a,b为实数;后者要求a,b为正数。 注意:1.两公式条件,前者要求a,b为实数;后者要求a,b为正数。 两公式条件 a,b为实数 a,b为正数 2.公式的正向 逆向使用的条件以及“ 公式的正向、 的成立条件。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用:主要在于求最值 2.不等式的简单应用:主要在于求最值 不等式的简单应用 七字方针” 一正,二定,三相等” 把握 “七字方针” 即 “一正,二定,三相等”

b , 1.设 a >0, >0,若 3是 设 ,
得最小值为( 得最小值为(

3a 与 3b

1 1 的等比中项, 的等比中项,则 + a b

B)
B. 4

(2009年天津理 ) 年天津理6) 年天津理

A. 8

C. 1

D.

1 4

3 x y 6 ≤ 0, 2.(2009山东理 山东理12T)设 x, y 满足约束条件 x y + 2 ≥ 0, 若目标函数 ( 山东理 设 x ≥ 0, y ≥ 0,

z = ax + by(
A.

a>0, b
B.

>0)的最大值为 ,则 的最大值为12, 的最大值为

2 3 + 的最小值为( A 的最小值为( ) a b

25 6

8 3

C.

11 3
y

D. 4

略解:
by得 把点(4,6)代入z = ax + by得4a + 6b = 12, 2 3 2 3 2a + 3b 即2a + 3b = 6,而 + = + a b a b 6 13 b a 13 25 = +( + ) ≥ + 2 = ,故选A 6 a b 6 6
-2

(4,6)

x y +2= 0
z = ax + by

2 0 2

3x y 6 = 0

x

作业
教材:P100:习题3.4A组 教材:P100:习题3.4A组 3.4A


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