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2016届四川省成都高新区高三12月统一检测数学理试题 word版

时间:2015-12-11


2016 届四川省成都高新区高三 12 月统一检测数学理试题
(考试时间:12 月 3 日下午 2:00—4:00 总分:150 分)

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x |1 ? x ? 3}, B ? {x | 0 ? x ? 2} ,则 A B = (▲) A. {x | 0 ? x ? 3} B. {x |1 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} i ?1 2.复数 z ? ,则 |z |? (▲) i
A. B. ?1+i C. 2 D. 1 ? i

3.已知 a , b 为实数,则“ a ? b ”是“ ln a ? ln b ”的( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, , m 是两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? ( A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //? B.若 ? ? ? ,则 l ? m D.若 ? //? ,则 l //m
开始 输入n

?x ? 0 y ? 5.已知 ? x, y ? 满足 ? y ? 0 ,则 的最大值等于( ▲ ) x ?1 ?x ? y ? 1 ?
A.

i ? 1, S ? 0
1 (2i ? 1)(2i ? 1)

S?S?

1 2

B.

3 2

C.

D.

1 4 4 9

i=i+1

6.执行如右图所示的程序框图,如果输入 n ? 3 ,则输出的 S ? ( ▲ ) A.

i ? n?
是 输出S



6 7

B.

3 7

C.

8 9

D.

a 1 7.若二项式 ( 2 x ? ) 7 的展开式中 3 的系数是 84,则实数 a ? ( ▲ ) x x
A. ? 2 B. ? 5 4 C. ? 1 D. ?

结束

2 4

第6题

?cos 2 x ? sin 2 x ? a1 a2 ? =a1 a4 ? a2 a3 ,若 f ( x) ? ? 8.定义 2 ? 2 矩阵 ? ? ? cos( ? ? 2 x) ? a3 a4 ? ? ? 2
象向右平移

3? ? ,则 f ( x) 的图 1? ? ?

?
3

个单位得到函数 g ( x) ,则函数 g ( x) 解析式为(▲) B. 图象关于直线 x ?

A. 图象关于 ?? , 0 ? 中心对称

?
2

对称

C. g ? x ? 是周期为 ? 的奇函数 9.已知双曲线

D. 在区间 [?

?
6

, 0] 上单调递增

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切, 2 a b
6 2
3 2

则该双曲线离心率等于( ▲ ) A.

3 5 5

B.

C.

D.

5 5

10.设函数 f ? x ? ? x e x ? e ? x ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是( ▲) A. ? ,1?

?

?

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

?1, ?? ?

C. ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

1? ?1 ? ? , ?? ? 3? ?3 ?

11.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N,使得∠OMN=30°,则 x0 的取值范围 是(▲) A.

? ?1,1?

B. ? ? 3, 3 ?

?

?

C.

? ?2, 2?

D.

? ?3,3?

12.已知 a, b ? R ,函数 f ? x ? ? ln (x ? 1)-2 在 x ? ?

1 处于直线 y ? ax ? b ? ln 2 相切,设 2

2 g ? x ? ? e x ? bx 2 ? a , 若在区间 ?1, 2? 上, 不等式 m ? g ? x ? ? m ? 2 恒成立, 则实数 m ( ▲ )

A.有最小值 ?e

B.有最小值 e

C.有最大值 e

D.有最大值 e ? 1

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (2 cos ? , ?1) 且 ? ? (0, ? ) ,若 a⊥b ,则 ? = 14.已知等比数列 {a n } 中 log 2 a1 ? log 2 a7 ? 4 ,则 a3 a5 ? ▲ ▲ .

15.若四面体的三视图如图所示,求该四面体的外接球的表面积 _▲ . 16.已知函数 f ( x) ? ? ①函数的最小值为-1; ②若方程 m ?| f ( x ? k ) | (k ? R ) 有两个零点,则 m ? 1 ; ③若 f ( x) ? 0 在 [ , ??) 上恒成立,则 a 的取值范围是 a ? 1 ; ④对任意的 x1 , x2 ? (??, 0) 且 x1 ? x2 ,恒有 f ( 其中正确命题的序号是
第 15 题

?10? x ? 2, x ? 0 (a是常数, a ? 0) .给出下列命题: ? 2ax ? 1, x ? 0

1 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . )? 2 2

. (写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分) 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 2a1 , a3 , 3a2 成等差数列. (Ⅰ) 求等比数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若数列 {bn } 满足 bn ? 11 ? 2 log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值. ▲ 18. (本小题满分 12 分) 在一次数学测验后,班级学委对选答题的选题情况进行了统计,如下表: (单位:人) 几何证明选讲 男同学 女同学 合计 12 0 12 坐标系与参数方程 4 8 12 不等式选讲 6 12 18 合计 22 20 42

在原统计结果中, 如果不考虑性别因素, 按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机 选出 7 名同学进行座谈.已知两名数学科代表都在选做《不等式选讲》的同学中. (Ⅰ)求在选做“坐标系与参数方程”的同学中,至少有一名女生参加座谈的概率; (Ⅱ)记抽到数学科代表的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) .

▲ 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ?

? ?

??

3 2 , x ? R .. ? ? 3 cos x ? 3? 4

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? A ? ? 面积的最大值. ▲ 20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,PA ? AB ,PC ? PD ,E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:平面 PAE ? 平面 ABCD ; P (Ⅱ)若 PB ? PD ? 2 PA ,求二面角 B ? PC ? D 的余弦值. ▲
B A

3 , a ? 3 ,求 ?ABC 4

21. (本小题满分 12 分)
C E D

3 x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右顶点 A 是抛物线 y ? 8 x 的焦 2 a b
点.直线: y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如果 AM ? AP ? AQ ,点 M 关于直线的对称点 N 在 y 轴上,求直线的方程. ▲ 22. (本小题满分 12 分)

1 2 , g ( x) ? ?bx ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ax ? ln x ( f '( x) 为其导函数) 2 (Ⅰ) 当 a ? ?2 时, f '(1) ? g (?1) ? 2 ,求函数 h( x) 的单调区间. (Ⅱ)当 a ? 0 时, 2 (ⅰ)若 ? ? -1 ,满足不等式 ? f ( x) ? ?t ? ? t ? 1 在 x ? [e,3] 上恒成立,求的取值范围. xx (ⅱ)若 x1 , x2 为 h( x) 的两个不同零点,求证: 1 2 2 ? 1 . e
已知函数 f ( x) ? ▲

数学(理)标准答案与评分细则
一、选择题 DCBAC BCDCA 二、填空题 13. BD 15. 41 ? 16. ①④

?
4

14. 16

三、解答题 17.解:(Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q, an ? 0 . 因为 2a1 , a3 , 3a2 成等差数列,所以 2a1 ? 3a2 ? 2a3 ,则 2a1 ? 3a1q ? 2a1q 2 ,
1 所以 2q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? ? (舍去),………………………………… 3 分 2

又 a1 ? 2 ,所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2n .…………………………………………5 分 (Ⅱ) bn ? 11 ? 2 log 2 an ? 11 ? 2n ,………………………………………………………7 分 则 b1 ? 9 , bn ?1 ? bn ? ?2 ,故数列 {bn } 是首项为 9,公差为-2 的等差数列, 所以 Tn ?
n(9 ? 11 ? 2n) ? ?n 2 ? 10n ? ?(n ? 5) 2 ? 25 ………………………………8 分 2

所以当 n ? 5 时, Tn 的最大值为 25.………………………………………………10 分 18. 解: (Ⅰ)由分层抽样的原理可知在“坐标系与参数方程”的 12 位同学中,要选取 2 位同学.令 事件 A 为“在选做“坐标系与参数方程”的同学中,至少有一名女生参加座谈”;则

P( A) ?

1 1 C8 C4 ? C82 11 ? …………………………………………………………………5 分 2 C12 12

(Ⅱ)由题可知在“不等式选讲”的 18 位同学中,要选取 3 位同学. 由题知 X 的可能值为 0,1,2.依题意

P( X ? 0) ?

3 2 1 1 2 C16 C16 C2 5 C16 C2 35 1 ; ; ? P ( X ? 1 ) ? ? P ( X ? 2 ) ? ? …………8 分 3 3 3 C18 51 C18 17 C18 51

从而 X 的分布列为

X
P

0

1

2

…………………………………………………………………………………………………10 分 于是 E ( X ) ? 0 ?

35 5 1 17 1 ? 1? ? 2 ? ? ? .…………………………………………12 分 51 17 51 51 3

19. 解:解析:由已知,有

1 3 f ( x) ? cos x ( sin x ? cos x) ? 3 cos 2 x ? 2 2 1 3 3 1 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? 4 4 4 4
∵-

3 1 3 3 ? cos x sin x ? cos 2 x ? 4 2 2 4 …4 分 3 1 ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 4 2 3

?
2

+2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k ? , ? ?

?
12

? k? ? x ?

∴函数 f ? x ? 的 单调增区间为 [? (2)因为有 f ? A ? =

?
12

? k? ,

5? ? k? ](k ? Z) …………………………6 分 12

5? ? k? 12

1 ? 3 ? ? 2? sin(2A- )= ,则2A- ? 或 , 2 3 4 3 3 3

?A?

?
3

或A ?

?
2

…………………………………………………………………………8 分

又因为 ?ABC 为锐角,则 A=

?
3

,由余弦定理可得:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,即3 ? b 2 ? c 2 ? bc
因为 3+bc ? b 2 ? c 2 ? 2bc,所以bc ? 3 ,……………………………………10 分

1 3 3 3 3 ∴ S ?ABC ? bc sin A ? ,即 ?ABC 面积的最大值为 。……………12 分 2 4 4
20. 解:

【解析】 (Ⅰ) E是CD的中点,PC ? PD, ? CD ? PE 又 底面ABCD为菱形,且PA ? AB, ? CD ? PA 由于PA ? PE ? P且CD ? 平面PAE ? CD ? 平面PAE , 由于CD ? 平面ABCD, 因此,平面PAE ? 平面ABCD. 6分
X B A

Z P

C

E Y

D

(Ⅱ由Ⅰ可知, ) () CD ? 平面PAE ,? CD ? AE, AB / / CD, ? AB ? AE PB ? PD, AB ? AD,? PAB ? PAD ??PAD ? ?PAB ? 90 因此,PA ? 平面ABCD,? PA ? AE 如图建立空间直角坐标系o - xyz

不妨令AB ? 2,P(0,0,1),C(1,3,0),B(2,0,0),D(-1,3,0) 设平面PBC,平面PDC的法向量分别为n1 , n2 . ? ? n1 ? PB ? 0 ? ?n ? PC ? 0 ,? 2 ? ?n1 ? PC ? 0 ? ? n1 ? PD ? 0 ? 3 , 2), n2 (0,1, 3) 3 | n ?n | 7 cos ? B ? PC ? D ?? ? 1 2 ? ? . 8 | n1 || n2 | n1 ? (1,
21. 解: (Ⅰ)抛物线 y ? 8 x ,所以焦点坐标为 (2, 0) ,即 A(2, 0) ,所以 a ? 2 .
2

8分 12分

又因为 e ?

c 3 ? ,所以 c ? 3 .所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , a 2
x2 ? y2 ? 1. 4
……………………4 分

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,因为 AM ? AP ? AQ , A(2, 0) , 所以 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) , AQ ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 AM ? AP ? AQ ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 +y2 ) , 所以 M ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? .

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 由? 4 ,得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) ,……6 分 ? y ? k ( x ? 1) ?
得 x1 ? x2 ? 2 ?

?2k 8k 2 ?2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , ?2? 2 2 4k 2 +1 4k ? 1 4k ? 1
………………………………………8 分

即M(

?2 ?2k , 2 ). 2 4k ? 1 4k ? 1

y ?1 ?k , 2 ? 3), 2 4k ? 1 4k ? 1 2 因为 M , N 关于直线对称,所以 MN 的中点在直线上,
设 N (0, y3 ) , 则 MN 中点坐标为 ( 所以

?k y ?1 ? 3 ? k( 2 ? 1) ,解得 y3 ? ?2k ,即 N (0, ?2k ) . 2 4k ? 1 2 4k ? 1

由于 M , N 关于直线对称,所以 M , N 所在直线与直线垂直,

?2k ? (?2k ) 2 所以 4k ? 1 ? k ? ?1 ,………………………………………10 分 ?2 ?0 4k 2 ? 1
解得 k ? ?

2 . 2

……………………………………12 分

所求直线的方程为: y ? ?

2 ? x ? 1? 2

22.解: (Ⅰ) 当 a ? ?2 时, 1 因为 f ?( x) ? -2 x ? ,所以 f ?(1) ? -2 ? 1 ? -1 , x 由 f ?(1) ? g (?1) ? 2 可得 b=1 . 所以 h( x) ? ? x 2 ? ln x ? x ,其定义域为(0,+ ? )…………………………2 分

h?(x) ? ?2 x ?

1 1 ?2 x 2 ? x ? 1 ?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 1= ? 令 h?(x) ? 0 得 x1 ? ? , x2 ? 1 , 2 x x x

当 x ? (0,1)时, h?(x)>0 ,当 x ? (1,+ ? ) h?(x)<0 , 所以函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+ ? )上单调减. …………3 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x , h( x) ? ln x ? bx (ⅰ)当 ? ? ?1 时,若不等式 ? ln x ? ?t 2 ? ? t ? 1 在区间 [e,3] 上恒成立,
2 则 (? ln x) max ? ?t ? ? t ? 1 ,…………………………………………………5 分

因为在 x ? [e,3] 时,所以 (? ln x) max = ?
2 故有 ? ? ?t 2 ? ? t ? 1 恒成立,令函数 m(? ) ? (1 ? ? )t ? t ? 1 ? 0 在 ? ? ?1 时恒成立

,解得 ?1 ? t ? 2 …………………………………………7 分 2 ?m(?1) ? t ? t ? 2 ? 0 (ⅱ)由题意得 ln x1 ? bx1 ? 0 , ln x2 ? bx2 ? 0 即?

?

1? ? ? 0

………………………9 分

………………………10 分


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