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高中数学 奥赛辅导精品第三讲 函数的概念和性质

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第三讲

函数的概念和性质
知识、方法、技能

I.函数的定义 设 A,B 都是非空的数集,f 是从 A 到 B 的一个对应法则.那么,从 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做从 A 到 B 的函数.记做 y=f(x),其中 x∈A,y∈B,原象集合,A 叫做函数 f(x)的定义 域,象的集合 C 叫做函数的值域,显然 C ? B. II.函数的性质 (1)奇偶性 设函数 f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集.若对任意的 x∈D,都 有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶 函数. (2)函数的增减性 设函数 f(x)在区间 D′上满足:对任意 x1, x2∈D′,并且 x1<x2 时, 总有 f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)),则称 f(x)在区间 D′上的增函数 (减函数) , 区间 D′称为 f(x) 的一个单调增(减)区间. III.函数的周期性 对于函数 f(x), 如果存在一个不为零的正数 T ,使得当 x 取定义域中的每个数时, f(x+T)=f(x)总成立,那么称 f(x)是周期函数,T 称做这个周期函数的周期.如果函数 f(x)的 所有周期中存在最小值 T0,称 T0 为周期函数 f(x)的最小值正周期. IV.高斯函数 对任意实数 x,我们记不超过 x 的最大整数为[x],通常称函数 y=[x]为取整函数,又称高 斯函数. 进一步,记{x}=x-[x],则函数 y={x}称为小数部分函数,它表示的是 x 的小数部分. 根据高斯函数的定义,可得到其如下性质. 性质 1 对任意 x∈R,均有 x-1<[x]≤x<[x]+1. 性质 2 对任意 x∈R,函数 y={x}的值域为 [0,1) .

性质 3 高斯函数是一个不减函数,即对任意 x1, x2∈R,若 x1≤x2, 则[x1] ≤[x2]. 性质 3 若 n∈Z, x∈R,则有 [x+n]=n+[x], {n+x}={x} 后一个式子表明 y={x}是一个以 1 为周期的函数. 性质 4 若 x , y ∈R, 则 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1. 性质 5 若 n∈N*, x∈R, 则[nx]≥n[x] 性质 6 若 n∈N*, x∈R, 则 [ ] ? [

x n

[ x] ]. n x n

+ 性质 7 若 n∈N*, x∈R , 则在区间[1,x]内,恰有 [ ] 个整数是 n 的倍数.

性质 8 设 p 为质数,n∈N*,在 p 在 n!的质因数分解式中的幂次为

n n p(n!) ? [ ] ? [ 2 ] ? ? p p
赛题精讲 函数是高中数学, 也是高等数学的基础.因此, 也是高考和高中数学竞赛的重要内容.

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下面分类介绍此类题目. I 函数的定义域和值域 例1 当 x 为何值时, lg lg lg lg lg lg x 才有意义.

【思路分析】应根据对数的意义,从最外层开始一层一层地逐步消去根号和对数符号求 出 x 的范围. 【略解】由 lg lg lg lg lg lg x >0,得 lg lg lg lg lg x ≥1 ??
10 ∴ x ? 10
2 ?10 2 ?10 2 ?10

【评述】这种多层对数及根式问题,一定要逐层由外向内求解,要有耐心。 例 2 设 A={a|a=7p,p∈N*},在 A 上定义函数 f 如下:若 a∈A,则 f(a)表示 a 的数字之 和,例如 f(7)=7,f(42)=6,设函数 f 的值域是集合 M.求证:M={n|n∈N*, n≥2}. 【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明. 【略解】先证 M ? {n|n∈N*,n≥2}. 任取 x∈M, 即 x 是被 7 整除的正整数的数字之和,由于 7×10 ,n=0, 1,2,?,所以 x 的数字之和是大于 1 的正整数,因此 x∈{n|n∈N*,n≥2}.所以 M ? {n|n∈N*,n≥2}. 再证{n|n∈N*,n≥2} ? M. 任取 x∈{n|n∈N*,n≥2},即 x 是大于 1 的正整数.下面分两种情形: 当 x=2k(k∈N*)时,由于 7|100|,于是取 a= 10011001?1001, k 个 1001 则 7|a,且 f(a)=2k,所以 x∈M. 当 x=2k+1(k∈N*)时,由于 7|100|,7|21,于是取 b=10011001?100121, k-1 个 1001 则 7|b,且 f(b)=2(k-1)+3=2k+1,故 x∈M,故 x∈M.所以 {n|n∈N*, n≥2} ? M. 因此 M={n|n∈N*, n≥2}. 【评述】此类题目的证明严谨、科学. 例 3 设正实数 x, y 满足 xy=1,求函数 f(x, y) =
n

x? y 的值域.(其中([x]表示不超过 x 的最大整数) [ x][ y ] ? [ x] ? [ y] ? 1
2

【思路分析】由 x、y 的对称性,不妨设 x≥y,则有 x ≥1,必分 x=1 与 x>1 两种情况讨 论. 【详解】不妨设 x≥y,则 x ≥1,x≥1.有下面两种情形:
2

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(1)当 x=1 时,y=1,此时 f(x,y)=

1 . 2

(2)当 x>1 时,设[x]=n, {x}=x-[x]=α ,则 x=n+α ,0≤α <1.

1 <1,故[y]=0. n ?? 1 n ?? ? n ?? . f ( x, y) ? n ?1 1 由函数 g(x)=x+ 在 x≥1 时是递增的和 0≤α <1 得 x 1 1 1 n ? ? n ?? ? ? n ?1? , n n ?? n ?1 1 1 n? n ?1? n ? f ( x, y ) ? n ?1 . ? n ?1 n ?1 1 n? 2 n ? n ?1 ? 1? n ?1 , 设a n ? n ?1 n2 ? n n2 ? n 1 n ?1? 1 n ?1 ? 1? bn ? .则 n ?1 (n ? 1) 2 n?2 a n ?1 ? a n ? . n(n ? 1)(n ? 2)
于是,y=

a1 ? a 2 ? a3 , a3 ? a 4 ? ? a n ? ? , b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?. 5 5 于是当x ? 1时, f ( x, y )的值域为 [a 2 , b1 ),即[ , ). 6 4 1 5 5 综上所述,f(x, y)的值域为 { } ? [ , ) . 2 6 4
【评述】本例表面上为“二元函数”实为一元函数,因为 y=

1 ,消去 y 后就是关于 x 的 x

函数了. II.函数性质的应用 在数学竞赛中,常见的应用函数性质的题目有以下几类: 1.求值、求最值 例 4 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数,且 f(1)=2,求 f(2)+f(3)的值. 【思路分析】要抓住函数为奇函数且周期为 3 进行变形求值. 【略解】对定义在 R 上的奇函数,必有 f(0)=-f(0),即 f(0)=0. ∴f(3)=f(0)=0, f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2. ∴f(2)+f(3)=-2. 例 5 设 f(x),g(x)都是定义在 R 上的奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)+2 在区间(0,+∞)上 的最大值是 5,求 F(x)在(-∞,0)上的最小值.

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【思路分析】应注意 F(x)-2 是奇函数,这是解题的一条途径. 【略解】令 ? (x)=F(x)-2=af(x)+bg(x), 易知 ? (x)为奇函数,且在(0,+∞)上有最大值 3. ∴ ? (x)在(-∞,0)上有最小值-3. 故 F(x)在(-∞,0)上的最小值为-1. 【评述】将代数式转化为奇函数的思想十分重要,应注意掌握这种“转化思想”. 例 6 设函数 f(x), 对任意 x, y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 若 x>0 时, f(x)<0 且 f(1)= -2. (1)证明:f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 【思路分析】因为 x∈R,由区间的特殊点,即 x=0 入手,是解题的出发点. 【略解】 (1)令 x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), ∵f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)设 x1, x2∈R,且 x1< x2,则 f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1), ∵x2>x1, ∴x2-x1>0. 由已知得 f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<f(x1).故 f(x)在 R 上是减函数. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值[f(x)]最大值=f(-3),最小值[f(x)]最小值=f(3). 又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6. 故 f(x)在[-3,3]上的最大值为 6,最小值为-6. 【评述】本题中的 “x2=x1+(x2-x1)”是完成证明函数是减函数的证明的主要过程,这一 特点读者应有所体会. 2.求函数的解析式 x -x 例 7 若 f(x)=2 -2 lga 为奇函数,求实数 a 的值. 【思路分析】可由 f(x)为奇函数,得到 f(-x)=-f(x),构造方程来求 a 的值. -x x x -x 【略解】∵f(-x)=2 -2 lga=-(2 -2 lga)=-f(x), x -x x -x ∴(2 +2 )-(2 +2 )lga=0, x -x 即(2 +2 )(1-lga)=0, x -x ∵2 +2 >0, ∴1-lga=0, 故 a=10. 【评述】利用“函数与方程的思想”来解题依然是本题的主线,但函数是奇函数是出发 点。应注意找好每道题解题的出发点. 例 8 已知定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(1)=2. (1)求证:f(x)为奇函数; 2 (2) 当 t>2 时, 不等式 f(klog2t)+f(log2t-log2 t-2)<0 恒成立, 求实数 k 的取值范围. 【思路分析】由 f(x)的定义域为 R,从其特殊点,即 x=y=0 入手来解此题. 【略解】 (1)令 x=y=0 得 f(0)=2f(0), ∴f(0)=0. 再令 y=-x, 得 f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x), 即 f(x)为奇函数.

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(2)∵f(0)=0, f(1)=2,且 f(x)是 R 上的单调函数,故 f(x)是 R 上的单调递增函数.又 f(x)是奇函数.
2 由 f (k log2 t ) ? ? f (log2 t ? log2 2 t ? 2) ? f (log2 t ? log2 t ? 2)

得 klog2t<log2 t-log2t+2, 2 即 log2 t-(k+1)log2t+2>0, 2 ∴(k+1) -8<0, ∴-2 2 <k+1<2 2 , ∴-1-2 2 <k<-1+2 2 . 故使不等式恒成立的实数 k 的范围是(-1-2 2 ,2 2 -1). 【评述】本题(2)为函数不等式,此类题目十分典型,本节后面将专门加以介绍.

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