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2010年河北省大学生数学竞赛解析

时间:2012-06-13


2010年河北省大学生数学 竞赛试题解析
(非数学类)

一、求极限 lim
【解】
Sn ? 1 n
1
2

1 n
2

n? ?

( n ?1 ?
2

n ?2
2

2

?? ?

n ? ( n ? 1) ).
2 2

( n

2

?1 ?

n

2

?2

2

?? ?

n

2

? ( n ? 1) )
2

?

1 2 ( 1? ( ) ? n n

2 2 1? ( ) ?? ? n

1? (

n ?1 n

) )

2

?

1

0 2 ( 1? ( ) ? n n
n ?1

1 2 1? ( ) ? n

2 2 1? ( ) ?? ? n

1? (

n ?1 n

) )?
2

1 n

?

?

i?0

1? ( ) . ? n n n
2

i

1

1

lim S n ? lim [ ?
n? ?

n ?1

n? ?

i?0

i 2 1 1 1? ( ) . ? ] n n n
1



1? x

2



[ 0 ,1]

上连续,故 ?0
n ?1

1 - x dx

2

存在,且

?


1

0

1 - x dx ? lim? ? n?
2
1

i?0

1? ( ) . n n
2

i

1

所以, lim

n? ?

Sn ?

?
?

1 - x dx ? lim
2

1 n

0

n? ?

?

1

1 - x dx ?
2

?
4

.

0

二、请问 a, b, c 何值时下式成立
lim 1 sin x ? ax
x? 0

?

x

t dt 1? t
2

2

? c.

b

【解】 注意到左边得极限中,无论 a 为何值

总有分母趋于零, 因此要想极限存在,分子必
须为无穷小量,于是可知必有 b ? 0 ,当 b ? 0 时使用洛必达法则得到
lim 1 sin x ? ax
x? 0

?

x

t dt 1? t
2

2

? lim

x

2

0

x? 0

(cos x ? a ) 1 ? x

2

由上式可知:当 x ? 0 时,若
存在,且其值为0;若 a
lim 1 sin x ? ax

a ? 1 ,则此极限

?1

,则
x
2

x? 0

?

x

t dt 1? t
2

2

? lim

b

x? 0

? ?2
2

(cos x ? 1 ) 1 ? x

综上所述,得到如下结论:
a ? 1, b ? 0 , c ? 0 ; 或 a ? 1, b ? 0 , c ? ? 2 。

?

三、计算定积分
【解】 作变换
x ?

I ?
?
2

?

2

dx 1 ? tan
2010

0


x

?t

,则
?
2010

I ?


?? 1 ? cot
2

0

? dt t
1 1 ? tan

?

?

2

tan

2010

tdt t

0

1 ? tan
?

2010

?

?

?

2

(1 ?

0

2010

) dt ? t

?

2

dt ? I

0

?

2I ?

?
?

2

dt ?

?
2

0

I 所以, ?

4



四、求数列 { n 【解】

?

1 n

}

中的最小项。
1 x

因为所给数列是函数 y ? x
1, 2 , 3 , ? , n , ?

?

当x分别取

时的数列。
?2

又y? ?

?

1 x

x

(ln x ? 1)

且令 y ? ?
y 时, ? ?

0 ? x ? e,

容易看出:当 0 ? 当x

x ? e

0;

? e

时,y ? ?

0



所以, y
2 ? e ? 3?

? x
1

?

1 x

有唯一极小值
1
3

y (e) ? e
? 1 n

?

1 e

。而
1
3

?

2

3

,因此数列 { n

} 的最小项

3





五、求 ? n ? 1 。
n?0

?

e

?n

【解】 考虑幂级数 ?

?

x

n

n?0

n ?1

,其收敛半径为1,
?

收敛区间为 ( ? 1,1)
当x
? ?1

时, ?
n?0
? n?0

?

x

n

n ?1
x
n

? ( ? 1)
?

n

?
n?0

1 n ?1

收敛;

当 x ? 1 时,? 因此其收敛域为

n ?1

?

?
n?0

1 n ?1

发散,

[ ? 1,1) 。
? x ? ( ? 1,1) ,

设其和函数为s ( x ),则

[ xs ( x ) ]? ?

? (n ?1
n?0

?

x

n ?1

)? ?

?
n?0

?

x ?
n

1 1? x

xs 于是, ( x ) ? ?

x

1 1? x

dx ? ? ln( 1 ? x ).

0

故,

s(x) ?
? ?n

? ln( 1 ? x ) x


?
n?0

e

n ?1

? s (e

?1

)?

ln( 1 ? e ) ?e

六、设 f ( x ) ? sin

x?

?

x

( x ? t ) f ( t ) dt

,其中 f

0

为连续函数,求

f (x)



【解】 原方程可写为
f ( x ) ? sin x ? x ? f ( t ) dt ?
0 x

?

x

tf ( t ) dt

0



上式两端对 x 求导得
f ? ( x ) ? cos x ? ? cos x ?

? ?

x

f ( t ) dt ? xf ( x ) ? xf ( x ) f ( t ) dt

0 x

0

(*)

两端再对 x 求导得

f ?? ( x ) ? f ( x ) ? ? sin x


f ?? ( x ) ? ? sin x ? f ( x )

这是一个二阶线性常系数非齐次方程, 由原方程知 f ( 0 ) ? 0,由(*)式知 特征方程为 齐次通解为
y ? C 1 sin x ? C 2 cos x .
? ?1? 0
2

f ?( 0 ) ? 1

? ,

? ? i。

设非齐次方程特解为 y * ? x ( a sin x ? b cos x ) ,

代入

f ?? ( x ) ? f ( x ) ? ? sin x

得 a ? 0, b ?

1 2

.

则非齐次方程通解为
y ? C 1 sin x ? C 2 cos x ? x 2 cos x .

由初始条件 y ( 0 ) ? 0 和 y ? ( 0 ) ? 1可知,
C1 ? 1 2 , C 2 ? 0.

七、在过点 o(0,0) 和 A( ?

,0)

的曲线族 y ? asin x

(a ? 0)

中,求一条曲线L,使沿该曲线从o到A的积分

?

(1 ? y ) dx ? ( 2 x ? y ) dy
3

的值最小。

L

【解】

I (a ) ?

?

3 ; (1 ? y ) dx ? ( 2 x ? y ) dy

L

?

?

?

[1 ? a sin
3

3

x ? ( 2 x ? a sin x ) a cos x ]dx

0

? ? ? 4a ?

4 3

a .
2

3

令I ?( a ) ? ? 4 ? 4 a

? 0

,得 a ? 1

( a ? ? 1 舍去 )

;

又 I ?? (1) ? 8 ? 0 ,则 I ( a ) 在 a
且a 时,

? 1 处取极小值,

? 1 是 I ( a )在(0,+∞)内的唯一极值点,故 a ? 1
I (a )

取最小值,则所求曲线为

y ? sin x (0 ? x ? ? ).

八、设f (x)在[?1,1]上有二阶导数,且 f (1)
f ''(x) ? 1 2


? f (-1) ? 1,

证明: f 1.

'(x) ?

1 2

,x∈[?1,1]。

2. f (x) = x在[?1,1]上有且只有一个实根。
【证明】 1. 由泰勒公式

f ( ? 1 ) ? f ( x ) ? f ? ( x )( ? 1 ? x ) ?

f ?? ( ? ) 2

(?1 ? x)

2

? , ? ( ? 1, x )
2

f (1) ? f ( x ) ? f ? ( x )( 1 ? x ) ?

f ?? (? ) 2

(1 ? x ) , ? ? ( x ,1)

两式相减并整理得
2 f ?( x ) ? (1 ? x ) 2
2

f ?? ( ? ) ?

(1 ? x ) 2

2

f ?? (? )

于是,
f ?( x ) ? (1 ? x ) 4
2

f ?? ( ? ) ?

(1 ? x ) 4

2

f ?? (? ) ?

(1 ? x ) ? (1 ? x )
2

2

8

由于

?1? x ?1

max

(1 ? x ) ? (1 ? x )
2 2

?

1 2

8



因此,
| f ' ( x ) |? 1, ? [ ? 1,1] x



2. 令 F ( x ) ?

f ( x ) - x , x ? [ ? 1,1]

。则

F (1) ? f (1) ? 1 ? -

1 2


3 2

F ( ? 1) ? f ( ? 1) ? 1 ?



但F(x)在[?1,1]上连续,由介值定理知,F(x)在 [?1,1]上至少有一个零点。 又由1可知
F ' ( x ) ? f ' ( x ) - 1 ? 0,故 F ( x )

在[?1,1]上严格单调,从而至多有一个零点。 这样F(x)在[?1,1]上有且只有一个零点,即 f (x) = x 在[?1,1] 上有且只有一个实根。

? 九、设 f ( x ) 在 (- ? , ? ) 为连续函数,则

?

a

x f ( x ) dx ?
3 2

1

0

? 2

a

2

xf ( x ) dx .

0

【解】令 ? ( x ) ?
? (x) ?
1 2

?

x

t f ( t ) dt ,

3

2

0

则 ? ?( x ) ? x f ( x ),
3 2

?

x

2

? tf ( t ) dt ,则 ? ( x ) ?
? ? ( x ) ? ? ? ( x ).

1 2

? x f ( x ) ? 2 x ? x f ( x ),
2 2 3 2

0

所以



? ( x ) ? ? ( x ) ? c.

c为常数。而

? ( 0 ) ? ? ( 0 ) ? 0 ? ? ( x ) ? ? (, x)

特别地,
? ( a ) ? ? ( a ).



?

a

x f ( x ) dx ?
3 2

1

0

? 2

a

2

xf ( x ) dx .

0

十、设 f ( x ) 是[0,1]上的连续函数,证明
?
1

e

f (x)

dx

0

?

1

e

? f ( y)

dy ? 1 .

0

【证法一】

设D
e
f ( x )? f ( y )

? {(x, y) |

0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1}

。由于

? 1 ? f (x) ? f ( y)

,所以


?

1

e

f (x)

dx

0

?

1

e

? f ( y)

dy ?

0

??
D

e

f ( x )? f ( y )

dxdy

?

?
?

1

dx

0

?
?

1

(1 ? f ( x ) ? f ( y )) dy
1 1 1 1

0

?

1

1

dx

dy ?

0

0

?

f ( x ) dx

0

?

dy ?

0

?

dx

0

?

f ( y ) dy

0

?1



【证法二】 ?

1

e

f (x)

dx

0

?

1

e

? f ( y)

dy ?
?

0

??
D

e

f ( x )? f ( y )

dxdy

??
D

e

f ( y )? f ( x )

dxdy

?
?

1

?? 2
D
D

(e

f ( x )? f ( y )

? e

f ( y )? f ( x )

)dxdy

1

?? 2

2 dxdy ? 1 .


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