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求曲线轨迹方程的五种方法

时间:2016-12-05


求曲线轨迹方程的五种方法 一、 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系, 或者可以利用平面几何知 识推出等量关系,求方程时可用直接法。 例 1 长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴、y 轴上滑动, 求 AB 中点 P 的轨迹方程。 解:设点 P 的坐标为(x,y) , 则 A(2x,0) ,B(0,2y) ,由|AB|=2a 得
( 2 x ? 0) 2 ? (0 ? 2 y ) 2 =2a

化简得 x2+y2=a,即为所求轨迹方程 点评:本题中存在几何等式|AB|=2a,故可用直接法解之。 二、 定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义, 则可用曲线 定义写出方程,这种方法称为定义法。 例 2 动点 P 到直线 x+4=0 的距离减去它到 M(2,0)的距离之 差等于 2,则点 P 的轨迹是( A、 直线 B、椭圆 ) C、双曲线 D、抛物线

解法一:由题意,动点 P 到点 M(2,0)的距离等于这点到直 线 x=-2 的距离,因此动点 P 的轨迹是抛物线,故选 D。 解法二:设 P 点坐标为(x,y) ,则 |x+4|- ( x ? 2) 2 ? y 2 =2 当 x≥-4 时,x+4- ( x ? 2) 2 ? y 2 =2 化简得

当时,y2=8x 当 x<-4 时,-x-4- ( x ? 2) 2 ? y 2 =2 无解 所以 P 点轨迹是抛物线 y2=8x 点评: 解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程, 明显, 解法一优于后一种解法,对于有些求轨迹方程的题目,若能采用定义 法,则优先采用定义法,它能大量地简化计算。 三、 代入法 如果轨迹点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(a,b) ,而 Q(a,b) 又在某已知曲线上,则可先列出关于 x、y、a、b 的方程组,利用 x、 y 表示出 a、b,把 a、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程, 此法称为代入法。 例 3 P 在以 F1、 F2 为焦点的双曲线 的重心 G 的轨迹方程是 解:设 P(x0,y0) ,G(x,y) ,则有
1 ? x ? ( x ? 4 ? x0 ) ? ? 3 ? ? y ? 1 (0 ? 0 ? y ) 0 ? 3 ?

x2 y2 ? ? 1 上运动, 则△F1F2P 16 9



即?

? x0 ? 3x ,代入 ? y0 ? 3 y

x2 y2 9x 2 9 y 2 ? ?1 ? ? 1得 16 9 16 9



9x 2 ? y2 ? 1 16

由于 G 不在 F1F2 上,所以 y≠0 四、 参数法

如果轨迹动点 P(x,y)的坐标之间的关系不易找到,也没有相 关的点可用时,可先考虑将 x、y 用一个或几个参数来表示,消去参 数得轨迹方程,此法称为参数法。 例 4 已知点 M 在圆 13x2+13y2-15x-36y=0 上,点 N 在射线 OM 上,且满足|OM|·|ON|=12,求动点 N 的轨迹方程。 分析:点 N 在射线 OM 上,而同一条以坐标原点为端点的射线上两 点坐标的关系为(x,y)与(kx,ky) (k>0) ,故采用参数法求轨迹 方程。 解:设 N(x,y) ,则 M(kx,ky) ,k>0 由|OM|·|ON|=12 得
k 2 ( x 2 ? y 2 ) · x 2 ? y 2 =12

∴k(x2+y2)=12,又点 M 在已知圆上, ∴13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0 由上述两式消去 x2+y2 得 5x+12y-52=0 点评:用参数法求轨迹,设参尽量要少,消参较易。 五、 交轨法 若动点是两曲线的交点, 可以通过这两曲线的方程直接求出交点 方程,此法称为交轨法。 例5
x2 y2 已知 A1A 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的长轴,CD 是垂 a b

直于 A1A 的椭圆的弦,求直线 A1C 与 AD 的交点 P 的轨迹方程。 解:设 P(x,y) ,C(x0,y0) ,D(x0,-y0) , (y0≠0)

∵A1(-a,0) ,A(a,0) ,由 A1、C、P 共线及 A、D、P 共线
y ? y0 ? x ?a ? x ? a 0 得? ? ? ? y0 ? y ? ? x0 ? a x ? a
x y x2 y2 两式相乘并由 02 ? 02 ? 1, 消去 x0, y0, 得, 所求轨迹方程为 2 ? 2 ? 1 a b a b
2 2

(y≠0) 点评:交轨法的难点是消参,如何巧妙地消参是我们研究的问题。


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