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人A 选修 2-2 知能巩固提升(十一) 课后巩固作业(十一) 1.6

时间:2013-04-11


知能巩固提升(十一)/课后巩固作业(十一)
(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2011·福建高考) ?0 ? ex ? 2x ? dx 等于(
1

满分:50 分)

) (D)e+1 )

(A)1

(B)e-1
1

(C)e

2.设 f(x)=ax2+c(a≠0),若 ?0 f ? x ? dx =f(x0),0≤x0≤1,则 x0 的值为( (A) ?
3 3

(B)

3 3

(C) ?

1 3

(D)

1 3

?x 2 , x ? ?0,1?, e2 3.已知 f ? x ? ? ? 1 (其中 e 为自然对数的底数),则 ?0 f ? x ? dx 的值为( ? 2 ? , x ? ?1,e ? ? ?x

)

(A)

4 3

(B)

5 3
2

(C)

7 3

(D) )

8 3

4.(2012·冀州高二检测) ?0 1 ? x dx =( (A)0 (B)1 (C)2

(D)-2

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(2011·陕西高考)设 f ? x ? ? ? ?
?lgx,x>0,
a 2 ?x ? ?0 3t dt,x ? 0, ?

若 f(f(1))=1,则 a=______.
1

6.(易错题)已知 f(x)为一次函数,且 f(x)=x+2 ?0 f ? t ? dt, f(x)=________. 则 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.计算下列定积分的值: (1) ?3 ? x ? 3?? x ? 4? dx;
4

(2) ?2

3

1? x dx. x2
0 0

8.比较定积分 ??2 ex dx 和 ??2 xdx 的大小.
-1-

【挑战能力】 (10 分)设 f(x)=ax+b,且 ??1 f 2 ? x ? dx =1,求 f(a)的取值范围.
1

答案解析
1.【解题指南】寻求函数 ex+2x 的原函数,从而求得积分值. 【解析】选 C.被积函数 ex+2x 的一个原函数为 ex+x2, ∴ ?0 ? ex ? 2x ? dx ? ? ex ? x 2 ? |1 ? ? e1 ? 12 ? ? ? e0 ? 0 ? ? e. 0
1

2.【解析】选 B.∵ ?0 f ? x ? dx ? ( ax 3 ? cx) |1 ? a ? c, ax 2 0 ? c ? a ? c, ∴ 0
1

1 3

1 3

1 3

∴ x 2 0 ? . ∵0≤x0≤1,∴x0=
e2

1 3

3 . 3
1 e2 e2 1 1 1 7 dx ? x 3 1 ?lnx ? ? 2 ? . 0 1 x 3 3 3

3.【解析】选 C. ?0 f ? x ? dx ? ?0 x 2dx ? ?1 【变式训练】已知 f ? x ? ? ?
1 0

? x 2 , x ? 0, ?cosx ? 1, x ? 0,
1

则 ??1 f ? x ? dx =_________.
1

【解析】 ??1 f ? x ? dx ? ??1 x 2dx ? ?0 ? cosx ?1? dx = x 3 |01 ? ? sinx ? x ? |10 = +sin1-1= ? +sin1. ? 答案: ? +sin1 4.【解析】选 B. ?0 ?1 ? x ? dx ? ?1
1 2

1 3

1 3

2 3

2 3

1 1 ? x ? 1? dx ? (x ? x 2 ) 10 ?( x 2 ? x) 2 2 1

2

=(1- )+( ×4-2)-( -1)=1. 【方法技巧】求分段函数定积分的方法 (1)用积分性质将其表示为几段积分和的形式.(2)带绝对值的解析式,先找到分 界点,去掉绝对值符号,化为分段函数.
-2-

1 2

1 2

1 2

5.【解题指南】分段函数问题通常需要进行分步计算或判断,从 x=1 算起是解 答本题的突破口. 【解析】∵x=1>0,∴f(1)=lg1=0. 又∵f(x)=x+ ?0 3t 2dt =x+a3(x≤0), ∴f(0)=a3,∴a3=1,∴a=1. 答案:1 【变式训练】(2012·邢台高二检测)已知 t>0,若 ?0 ? 2x ? 2? dx =3,则 t=____.
t a

t 【解析】由题意得(x2-2x) |0 =t2-2t=3,解得 t=3 或-1.∵t>0,∴t=3.

答案:3 6.【解析】设 f(x)=kx+m(k≠0),则 ?0 f ? t ? dt ? ( kt 2 ? mt) |1 ? k ? m, 0
1

1 2

1 2

∴kx+m=x+k+2m, ∴k=1 且 m=k+2m,∴m=-1. 答案:x-1
x3 7 2 4 7.【解析】(1) ?3 ? x ? 3?? x ? 4 ? dx ? ?3 ? x ? 7x ? 12 ? dx ? ( ? x ? 12x) |3 3 2
4 4 2

?(

43 7 2 33 7 1 ? ? 4 ? 12 ? 4) ? ( ? ? 32 ? 12 ? 3) ? ? . 3 2 3 2 6
3 3 1 1? x 1 1 1 1 1 2 dx ? ? ( 2 ? )dx ? (? ? lnx)|3 =(- -ln3)-(- -ln2)= +ln . 2 2 2 x x x x 3 2 6 3

(2) ?2

8.【解析】 ??2 ex dx ? ex |02 =1-e-2>0, ?

0

?

0

?2

xdx ?
0

1 2 0 x |?2 =-2<0, 2
0

显然 ??2 ex dx>??2 xdx. 【一题多解】本题还可以用下面的方法求解: 令 f(x)=ex-x,x∈[-2,0],

-3-

∵f′(x)=ex-1≤0 对 x∈[-2,0]恒成立, ∴f(x)在[-2,0]上是减函数, ∴f(x)≥f(0)=1>0, ∴ ??2 f ? x ? dx >0,
0

即 ??2 ? ex ? x ? dx >0,
0

∴ ??2 ex dx>??2 xdx. 【挑战能力】 【解析】∵f(x)=ax+b, ∴f2(x)=a2x2+2abx+b2,
1 3 1 1 = a2+ab+b2-( ? a2+ab-b2) 3 3 2 = a2+2b2=1, 3
1

0

0

∴ ??1 f 2 ? x ? dx =( a2x3+abx2+b2x) |1?1

∴ a 2 ? ? 3b 2, a2≥0 得 ? 解 ∴f(a)=a2+b =-3b2+b+
3 2

3 2

2 2 ?b? , 2 2

1 19 , 6 12 1 19 ∴当 b= 时,f(a)有最大值 , 6 12

=-3(b- )2+

当 b= ?

2 2 时,f(a)有最小值 ? , 2 2 2 19 , ]. 2 12

∴f(a)的取值范围为[ ?

-4-


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