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等差数列的通项公式

时间:2018-04-13


等差数列的通项公式
【教学目标】 1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式;掌握等差中项的概念. 2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题. 3. 通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力,渗透由特殊到一般的思想. 【教学重点】 等差数列的概念及其通项公式. 【教学难点】 等差数列通项公式的灵活运用. 【教学方法】 本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景,尽可能地增加教学过程的趣味性、实践 性.在教师的启发指导下,强调学生的主动参与,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得 出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的. 【教学过程】 环节 问题 教学内容 某工厂的仓库里堆放一批钢 师生互动 教师出示引例,并提出问 设计意图 希望学生能通过 对日常生活中的实际 问题的分析对比,建 学生探究、解答. 立等差数列模型,进 行探究、解答问题, 体验数学发现和创造 的过程. 从上例中,我们得到一个数列,每 层钢管数为 4,5,6,7,8,9,10. 师:请同学们仔细观察, 看看这个数列有什么特点? 学生观察、回答. 教师总结特征: 从第二项起,每一项与它 新 课 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项 起,每一项与它前一项的差等于同一个 常数,这个数列就叫做等差数列,这个 常数就叫做等差数列的公差(常用字母 “d”表示) . 前面一项的差等于同一个常数 (即等差) . 我们给具有这种特征的数 列一个名字——等差数列. 教师板书定义. 师:等差数列的例子,在 生活中有很多,谁能再举几 个? 在学生自主探 究的基础上得出定 义和公式,更有利于 学生理解和运用. 由特殊到一般, 发挥学生的自主性, 培养学生的归纳能 力.

管(参见教材图 6-1) ,共堆放了 7 层, 题. 导 入 试从上到下列出每层钢管的数量.

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练习一 抢答:下列数列是否为等差数列? 1,2,4,6,8,10,12,…; 0,1,2,3,4,5,6,…; 3,3,3,3,3,3,3,…; 2,4,7,11,16,…; -8,-6,-4,0,2,4,…; 3,0,-3,-6,-9,…. 注意:求公差 d 一定要用后项减前 项,而不能用前项减后项. 教师出示题目. 学生思考、抢答. 师:你能说出练习一中, 各等差数列的公差吗? 学生说出各题的公差 d. 教师订正并强调求公差应 注意的问题.

2.常数列 特别地,数列 3,3,3,3,3,3,3,… 也是等差数列,它的公差为 0.公差为 0 的数列叫做常数列. 新 课 3.等差数列的通项公式 首项是 a1, 公差是 d 的等差数列{an} 的通项公式可以表示为 an=a1+(n-1)d. 师:已知一个等差数列 {an}的首项是 a1,公差是 d, 如何求出它的任意项 an 呢? 学生分组探究,填空,归 纳总结通项公式 a2=a1 + d, a3= = a1 + a4= = a1 + …… a n = a1 + d. +d= d, +d= d,, +d +d 引导学生观察、 归纳、猜想,培养学 生合理的推理能力. 学生在分组合 作探究过程中,可能 会找到多种不同的 解决办法,教师要逐 一点评,并及时肯 定、赞扬学生善于动 脑、勇于创新的品 质,激发学生的创造 意识.

师: 一个等差数列的各项, 4.通项公式的应用 根据这个通项公式,只要已知首项 a1 和公差 d, 便可求得等差数列的任意项 an. 事实上,等差数列的通项公式中共 有四个变量,知道其中三个,便可求出 已知 和 就可以确定下来? 师:等差数列的通项公式 中共有几个变量?

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第四个. 例 1 求等差数列 8,5,2,…的通 项公式和第 20 项. 解 因为 a1= 8,d = 5-8=-3,所 教师引导学生分析本题, 已知什么?求什么?怎么求? 学生思考、说出已知、所 求,代入通项公式. 强调:通项公式是用含有 n 的式子表示 an . 学生尝试解答后,师生共 同板书解题过程. 例 2 等差数列-5,-9,-13,… 的第多少项是-401? 解 因为 a1= -5,而且 仿照例 1,教师引导、点 拨. 学生解答. 多媒体出示解题过程. 学生核对、订正. 通过例题,强化 学生对等差数列通 -401= -5+ (n-1)×(-4). 解得 n=100. 新 课 练习二 (1)求等差数列 3,7,11,…的第 4,7,10 项. (2)求等差数列 10,8,6,…的第 20 项. 教师巡视指导. 师生共同订正. 学生练习. 请学生在黑板上做题. 即这个数列的第 100 项是-401. 教师强调解题过程要规 范、严谨. 项公式的理解,强化 学生学以致用的意 识. 鼓励学生自主 解答,培养学生运算 能力.

以这个数列的通项公式是 an = 8+(n-1)×(-3), 即 an = -3n + 11.所以 a20 = -3×20 + 11 = -49.

d = -9-(-5)=-4, an = -401, 所以

练习三 在等差数列{an}中: 1 (1)d =- ,a7 = 8,求 a1; 3 (2)a1 = 12,a6 = 27,求 d.

例 3 在 3 与 7 之间插入一个数 A, 使 3,A,7 成等差数列,求 A. 解 以 A-3 = 7-A,2A = 3 + 7. 因为 3,A,7 成等差数列,所

教师出示例题. 学生同桌之间合作探究. 学生分析解题思路. 教师出示答案,订正. 师:在 a 与 b 之间插入一

由特殊到一般, 发挥学生的自主性, 培养学生的归纳能 力.

3

解得 A=5.

个数 A,使 a,A,b 成等差数 列. 你能用 a, b 来表示 A 吗? 学生探究、回答.

5.等差中项的定义

教师订正学生的回答,给

在学生自主探 究的基础上得出定 义和公式,更有利于 学生理解和运用.

一般地,如果 a,A,b 成等差数列, 出等差中项的定义和公式. 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 师:你能用文字描述一下 这个式子的含义吗? 6.等差中项公式 如果 A 是 a 与 b 的等差中项,则 A= a+b . 2 师:在等差数列 1,3,5, 7,9,11,13,…中,每相邻 的三项,满足等差中项的关系 吗? 学生分组合作探究,得出 结论.

这就表明,两个数的等差中项就是 它们的算术平均数.

引导学生观察、 归纳、猜想,培养学 生合理的推理能力.

7.一个结论 在等差数列 a1,a2,a3,…,an,… 新 课 中, a1 + a3 a2 = , 2 a3 = a2 + a4 , 2

师:能将这个结论推广到 一般的等差数列中吗? 学生继续分组合作探究. 教师总结学生的回答,给 出结论.

……
an = …… 这就是说,在一个等差数列中,从 第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末 项除外)都是它的前一项与后一项的等 差中项. 学生做练习. 学生回答各题结果,统一 订正答案. 通过两道直接 套用公式的练习题, 强化学生对中项公 式的掌握. an-1 + an+1 , 2

练习四 求下列各组数的等差中项: (1)732 与-136; 49 (2) 与 42. 2

例 4 已知一个等差数列的第 3 项是 5,第 8 项是 20,求它的第 25 项.

教师出示例题. 学生分组合作探究.

学生在分组合 作探究过程中,可能

4

解 公式得

因为 a 3 = 5, a 8 = 20, 根据通项 教师点拨、引导:

会找到多种不同的 解决办法,教师要逐

?a1+(3-1)d = 5 ? ?a1+(8-1)d = 20
整理,得
? ?a1+2d = 5 ? ?a1+7d = 20 ?

(1) 例题给出了哪些量? 一 点 评 , 并 及 时 肯 如何用数列符号表示? (2)例题中的所求量是什 么?需要知道哪些条件? 定、赞扬学生善于动 脑、勇于创新的品 质,激发学生的创造 意识. 教师总结学生思路,给出 解题过程.

解此方程组,得 a1 = -1,d = 3. 所以 a25 = -1+(25-1)×3 = 71. 强调:已知首项 a1 和公差 d,便可 求得等差数列的任意项 an.

练习五 (1)已知等差数列{an }中,a1 = 3, 新 课 an = 21,d = 2,求 n.

学生自主练习. 教师巡视指导. 请个别学生在黑板上做题

鼓励学生自主 解答,培养学生运算 能力.

(2) 已知等差数列{an }中, a4 = 10, 后,师生共同订正. a5 = 6,求 a8 和 d.

例 5 梯子的最高一级是 33 cm, 最低一级是 89 cm,中间还有 7 级,各级

教师出示例题. 引导学生将题中的已知和

通过例题,强化 学生对等差数列通 项公式的理解,强化 学生学以致用的意 识.

的宽度成等差数列,求中间各级的宽度. 未知转化为用数列符号表示. 解 用 {an } 表 示 题 中 的 等 差 数 列.已知 a1= 33,an = 89,n = 9, 则 a9 = 33+(9-1)d ,即 89 = 33 + 8d, 解得 d = 7. 于是 a2 = 33 + 7 = 40, a3 = 40 + 7 = 47, a4 = 47 + 7 = 54, a5 = 54 + 7 = 61, a6 = 61 + 7 = 68, a7 = 68 + 7 = 75, a8 = 75 + 7 = 82. 教师出示解题过程,强调 解题步骤要规范、严谨,叙述 要简明、完整. 学生解答. 教师巡视指导.

5

即梯子中间各级的宽从上到下依次 是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm, 75 cm,82 cm.

例 6

已知一个直角三角形的三条

教师出示例题, 提示点拨: 当已知三个数成等差数列时, 可将这三个数表示为 a-d,a,a+d,

在例题的教学 中,教师要注重引导 学生分析题意,教会 学生思考问题、解决

边的长度成等差数列.求证:它们的比 新 课 是 3∶4∶5. 证明 分别为 a-d,a,a+d. 根据勾股定理,得 (a-d) + a =(a+d) . 解得 a = 4d . 于是这个直角三角形的三边长是 3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边 长的比是 3∶4∶5. 1.等差数列的定义及通项公式. 2. 小 结 等差中项的定义和公式.
2 2 2

设这个直角三角形的三边长

其中 d 是公差.由于这样具有 问题的思路与方法; 对称性, 运算时往往容易化简. 在解决问题中,将新 学生根据教师的提示,分 组探究. 请学生在黑板上做题. 教师引导学生订正解题过 程,规范解题步骤. 的知识内化到学生 原有的认知结构中 去.

学生阅读课本 P9~P12, 畅谈本节课的收获. 教师引导梳理,总结本节 课的知识点和解题方法.

教师鼓励学生 积极回答,答不完整 没有关系,其它同学 补充.以此培养学生 的口头表达能力,归 纳概括能力.

3.等差数列通项公式和中项公式的 应用.

作 业

教材 P17,习题第 1,2,6 题.

学生课后完成.

巩固拓展.

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