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17.1(1)一元二次方程

时间:2018-10-15


问题1 某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为 100t,计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻 一番(即为200t).要实现这一目标,2010年和2011 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少?
解:设这个队2010-2011年无公害蔬菜产量的年平均增长 率是x,那么;2010年无公害蔬菜产量为100+100x= 100(1+x)(t);2011年无公害蔬菜产量为100(1+x)+ 100(1+x)?x=100(1+x)? (t). 根据题意,2011年无公害蔬菜产量为200t,得 100(1+x)? =200, 即 (1+x)? =2. 整理,得 x? +2x-1=0.

问题2 在一块宽20m、长32m的长方形空地上,修筑 宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向 垂直),把这块空地分成大小一样的6块,建成小花坛.要 使花坛的总面积为570m? ,问小路的宽应是多少? 解:设小路的宽是xm,则横向小路的面积是32xm? ,纵向 小路的面积是2×20xm? ,两者重叠部分的面积是2x? m? . 由于花坛的总面积是570m? ,则 32×20-(32x+2×20x)+2x? =570. 整理,得 x? -36x+35=0.

一元二次方程的概念
像 x? +2x-1=0,x? -36x+35=0这样的 等号两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元),并且未知数的最高次数是2(二 次)的方程叫做一元二次方程。
即:一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;

“=”的右边 ?一元二次方程的一般形式 必须整理成 0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为

,我们把 (a,b,c为常数,a≠0)称为一元 ax ? bx的形式 ?c ? 0
2

二次方程的一般形式.
二次 项 一次 项 为什么要限制a≠0, b,c可以为零吗? (a ≠ 0)

a x 2+ b x + c = 0

a是二次项系数 b是一次项系数 常数项

一元二次方 程的一般形式

完全的一元二次方程

ax2+bx+c=0 (a≠0, b≠0,
c≠0) 不完全的一 元二次方程 ax2+c=0 (a≠0,c≠0) ax2=0 (a≠0)

ax2+bx+c=0
(a≠0)

ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)

一元一次方程与一元二次方程 有什么区别与联系?

一元一次方程 一般式 相同点

一元二次方程

ax2+bx+c=0 (a≠0) ax=b (a≠0) 都是整式方程,只含有一个未知数

不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2

例1: 判断下列方程是否为一元二次方程?
判断一个方程是否是一元二次方程,关键是要将方 程化为一般式,然后根据一元二次方程必须同时满足的 三个条件进行判别。(① 只含一个未知数;②未知数的最 高次数是2. ③ 都是整式方程;)

(1)x? +x =36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0
2

√ ? ?

(2) x + x =36
3 2

?

(7)4 x ?1 ? (2x ? 3)
2

x (6) ?6 3 2

1 2 (4) 2 ? ? 0 x 2x

? √

(8)( x ) ? 2 x ? 6 ? 0

? ?

下列方程中哪些是一元二次方程?

(1) x ? 2 x ? 5 ? 0 (2)4 x ? 3 y ?1 ? 0
2
2
可能为0

(3)ax ? bx ? c ? 0
2

(4) x( x ? 1) ? 2 ? 0

1 (5)a ? ? 0 a
2

是分式

(6)(m ? 2) ? 1
2
是二次 根式

(7) x ? x ? 5
2

(8)2x ? x ? 3? ? 2x ?1
2

(1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有:____________

化简为: ? 6 x ? 1.

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、 例题讲解 常数项都是包括符号的

例题讲解

[例2] 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的 二次项、一次项和常数项及它们的系数: (1) 2 3x( x ? 1) ? 5( x ? 2) (2) 解:3x 2 ? 3x ? 5 x ? 10 二次项:x? ,二次项系数 2 3x ? 3x ? 5x ? 10 ? 0 为1,一次项:0,一次项系 2 数为 0, 常数项为 0. 3x ? 8x ? 10 ? 0

x ?0

二次项3x? ,二次项系数为3, 一次项-8x,一次项系数为-8, 常数项为-10.

2 ax

+ bx + c = 0 (a≠0)

二次项系数 一次项系数 常数项

注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知 数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一 次项,最后是常数项。

例1 把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式,并写出它 的二次项系数、一次项系数及常数项. 解 去括号,得 3 x? -3x=2x-4-4. 移项,合并同类项,得方程的一般形式: 3x? -5x+8=0. 它的二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是8.

例2.把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它
的二次项系数、一次项系数和常数项:
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项


2



3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6

3 3x2-5 5x+ +1 1 =0 1x2 + x-8 =0 1

3 1

-5 1

1 -8

4-7x =0

2

7x2 - 4=0 7 0 -4

例3 抢答:
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数

2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2

2

2 -4 3 4 m-3 3

1 2 -1

4 0 -1

2

2

2

0
1-m -8

-5
-m -10

3x(x-1)=5(x+2)

方程(2a-4)x2 -2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程? ②在什么条件下此方程为一元一次方程? 解: ①由题意得,2a-4≠0,解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程;

例4:

② 2a-4=0 由题意得, -2b≠0

a=2 解之得 b≠0

∴当a=2且b≠0时是一元一次方程.

练习巩固
1.关于x的方程(k-3)x2 + 2x-1=0,

当k ≠3 时,是一元二次方程.

2.关于x的方程(k2-1)x2 + 2 (k-1) x + 2k + 2 =0,当 k1 时,是一元二次方程. ≠± =-1 当k 时,是一元一次方程.

3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x 的一元二次方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 C.ax 4.当m为何值时,方程 4 m ? 2 (m ? 1) x ? 27mx ? 5 ? 0

是关于x的一元二次方程.

? m+1 ? 0 ? ? 4m -2=2

m=1

1.本节学习的数学知识是:
(1) 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 (2)

3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0)? (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 (1)
找一元二次方程的二次项、一次项 (2) 系数及常数项要先化为一般式


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