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【优化指导】高中数学 1-2-1-2课时演练(含解析)新人教版必修4

时间:2014-07-12


第一章

1.2

1.2. 1(二)

1.若角 α 的余弦 线是单位长度的有向线段,那么角 α 的终边在( A.y 轴上 C.直线 y=x 上 B.x 轴上 D.直线 y=-x 上

)

解析: 由题意得|cos α |=1,即 cos α =±1,角 α 的终边在 x 轴上,故选 B. 答案:B 2.若 α 是第一象限角,则 sin α +cos α 的值与 1 的大小关系是( A.sin α +cos α >1 C.sin α +cos α <1 B.sin α +cos α =1 D.不能确定 )

解析:如图,角 α 的终边与单位圆交于 P 点, 过 P 作 PM⊥x 轴于 M 点,由三角形两边之和大于第三边可知 sin α + cos α >1.故选 A. 答案:A π 6π 3.角 和角 有相同的( 5 5 A.正弦线 C.正切线 ) B.余弦线 D.不能确定

π 6π 解析: 与 的终边在同一条直线上,过点 A(1,0)作单位圆的切线,与该直线只有一个 5 5 交点 T. 答案:C 1 4.利用三角函数线,sin x≤ 的解集为________. 2 1 π 解析: 如图, 值为 的正弦线为 M1P1 和 M2P2, 易得出∠M2OP2= , ∠M2OP1 2 6 = 5 π 6 , 故 满 足 sin

x≤

1 的 2

x

的 集 合 为

? ? 5π 13π ?x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z?. 6 6 ? ? ? ? ? 5π 13π ,k∈Z? 答案:?x?2kπ + ≤x≤2kπ + 6 6 ? ? ?

17π 5.设 MP 和 OM 分别是角 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: 18 ①MP<OM<0;②OM<0<MP;③OM<MP< 0; ④MP<0<OM,其中正确的是________.
-1-

17π 17π 解析:sin =MP>0,cos =OM<0. 18 18 答案:② 6.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: 5π 2π (1) ;(2)- . 6 3 解:

(时间:30 分钟 满分:60 分) 知识点及角度 基础 解三角方程 解三角不等式 比较大小 三角 函数线的综合应用 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.下列四个命题中:( ) 1 8.(1) 5、6、7、8.(2) 4 3 2 9、10 难易度及题号 中档 稍难

①α 一定时,单位圆中的正弦线一定; ②单位圆中,有相同正弦线的角相等; ③α 和 α +π 有相同的正切线; ④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上. 不正确命题的个数是( A.0 C.2 解析: 单位圆中, ) B.1 D.3 π 5π π 5π π 3π 与 有相同的正弦线,但 ≠ ,②错; α = 时,α +π = , 6 6 6 6 2 2

π 3π 与 都不存在正切线,③错,①与④正确. 2 2 答案:C 2.已知 θ 为锐角,则下列选项提供的各值中,可能为 sin θ +cos θ 的值的是( )
-2-

A. C.

4 3 4 5

B. D.

3 5 1 2

解析:在单位圆中借助三角函数线可得 sin θ +cos θ >1. 答案:A π π 3.若 <θ < ,则下列不等式成立的是( 4 2 A.sin θ >cos θ >tan θ C.sin θ >tan θ >cos θ )

B.cos θ >tan θ >sin θ D.tan θ >sin θ >cos θ

解析:结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知,此时正切线最长,余弦线最短,且 都为正,故 tan θ >sin θ >cos θ . 答 案:D 4.设 0≤α <2π ,若 sin α > 3cos α ,则 α 的取值范围是( A.? C.? )

?π ,π ? ? ?3 2? ?π ,4π ? ? 3 ? ?3

B .? D.?

?π ,π ? ? ?3 ?

?π ,π ?∪?4π ,3π ? ? ? ? ?3 2? ? 3 2 ?

解析:sin α > 3cos α , 当 cos α ≤0,sin α >0 时,显然成立,由图知 α 的取值范围是

?π ,π ? ?2 ? ? ?
当 cos α <0,sin α ≥0 时,显然成立,此时 α =π 4 ? ? 当 sin α <0,cos α <0 时,0<tan α < 3,则?π , π ? 3 ? ? 当 cos α >0 时,tan α > 3,x∈? 答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 5.已知 α 是锐角,若 sin α <cos α ,则角 α 的取值范围是________. 解析:如图单位圆中,0<MP<OM, π ∴0<α < . 4

?π ,π π ?. ? ?3 2 ?

-3-

? π? 答案:?0, ? 4? ?
1 6.不等式 cos x> 在区间[-π ,π ]上的解为________. 2 解析:如图所示,

? π π? 答案:?- , ? ? 3 3?
7.不等式 tan α + 3 >0 的解集为________. 3

解析:不等式的解集如图所示(阴影部分),

? ? π π ? 答案:?α ?kπ - <α <kπ + ,k∈Z 6 2 ? ? ?

? ? ?. ? ?

三、解答题 8.(10 分)利用三角函数线求满足下列条件的 角 α 的集合. 1 (1)tan α =-1;(2)sin α <- . 2 解:(1)如图①所示,过点(1,-1)和原点作直线交单位圆于点 P 和 P′,则 OP 和 OP′ 就是角 α 的终边, 3 π π ∴∠xOP= π =π - ,∠xOP′=- , 4 4 4 ∴满足条件的所有角 α 的集合是
? ? ?α ? ?

?α =-π +kπ ,k∈Z ? 4 ?

? ? ?. ? ?

-4-

1? ? (2)如图②所示,过点?0,- ?作 x 轴的平行线, 2 ? ? 交单位圆于点 P 和 P′, 1 则 sin∠xOP=sin∠xOP′=- , 2

11 7π ∴∠xOP= π ,∠xOP′= , 6 6 ∴满足条件的所有角 α 的集合是
? ?α ?

?7π +2kπ <α <11π +2kπ ,k∈Z? ?. ? 6 6 ? ?

9.(10 分)如图所示,已知单位圆 O 与 y 轴交于 A、B 两点,角 θ 的顶点为原点,始边在 x 轴的非负半轴上,终边在射线 OM 上,过点 A 作直线 AC 垂直于 y 轴与角 θ 的终边 OM 交于点 C,则有向线段 AC 表 示的函数值是什么? 解:设单位圆与 x 轴正半轴交于 D,过 D 作 DT 垂直 x 轴交 CO 的延长线于 T,

过 C 作 CE⊥x 轴交 x 轴于 E,如图. 由图可得△OCE∽△OTD, ∴ ∴

OE CE = ,又 CE=OA=OD=1. OD DT
1

DT

=OE=AC.

根据任意角的三角 函数的定义可得 1 tan θ =DT.∴AC= . tan θ

? π? 10.(12 分)用单位圆及三角函数线证明:正弦函数在?0, ?上是增函数. 2? ?

-5-

π 证明:设 0≤α 1<α 2≤ ,分别作 α 1,α 2 的正弦线如图 2 sin α 1=M1P1,sin α 2=M2P2. π ∵0≤α 1<α 2≤ , 2 ∴M1P1<M2P2 ,

所示:

? π? 即 sin α 1<sin α 2,∴正弦函数在?0, ?上为增函数. 2? ?

-6-


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