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2019年山东省青岛市高考数学三模试卷(理科)

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2019 年山东省青岛市高考数学三模试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的

1.(5 分)已知复数 z 满足 z=3+2i(i 为虛数单位),则 z2 的虚部为( )

A.5

B.﹣12

C.﹣5

D.12

2.(5 分)函数 f(x)=

的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

3.(5 分)已知{an}为等比数列,a10,a30 是方程 x2﹣11x+16=0 的两实根,则 a20 等于( )

A.3

B.±4

C.4

D.±3

4.(5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的值为 a,且﹣46<a<2,则①处应填入的条









A.n≥7? 5.(5 分)将函数
() A.在区间[ ,

B.n≥6?

C.n≥5?

D.n≥4?

的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数

]上单调递增

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B.在区间[ , ]上单调递减

C.在区间[﹣ , ]上单调递减

D.在区间[﹣ , ]上单调递增

6.(5 分)若不等式 ax2+ax﹣1≤0 的解集为实数集 R,则实数 a 的取值范围为( )

A.0≤a≤4

B.﹣4<a<0

C.﹣4≤a<0

D.﹣4≤a≤0

7.(5 分)为了深入践行绿水青山就是金山银山的理念,坚定不移走好生态优先、绿色发展

之路,某环保部门决定在某一地段圈岀一个圆形区域种草、植树,在建立直角坐标系的

设计图纸上,记该圆形区域的边界为圆 C,若圆 C 过点 M(1,﹣2)且与两坐标轴均相

切,则下列叙述正确的是( )

A.满足条件的圆 C 有且只有一个

B.满足条件的圆 C 有且只有两个,它们的圆心距为 4

C.满足条件的圆 C 有三个,它们的圆心在一条直线上

D.满足条件的圆 C 有且只有两个,它们的圆心距为 2

8.(5 分)已知球 O 与各条棱长均为 4 的四面体的各棱都相切,则球 O 的表面积( )

A.8π

B.

C.32π

D.24π

9.(5 分)不等式|x|+|y≤2 所表示的封闭区域为 M,函数 y=x2 的图象与 x 轴、直线 x=1 围

成的封闭区域为 N,向 M 内随机投一个点,则该点落到 N 内的概率为( )

A.

B.

C.

D.

10.(5 分)若实数 x,y 满足

,则 z= 的最小值为( )

A.

B.

C.1

D.

11.(5 分)设△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 ccosB﹣bcosC= a,则

关于 tan(B﹣C)的取值下列说法正确的是( )

A.有最大值

B.有最小值

C.有最小值

D.有最大值

12.(5 分)已知函数 f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤
x}x∈[a,b],f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}x∈[a,b],其中,min{f(x)|x∈D}表示函数 f
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(x)在 D 上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数 f(x)在 D 上的最大值,若存在最小

正整数 k,使得 f2(x)﹣f1(x)≤k(x﹣a)对任意的 x∈[a,b]成立,则称函数 f(x)为 区间[a,b]上的“k 阶收缩函数”,给出以下三个命题:

①若 f(x)=cosx,x∈[0,π],则 f1(x)=cosx,x∈[0,x],f2(x)=1,x∈[0,π]; ②函数 f(x)=﹣x3+3x2,x∈[0,1]是[0,1]上的“2 阶收缩函数”; ③若函数 f(x)=x2,x∈[﹣1,4]是[﹣1,4]上的“k 阶收缩函数”,则 k=3. 其中所有正确命题的序号为( )

A.①②③

B.①②

C.②③

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分.

D.①③

13.(5 分)若 sinθ+cosθ= (0≤θ≤π),则 tanθ=



14.(5 分)在

的二项展开式中,仅有第 8 项的二项式系数最大,则在该二项展

开式中含 x4 项的系数为



15.(5 分)在《九章算术》方田章“圆田术”(刘徽注)中指出:“割之弥细,所失弥少,

割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,注述中所用的剖圆术所体现的是

一种无限与有限转化的思想比如在

中“…”即代表无限次重复,但原数

却是个定数 x,这可以通过 =

=x 确定出来 x=2,类似地可得到 ;

16.(5 分)已知双曲线Γ:

(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 是

双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点,△PF1F2 的内切圆的圆心为 I,过 F2 作直线 PI 的

垂线,垂足为 M,O 为坐标原点,给出以下结论:①△PF1F2 的内切圆的圆心 I 在直线 x

=a 上;②|OM|=a;③若∠F1IF2=θ,则△PF1F2 的面积为﹣b2tanθ;④△PF1F2 的内

切圆与 x 轴的交点为(c﹣a,0),以上结论中,所有正确的序号



三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第 17 题~21 题为必

考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求解答.(一)必考题:

60 分.

17.(12 分)已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,a1=1,anan+1=2Sn+1.

(Ⅰ)求数列{an}的项 a2n﹣1;

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(Ⅱ)求数列{an}的前 2n 项和 S2n. 18.(12 分)足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动,具有广泛的社会影响,
深受世界各国民众喜爱. (1)为调查大学生喜欢足球是否与性别有关,随机选取 50 名大学生进行问卷调查,当 问卷评分不低于 80 分则认为喜欢足球,当评分低于 80 分则认为不喜欢足球,这 50 名大 学生问卷评分的茎叶图如下:

依据上述数据制成如下列联表:

喜欢足球人数 不喜欢足球人数

总计

女生

a

b

a+b

男生

c

d

c+d

总计

a+c

b+d

a+b+c+d

请问是否有 90%的把握认为喜欢足球与性别有关?

参考公式及数据:K2=

,n=a+b+c+d.

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

(2)某国“糖果盒”足球场计划购买 2 台相同的无人机用于 2020 年的比赛直播拍摄,

每台该无人机有一易损零件在一年内需更换的次数为 5,6 的概率分别为 0.4,0.6,该易

损零件可在购买无人机时一同购买作为备件,每个 300 元;在无人机购买后若备件不足

再购买,则每个 600 元.记 X 表示 2 台无人机一年内共需更换的易损零件的次数,k 表

示购买无人机时同时购买的易损零件数.为保证两台无人机能正常使用,求购买易损零

件所需费用 Y 的期望 E(Y)最小时 k 的值.

19.(12 分)如图,在四棱锥中 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为边长为 2 的菱形,∠DAB=60°,

PA=PD= ,F 为 AB 的中点,PF⊥AC.

(1)求证:面 PAD⊥面 ABCD;

(2)求二面角 A﹣PD﹣B 的余弦值.

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20.(12 分)已知 O 为坐标原点,点 F1,F2 为椭圆 M: + =1(a>b>0)的左右焦
点,点 E(a,b)在抛物线 N:x2= y 上,直线 EF2 与椭圆 M 的一个交点为 F,且 EF 的中点恰为 F2. (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)过抛物线 N 上一点 P 与抛物线 N 相切的直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,设 AB 中点为 C,直线 OP 与直线 OC 的斜率分别是 k1,k2,证明:k1k2 为定值. 21.(12 分)已知函数 f(x)= ﹣ax(lnx﹣1)﹣ (其中 e=2.718…为自然村数的底 数,a∈R). (1)若 a=e,证明:函数 f(x)有且只有一个零点; (2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),求 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第 一题记分.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

22.(10 分)在平面直角坐标系中,已知曲线 C:

(t 为参数),圆 M:x2+y2﹣

4x=0.以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线 C 与圆 M 的极坐标方程; (2)在极坐标系中,已知射线 l:θ=α(ρ≥0)与曲线 C 相交于 A,与圆 M 相交于 B(异

于原点 O),当 α∈(0, )时,求

的最大值.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|.
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(Ⅰ)求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若直线 y=x+a 与 y=f(x)的图象所围成的多边形面积为 ,求实数 a 的值.
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2019 年山东省青岛市高考数学三模试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的

1.(5 分)已知复数 z 满足 z=3+2i(i 为虛数单位),则 z2 的虚部为( )

A.5

B.﹣12

C.﹣5

D.12

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解:∵z=3+2i,∴z2=(3+2i)2=9+12i+4i2=5+12i, ∴z2 的虚部为 12.

故选:D.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.

2.(5 分)函数 f(x)=

的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】使用换元法判断出函数的奇偶性,从而排除不符合答案;其次在根据零点正确

选出答案.

【解答】解:函数 f(x)定义域为 x≠2;

∴f(x)=

,令 x﹣2=t,则函数 f(t)=



∴函数 f(t)为奇函数,排除 B,C; 且当 t>0 即 x>2 时,函数 f(t)=0 有且只有一个零点,排除 D.
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故选:A.

【点评】本题考查了复合函数图象的性质,正确使用换元法是解本题的关键.

3.(5 分)已知{an}为等比数列,a10,a30 是方程 x2﹣11x+16=0 的两实根,则 a20 等于( )

A.3

B.±4

C.4

D.±3

【分析】由{an}为等比数列,a10,a30 是方程 x2﹣11x+16=0 的两实根,可得 a10a30=

=16,a10+a30=11>0,a10,a30 都为正数.即可得出 a20. 【解答】解:∵{an}为等比数列,a10,a30 是方程 x2﹣11x+16=0 的两实根, ∴a10a30= =16,a10+a30=11>0,

∴a10,a30 都为正数. ∴a20>0. 则 a20=4. 故选:C.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系,

考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

4.(5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的值为 a,且﹣46<a<2,则①处应填入的条









A.n≥7?

B.n≥6?

C.n≥5?

D.n≥4?

【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的

值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.

【解答】解:模拟程序的运行,可得

n=1,S=16

不满足判断框内的条件,执行循环体,S=14,n=2

不满足判断框内的条件,执行循环体,S=10,n=3

不满足判断框内的条件,执行循环体,S=2,n=4

不满足判断框内的条件,执行循环体,S=﹣14,n=5

由题意,此时,满足判断框内的条件,退出循环,输出 S 的值为﹣14,
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可得判断框内的条件为 n≥5? 故选:C. 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题.

5.(5 分)将函数

的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数

()

A.在区间[ , ]上单调递增

B.在区间[ , ]上单调递减

C.在区间[﹣ , ]上单调递减

D.在区间[﹣ , ]上单调递增 【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合 函数的单调性的求法求出函数的增区间,取 k=0 即可得到函数在区间[ , ]上单调 递增,则答案可求. 【解答】解:把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度,

得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣ )+ ].

即 y=3sin(2x﹣ ).

当函数递增时,由

,得



取 k=0,得



∴所得图象对应的函数在区间[ , ]上单调递增.

故选:A.

【点评】本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调

性满足“同增异减”原则,是中档题.

6.(5 分)若不等式 ax2+ax﹣1≤0 的解集为实数集 R,则实数 a 的取值范围为( )

A.0≤a≤4

B.﹣4<a<0

C.﹣4≤a<0

D.﹣4≤a≤0

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【分析】讨论 a=0 和 a≠0 时,求出不等式的解集为 R 时实数 a 的取值范围. 【解答】解:a=0 时,不等式 ax2+ax﹣1≤0 化为﹣1≤0,解集为实数集 R;

a≠0 时,应满足



所以



解得﹣4≤a<0;

综上,实数 a 的取值范围是﹣4≤a≤0.

故选:D.

【点评】本题考查了含有字母系数的不等式恒成立问题,是基础题.

7.(5 分)为了深入践行绿水青山就是金山银山的理念,坚定不移走好生态优先、绿色发展

之路,某环保部门决定在某一地段圈岀一个圆形区域种草、植树,在建立直角坐标系的

设计图纸上,记该圆形区域的边界为圆 C,若圆 C 过点 M(1,﹣2)且与两坐标轴均相

切,则下列叙述正确的是( )

A.满足条件的圆 C 有且只有一个

B.满足条件的圆 C 有且只有两个,它们的圆心距为 4 C.满足条件的圆 C 有三个,它们的圆心在一条直线上

D.满足条件的圆 C 有且只有两个,它们的圆心距为 2 【分析】设圆 C 的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,(r>0),由题意可得 r=|a|=|b|,且 (1﹣a)2+(﹣2﹣b)2=r2,解方程可得 a,b,r,计算即可得到所求结论. 【解答】解:设圆 C 的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,(r>0), 由题意可得 r=|a|=|b|,且(1﹣a)2+(﹣2﹣b)2=r2, 化为 b2+4b﹣2a+5=0, 若 a=b,可得 b2+2b+5=0,由△=4﹣20=﹣16<0,可得方程无实数解,故 a≠b; 若 a=﹣b,可得 b2+6b+5=0,解得 b=﹣1 或﹣5, 即有 a=1,b=﹣1,r=1;或 a=5,b=﹣5,r=5, 可得圆 C 的方程为(x﹣1)2+(y+1)2=1,或(x﹣5)2+(y+5)2=25,

两个圆的圆心距为

=4 ,

故选:B. 【点评】本题考查圆的方程的求法,注意运用待定系数法,考查方程思想和运算能力,
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属于基础题.

8.(5 分)已知球 O 与各条棱长均为 4 的四面体的各棱都相切,则球 O 的表面积( )

A.8π

B.

C.32π

D.24π

【分析】将三棱锥放入棱长为 的正方体,可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条 棱都相切的球,由此算出内切球半径,代入球的表面积公式得答案. 【解答】解:将棱长均为 4 的正四面体放入棱长为 的正方体,如图, ∵球与三棱锥各条棱都相切, ∴该球是正方体的内切球,切正方体的各个面切于中心, 而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点. 由此可得该球的直径为 ,半径 r= . ∴该球的表面积为 S=4πr2=8π. 故选:A.

【点评】本题考查多面体与球的关系,考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方

法,是中档题. 9.(5 分)不等式|x|+|y≤2 所表示的封闭区域为 M,函数 y=x2 的图象与 x 轴、直线 x=1 围
成的封闭区域为 N,向 M 内随机投一个点,则该点落到 N 内的概率为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由题意画出图形,求出区域 M 的面积,再由定积分求得区域 N 的面积,由测度 比是面积比得答案. 【解答】解:不等式|x|+|y|≤2 所表示的封闭区域 M 为如图的正方形区域,其中正方形的 边长 a=2 , 函数 y=x2 的图象与 x 轴、直线 x=1 围成的封闭区域为 N 为图中阴影部分.

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∴向 M 内随机投一个点,则该点落到 N 内的概率为 P=



故选:C. 【点评】本题考查几何概型概率的求法,考查利用定积分求曲边梯形的面积,是基础题.

10.(5 分)若实数 x,y 满足

,则 z= 的最小值为( )

A.

B.

C.1

D.

【分析】画出不等式组表示的平面区域,根据图形求得 z= 取得最小值时对应点的坐标, 并求出 z 的最小值.

【解答】解:画出不等式组

表示的平面区域,如图阴影所示;

由图形知,当直线 y=zx 过点 C 时,z= 取得最小值,



,解得 C( , ),

所以 z= 的最小值为 zmin= = . 故选:B.

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【点评】本题考查了不等式组表示平面区域应用问题,也考查了数形结合思想,是基础 题. 11.(5 分)设△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 ccosB﹣bcosC= a,则

关于 tan(B﹣C)的取值下列说法正确的是( )

A.有最大值

B.有最小值

C.有最小值

D.有最大值

【分析】由条件利用正弦定理,两角和的正弦函数公式以及同角三角函数的基本关系化 简可得 tanC=4tanB,根据两角差的正切函数公式以及基本不等式即可求解. 【解答】解:∵△ABC 中,由 ccosB﹣bcosC= a,利用正弦定理可得 sinCcosB﹣sinBcosC

= sinA,

即 sinCcosB﹣sinBcosC= (sinCcosB+sinBcosC),

∴ sinCcosB= sinBcosC,

∴tanC=4tanB,

∴tan(B﹣C)=







=﹣ .

即 tan(B﹣C)有最小值为﹣ .
故选:C. 【点评】本题主要考查正弦定理、两角和差的正切函数公式、同角三角函数的基本关系 以及基本不等式的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
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12.(5 分)已知函数 f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤ x}x∈[a,b],f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}x∈[a,b],其中,min{f(x)|x∈D}表示函数 f (x)在 D 上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数 f(x)在 D 上的最大值,若存在最小

正整数 k,使得 f2(x)﹣f1(x)≤k(x﹣a)对任意的 x∈[a,b]成立,则称函数 f(x)为 区间[a,b]上的“k 阶收缩函数”,给出以下三个命题:

①若 f(x)=cosx,x∈[0,π],则 f1(x)=cosx,x∈[0,x],f2(x)=1,x∈[0,π]; ②函数 f(x)=﹣x3+3x2,x∈[0,1]是[0,1]上的“2 阶收缩函数”; ③若函数 f(x)=x2,x∈[﹣1,4]是[﹣1,4]上的“k 阶收缩函数”,则 k=3.

其中所有正确命题的序号为( )

A.①②③

B.①②

C.②③

D.①③

【分析】①根据 f(x)=cosx 的最大值为 1,可得 f1(x)、f2(x)的解析式; ②先对函数 f(x)进行求导判断函数的单调性,进而写出 f1(x)、f2(x)的解析式,然 后再根据题意判断是否有 f2(x)﹣f1(x)≤2(x﹣0)成立; ③根据函数 f(x)=x2 在 x∈[﹣1,4]上的值域,先写出 f1(x)、f2(x)的解析式,再由 f2(x)﹣f1(x)≤k(x﹣a)求出 k 的范围得到答案. 【解答】解:①,由 f(x)=cosx,x∈[0,π],为递减函数,

由题意可得:f1(x)=cosx,x∈[0,π],f2(x)=1,x∈[0,π],故①正确; ②,f′(x)=﹣3x2+6x=﹣3x(x﹣2),

当 x∈[0,1]时,f′(x)>0,

∴f(x)在[0,1]上单调递增, 因此,f2(x)=f(x)=﹣x3+3x2,f1(x)=f(0)=0. ∵f2(x)﹣f1(x)﹣2(x﹣0)=﹣(x3﹣3x2+2x) =﹣x(x2﹣3x+2)=﹣x(x﹣1)(x﹣2),

及 x∈[0,1],

∴f2(x)﹣f1(x)﹣2(x﹣0)<0, ∴f2(x)﹣f1(x)≤2(x﹣0)对 x∈[0,1]恒成立; 所以 f(x)=﹣x3+3x2 是[0,1]上的 2 阶收缩函数,故②正确;

③,根据题意,有 f1(x)=

,f2(x)=



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所以 f2(x)﹣f1(x)=

,当 x∈[﹣1,0]时,1﹣x2≤k(x+1),

∴k≥1﹣x,k≥2; 当 x∈(0,1)时,1≤k(x+1), ∴k≥ ,∴k≥1; 当 x∈[1,4]时,x2≤k(x+1), ∴k≥ ,∴k≥ .

综上所述,k≥ ,
即存在 k=4,使得 f(x)是[﹣1,4]上的 4 阶收缩函数,故③不正确. 故选:B. 【点评】本题主要考查学生对新定义的理解、分析和解决的能力.要求学生要有很扎实 的基本功才能作对这类问题. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13.(5 分)若 sinθ+cosθ= (0≤θ≤π),则 tanθ= ﹣ ;

【分析】把已知等式两边平方,可得 2sinθcosθ=﹣ ,求出 sinθ﹣cosθ 的值,解得 sinθ, cosθ,则 tanθ 可求. 【解答】解:由 sinθ+cosθ= ,两边平方得:sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ= ,

则 2sinθcosθ=﹣ ,

∵θ∈[0,π], ∴sinθ>0,cosθ<0,

则 sinθ﹣cosθ=



=.

∴sinθ= ,cosθ=﹣ ,

则 tanθ=

=﹣ .

故答案为:﹣ .

【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础

第 15 页(共 26 页)

题.

14.(5 分)在

的二项展开式中,仅有第 8 项的二项式系数最大,则在该二项展

开式中含 x4 项的系数为 364 ; 【分析】先求出 n=14,再利用二项展开式的通项公式,求出展开式中含 x4 项的系数.

【解答】解:在

的二项展开式中,仅有第 8 项的二项式系数最大,则 n=14,







则在该二项展开式的通项公式为 Tr+1= (? ﹣2)r?

,令

=4,求得 r=2,

中含 x4 项的系数为 ?(﹣2)2=364,

故答案为:364. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,

属于基础题.

15.(5 分)在《九章算术》方田章“圆田术”(刘徽注)中指出:“割之弥细,所失弥少, 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,注述中所用的剖圆术所体现的是

一种无限与有限转化的思想比如在

中“…”即代表无限次重复,但原数

却是个定数 x,这可以通过

=x 确定出来 x=2,类似地可得到





【分析】本题要根据已知算式将所求表达式作类似变形,然后同理可解方程得到结果. 【解答】解:类比已知算式,
=1+ {1+ [1+ (…)]}.

可令

=x,

则 1+ x=x,解得 x= .

故答案为: .

【点评】本题主要考查类比观察推理、计算能力.本题属基础题.

16.(5 分)已知双曲线Γ:

(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 是

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双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点,△PF1F2 的内切圆的圆心为 I,过 F2 作直线 PI 的 垂线,垂足为 M,O 为坐标原点,给出以下结论:①△PF1F2 的内切圆的圆心 I 在直线 x =a 上;②|OM|=a;③若∠F1IF2=θ,则△PF1F2 的面积为﹣b2tanθ;④△PF1F2 的内 切圆与 x 轴的交点为(c﹣a,0),以上结论中,所有正确的序号 ①②③ . 【分析】设内切圆 I 与边 PF1 的切点为 Q,与边 PF2 的切点为 L,与 x 轴的切点为 K,运 用圆的切线长定理和双曲线的定义可得 |F2K|=c﹣a,可判断①;延长 F2M 交 PF1 于 N,运用等腰三角形的三线合一以及中位线 定理,双曲线的定义,可判断②;由三角形的面积公式和余弦定理,结合双曲线的定义 和三角函数的恒等变换可判断③;由①的判断过程可判断④. 【解答】解:设内切圆 I 与边 PF1 的切点为 Q,与边 PF2 的切点为 L, 与 x 轴的切点为 K, 由切线长定理可得||F1K|=|F1Q|,|F2K|=|F2L|, |PF1|﹣|PF2|=2a=|F1Q|﹣|F2L|=|F1K|﹣|F2K|, 又|F1K|+|F2K|=2c, 解得|F2K|=c﹣a,则 K(a,0),即 I 的横坐标为 a,即 I 在直线 x=a 上,故①正确; 延长 F2M 交 PF1 于 N, 可得 PM 为△PNF2 的垂直平分线,可得|PN|=|PF2|,且 M 为 NF2 的中点, 可得|OM|= |NF1|,而|PF1|﹣|PF2|=|NF1|=2a,可得|OM|=a,故②正确;
若∠F1IF2=θ,则∠IF1F2+∠IF2F1=180°﹣θ,∠F1PF2=180°﹣2(180°﹣θ)=2θ ﹣180°, 设|PF1|=m,|PF2|=n,m﹣n=2a, △PF1F2 的面积为 S= mnsin(2θ﹣180°)=﹣ mnsin2θ,

又 cos(2θ﹣180°)=





=﹣cos2θ,

可得 mn=

,则 S=﹣ ?2b2?

=﹣b2?

=﹣b2tanθ,

故③正确; △PF1F2 的内切圆与 x 轴的交点为(a,0),故④不正确. 故答案为:①②③.

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【点评】本题考查双曲线的定义和性质,以及圆的切线长定理,以及三角形的余弦定理 和面积公式的运用,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题. 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第 17 题~21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求解答.(一)必考题: 60 分. 17.(12 分)已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,a1=1,anan+1=2Sn+1. (Ⅰ)求数列{an}的项 a2n﹣1; (Ⅱ)求数列{an}的前 2n 项和 S2n. 【分析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式. (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,进一步利用分组法的应用求出结果. 【解答】解:(1)由 anan+1=2Sn+1 得,an+1an+2=2Sn+1+1, 两式相减得 an+1(an+2﹣an)=2an+1, 因为数列{an}为正项数列, 所以 an+2﹣an=2, 又 a1=1, 故数列{a2n﹣1}是以 a1=1 为首项,公差为 2 的等差数列, 所以 a2n﹣1=1+(n﹣1)×2=2n﹣1. (2)由(1)知,an+2﹣an=2, 由 a1=1 及 anan+1=2Sn+1 得 a2=3 故数列{a2n}是以 a2=3 为首项,公差为 2 的等差数列,
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所以 a2n=3+(n﹣1)×2=2n+1.

所以 S2n=a1+a2+a3+…+a2n﹣1+a2n





【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,分组法在数列求和中的 应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型. 18.(12 分)足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动,具有广泛的社会影响, 深受世界各国民众喜爱. (1)为调查大学生喜欢足球是否与性别有关,随机选取 50 名大学生进行问卷调查,当 问卷评分不低于 80 分则认为喜欢足球,当评分低于 80 分则认为不喜欢足球,这 50 名大 学生问卷评分的茎叶图如下:

依据上述数据制成如下列联表:

喜欢足球人数 不喜欢足球人数

总计

女生

a

b

a+b

男生

c

d

c+d

总计

a+c

b+d

a+b+c+d

请问是否有 90%的把握认为喜欢足球与性别有关?

参考公式及数据:K2=

,n=a+b+c+d.

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

(2)某国“糖果盒”足球场计划购买 2 台相同的无人机用于 2020 年的比赛直播拍摄,

每台该无人机有一易损零件在一年内需更换的次数为 5,6 的概率分别为 0.4,0.6,该易

损零件可在购买无人机时一同购买作为备件,每个 300 元;在无人机购买后若备件不足

再购买,则每个 600 元.记 X 表示 2 台无人机一年内共需更换的易损零件的次数,k 表

示购买无人机时同时购买的易损零件数.为保证两台无人机能正常使用,求购买易损零

件所需费用 Y 的期望 E(Y)最小时 k 的值.

第 19 页(共 26 页)

【分析】(1)根据列联表中数据计算 K2,对照临界值得出结论;

(2)由题意知随机变量 X 的分布列,分别计算对应的数学期望值,即可得出结论.

【解答】解:(1)根据列联表中数据,计算 K2=

= >3>

2.706, 所以有 90%的把握认为喜欢足球与性别有关; (2)由题意知随机变量 X 的分布列为:

X

10

11

12

P

0.16

0.48

0.36

当 k=10 时,E(Y)=10×300×0.16+(10×300+600)×0.48+(10×300+2×600)×

0.36=3720 元,

当 k=11 时,E(Y)=11×300×0.64+(11×300+600)×0.36=3516 元,

当 k=12 时,E(Y)=12×300=3600 元;

所以所需费用 Y 的期望 E(Y)最小时 k=11.

【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,也考查了离散型随机变量的分布

列与数学期望计算问题,是基础题.

19.(12 分)如图,在四棱锥中 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为边长为 2 的菱形,∠DAB=60°,

PA=PD= ,F 为 AB 的中点,PF⊥AC.

(1)求证:面 PAD⊥面 ABCD;

(2)求二面角 A﹣PD﹣B 的余弦值.

【分析】(1)取 AD 中点 O,连结 PO,FO,推导出 AC⊥BD,OF∥BD,AC⊥OF,PF ⊥AC,从而 AC⊥面 POF,进而 PO⊥AC,再由 PO⊥AD,得到 PO⊥平面 ABCD,由此 能证明面 PAD⊥面 ABCD, (2)连结 OB,则 OB⊥AD,分别以 OA,OB,OP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,
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利用向量法能求出二面角 A﹣PD﹣B 的余弦值. 【解答】解:(1)证明:取 AD 中点 O,连结 PO,FO, ∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD, ∵O,F 分别为 AD,AB 的中点,∴OF∥BD,∴AC⊥OF, ∵PF⊥AC,OF∩PF=F,∴AC⊥面 POF, ∵PO?面 POF,∴PO⊥AC, ∵O 为 AD 中点,PA=PD,∴PO⊥AD, ∵AD∩AC=A,∴PO⊥平面 ABCD, ∵PO?面 PAD,∴面 PAD⊥面 ABCD, (2)解:连结 OB,∵AO= =1,∠A=60°,∴OB⊥AD,
分别以 OA,OB,OP 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,2),B(0, ,0),D(﹣1,0,0), ∴ =(0, ,﹣2), =(﹣1,﹣ ,0),
设平面 PBD 的一个法向量 =(x,y,z),



,取 y= ,得 =(﹣3, , ),

平面 PAD 的法向量 =(0,1,0), 设二面角 A﹣PD﹣B 的平面角为 θ,

则 cosθ=





故二面角 A﹣PD﹣B 的余弦值为



第 21 页(共 26 页)

【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

20.(12 分)已知 O 为坐标原点,点 F1,F2 为椭圆 M: + =1(a>b>0)的左右焦

点,点 E(a,b)在抛物线 N:x2= y 上,直线 EF2 与椭圆 M 的一个交点为 F,且
EF 的中点恰为 F2. (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)过抛物线 N 上一点 P 与抛物线 N 相切的直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,设 AB 中点为 C,直线 OP 与直线 OC 的斜率分别是 k1,k2,证明:k1k2 为定值. 【分析】(1)根据题意求得 F 及中点 F2,根据 a 与 b,c 的关系,即可求得 a 和 b 的值, 求得椭圆方程; (2)根据导数的几何意义,求得直线 AB 的方程,利用韦达定理及中点坐标公式即可求 得 C 点坐标,即可求得 k1k2 为定值. 【解答】解:(1)由题意 F 恰为(0,b), 所以中点 F2(c,0)满足 ,因为 a2=b2+c2,所以 a2= b2,
由①②解得 a=2,b= ,c=1,

所以椭圆 M 的标准方程为



(2)证明:设 P(t,

),因为抛物线 N:y=

,求导 y′= x,

则直线 AB 方程:y= (x﹣t)+

,A(x1,y1),B(x2,y2),

将直线 AB 方程:y= ﹣ t2 代入椭圆

=0,

因此 x1+x2=

,y1+y2=

(x1+x2)﹣

得:12(1+t2)x2﹣12t3x+3t4﹣48

=﹣



所以 C(

,﹣

),则 k1=

,k2=﹣ ,

第 22 页(共 26 页)

所以 k1k2=﹣ (点差法等其他方法正常给分).
【点评】本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理及中点坐标公式 的应用,考查转化思想,属于中档题.
21.(12 分)已知函数 f(x)= ﹣ax(lnx﹣1)﹣ (其中 e=2.718…为自然村数的底 数,a∈R). (1)若 a=e,证明:函数 f(x)有且只有一个零点; (2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),求 a 的取值范围. 【分析】(1)二次求导,判断出函数的单调性,证明二次导数的极小值恒≥0,则原函数 是单调递增的,从而表示出只有一个零点. (2)先求导,根据导数和函数极值的关系,分类讨论,再构造函数,根据导数和函数单 调性的最值的关系即可求出 a 的取值范围. 【解答】解:(1)当 a=e 时,f′(x)=x﹣elnx;令 h(x)=x﹣elnx,∴h′(x)=1 ﹣ = ,x>0;
令 h′(x)=0?x=e;令 h′(x)>0?x>e;令 h′(x)<0?x<e; ∴h(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增; ∴h(x)的最小值为 h(e)=e﹣e=0,即 f′(x)≥h(e)=0; ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; 又∵f(e)=0, ∴f(x)有且只有一个零点 e. (2)f′(x)=x﹣alnx, 令 φ(x)=x﹣alnx, 则 φ′(x)=1﹣ = ,x>0,
当 a≤0 时,φ′(x)>0,φ(x)=f′(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f′(x)不可能有两个零点,不合题意, 当 a>0 时,当 x∈(0,a)时,φ′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,φ′(x)>0, ∴φ(x)=f′(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, ∴φ(x)=f′(x)≥f′(a)=a﹣alna<0,解得 a>e, 当 a>e 时,∵f′(1)=1>0,
第 23 页(共 26 页)

∴f′(x)在(1,a)上有一个零点, 令 g(a)= ,a>e,

则 g′(a)=

,a>e,

∴g(a)在(e,+∞)上单调递减,

∴g(a)<g(e)= < =1,

∴ea>a2, ∴f(ea)=ea﹣alnea=ea﹣a2>0, ∴f′(x)在(a,ea)上也有一个零点, 综上可知:当 a>e,f(x)有两个极值点. 【点评】本题考查函数的极值,函数的单调性以及函数的零点个数的问题,考查分类讨 论思想以及转化思想的应用,考查计算能力. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第 一题记分.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

22.(10 分)在平面直角坐标系中,已知曲线 C:

(t 为参数),圆 M:x2+y2﹣

4x=0.以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线 C 与圆 M 的极坐标方程; (2)在极坐标系中,已知射线 l:θ=α(ρ≥0)与曲线 C 相交于 A,与圆 M 相交于 B(异

于原点 O),当 α∈(0, )时,求

的最大值.

【分析】(1)直接利用转换关系式,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换. (2)利用三角形的面积和三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函 数,进一步求出函数的最值.

【解答】解(1)已知曲线 C:

(t 为参数),转换为直角坐标方程为 x+y﹣1

第 24 页(共 26 页)

=0.

转换为极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣1=0,即



圆 M:x2+y2﹣4x=0.转换为极坐标方程为 ρ=4cosθ.

(2)由于△OMB 与△OMA 以点 M 为顶点时,他们的高相同,即:



由(1)知

, |OB| = ρB = ρcosα , 所 以

=2(1+sin2α+cos2α)=2+2



由于

,故





,即

时,

的最大值为 2+2 .

【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的间的转换, 三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换 能力,属于基础题型. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x+1|+|x﹣1|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≥3 的解集; (Ⅱ)若直线 y=x+a 与 y=f(x)的图象所围成的多边形面积为 ,求实数 a 的值.
【分析】(Ⅰ)分 2 段去绝对值解不等式,在相并; (Ⅱ)画出函数 y=f(x)的图象,如图所示,其中 A(﹣ , ),B(1,3),由 kAB= 1,知 y=x+a 图象与直线 AB 平行,若要围成多边形,则 a>2.,然后求出|CD|以及两平 行线间的距离,用梯形面积公式可得.

【解答】解:(Ⅰ)f(x)=

,由 f(x)≥3 可知:

(i)当 x≥1 时,3x≥3,即 x≥1; (ii)当﹣ <x<1 时,x+2>3,即 x≥1,与﹣ <x<1 矛盾,舍去;
第 25 页(共 26 页)

(iii)当 x≤﹣ 时,﹣3x≥3,即 x≤﹣1; 综上可知解集为{x|x≤﹣1 或 x≥1}. (Ⅱ)画出函数 y=f(x)的图象,如图所示,其中 A(﹣ , ),B(1,3), 由 kAB=1,知 y=x+a 图象与直线 AB 平行,若要围成多边形,则 a>2. 易得 y=x+a 与 y=f(x)图象交于两点 C( , ),D(﹣ , ),则|CD|= ?| +

|= a.

平行线 AB 与 Cd 间的距离 d=

= ,|AB|= ,

∴梯形 ABCD 的面积 S=

?=

即(a+2﹣(a﹣2)=12,∴a=4, 故所求实数 a 的值为 4.

?(a﹣2)= ,(a>2).

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.
声明:试题解析著 作权属菁优网 所有,未经书 面同意,不得 复制发布 日期:2019/10/16 14:14:54 ;用户:周圣 民;邮箱:cyyz143@xyh.co m;学号:25 108336
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