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平面向量的实际背景及基本概念导学案

时间:2016-12-14


河北阜城中学高一数学学案

组题人:王春艳

审核人:高一数学组

使用日期:

平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】 1、了解向量的实际背景,会用字母表示 2、向量的几何表示。 3、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量,相反向量的概念。 【知识梳理】

5.相等向量与共线向量
(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,向量 a 与 b 相等,记作 a=b.任意 两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起 点无关.因为向量完全是由它的方向和模确定. (2)平行向量: ①定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量 a 与 b 平行,通常记作 a∥b. ②规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量 a,都有 0∥a.

1.向量和数量
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量.

③共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此平行向量也叫做共线向量.

2.有向线段
(1)有向线段是带有方向的线段,如图所示,通常在有向线段 的终点处画上箭头表示它的方向.以 A 为起点,B 为终点

题型一、向量的有关概念
【例 1】 下列说法正确的是( )

? ??? ? ??? A.向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A,B,C,D 必在同一直线上
B.向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反 C.向量 AB 与向量 BA 是两平行向量

??? ? 的有向线段记作 AB .
(2)有向线段包含三个要素: 、 、

??? ?

??? ?

D.单位向量都相等 【变式训练】 1.给出命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若 a,b 都是单位向量,则 a=b; ③向量 AB 与向量 BA 相等.以上命题中,正确命题的序号是( A.① B.② C.①③ D.②③

3.向量的表示
(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向. → → → (2)字母表示:通常在印刷时用黑体小写字母 a,b,c…表示向量,书写时用 a , b , c … 表示向量;也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, 例如, AB , CD .

??? ?

??? ?

)

??? ?

??? ?

2.在下列命题中: ①平行向量一定相等; ②不相等的向量一定不平行; ③共线向量一定相等; ④相等向量一定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个向量的两个向量是 共线向量.其中不正确的命题是________.

4.向量的模及两个特殊向量
??? ? ??? ? ??? ? (1)向量的长度(模):向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或模),记作| AB |.
(2)两个特殊向量: ①零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0,零向量的方向是任意的; 零向量的起点与终点是同一点,故不能用有向线段表示出来. ②单位向量:长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量.

题型二、向量的表示
【例 2】 (1)如图,B,C 是线段 AD 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写 出________个向量.

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河北阜城中学高一数学学案

组题人:王春艳

审核人:高一数学组

使用日期:

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1),用直尺和圆规画出下列向量:

【练习反馈】
1.有下列物理量: ①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功. 其中,不是向量的个数是( A.1 C .3 ) B.2 D.4

① OA ,使| OA |=4 2,点 A 在点 O 北偏东 45° ;

??? ?

??? ?

2.如图所示,在正三角形 ABC 中,P、Q、R 分别是 AB、BC、AC 的中点,则与向量 PQ 相等的向量是? A. PR 与 QR C. RA 与 CR

??? ? ??? ? ② AB ,使| AB |=4,点 B 在点 A 正东; ??? ? ??? ? ③ BC ,使| BC |=6,点 C 在点 B 北偏东 30° .

??? ?

??

??? ?

??? ?

B. AR 与 RC D. PA 与 QR

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

题型三、共线向量或相等向量
【例 3】 如图所示,四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形.

3.当向量 a 与任一向量都平行时,向量 a 一定是________. 4、给出下列各命题: (1)零向量没有方向; (3)单位向量都相等; (2)若|a|=|b|,则 a=b; (4)向量就是有向线段;

??? ? (1)找出与向量 AB 共线的向量; ??? ? (2)找出与向量 AB 相等的向量.

(5)两相等向量若其起点相同,则终点也相同; (6)若 a=b,b=c,则 a=c; (7)若 a∥b,b∥c,则 a∥c; → → → → (8)若四边形 ABCD 是平行四边形,则AB=CD,BC=DA. 【变式训练】 1 如图,△ABC 和△A′B′C′是在各边的 处相交的两个全等的等边三 3 a 角形,设△ABC 的边长为 a,图中列出了长度均为 的若干个向量,则 3 (1)与向量 GH 相等的向量有________; 其中正确命题的序号是________.

5.已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,则| BD |=________.

??? ?

????

6.如图,O 是正方形 ABCD 的中心. (1)写出与向量 AB 相等的向量; (2)写出与 OA 的模相等的向量.

???? (2)与向量 GH 共线,且模相等的向量有________; ??? ? (3)与向量 EA 共线,且模相等的向量有________.

??? ?

??? ?

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