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2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:49 空间角的求法含答案

时间:2015-02-06


课时跟踪检测(四十九) 空间角的求法
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.如图所示, 已知正方体 ABCD ?A1B1C1D1, E, F 分别是正方形 A1B1C1D1 )

和 ADD1A1 的中心,则 EF 和 CD 所成的角是( A.60° C.30° 2.在正方体 ABCD 面角的余弦值为( A. C. 1 2 3 3 ) B. D. 2 3 2 2

B.45° D.90° ?A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二

3.(2013·安徽六校联考)在三棱锥 P ?ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=90°,D,E,F 分别是棱 AB, BC, CP 的中点, AB=AC=1, PA=2, 则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为( A. 1 5 5 5 B. 2 5 5 2 5 )

C.

D.

4.(2014·昆明模拟)如图,在四棱锥 P ?ABCD 中,四边形 ABCD 为 平行四边形,且 BC⊥平面 PAB,PA⊥AB,M 为 PB 的中点,PA=AD=2.若 AB=1,则二面角 B?AC?M 的余弦值为( A. C. 6 6 2 6 ) B. D. 3 6 1 6

5.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC?A1B1C1,CA=CC1 =2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为________. 6.如图,在正四棱锥 S ?ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点, 且 SO=OD, 则直线 BC 与平面 PAC 所成角为________. 7.(2013·全国课标卷Ⅰ)如图,三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,CA=CB, AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B, AB=CB, 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角 的正弦值.
-1-

8.(2013·合肥一模)如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯 形,其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 是边长为 2 的等边三 角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求二面角 E?BD?A 的余弦值.

第Ⅱ卷:提能增分卷 π π 1.(2013·湖北八校联考)如图,在△AOB 中,已知∠AOB= ,∠BAO= , 2 6 AB=4,D 为线段 AB 的中点.△AOC 是由△AOB 绕直线 AO 旋转而成,记二面角 B?AO?C 的大小为 θ . (1)当平面 COD⊥平面 AOB 时,求 θ 的值; 2π (2)当 θ = 时,求二面角 B?OD?C 的余弦值. 3

-2-

2. (2013·郑州模拟)如图, 正三棱柱 ABC?A1B1C1 的所有棱长都为 2, CD =λ CC1 .(λ ∈R) 1 (1)当 λ = 时,求证:AB1⊥平面 A1BD; 2 π (2)当二面角 A?A1D ?B 的大小为 时,求实数 λ 的值. 3

??? ?

???? ?

3.(2014·天津十二区县联考)如图,在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,AB⊥ AC,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B,且 AB=AC=A1B=2. (1)证明:平面 A1AC⊥平面 AB1B; (2)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (3)若点 P 为 B1C1 的中点,并求出二面角 P?AB?A1 的平面角的余弦值.

答 案 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.选 B 以 D 为原点,分别以射线 DA,DC,DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐系系 D-xyz,设正方体的棱长为 1,则 1? ?1 1 ? ?1 D(0,0,0),C(0,1,0),E? , ,1?,F? ,0, ?, 2? ? 2 2 ? ?2

???? ???? ? 1 1 EF =?0,-2,-2? ?, DC =(0,1,0), ? ? ???? ???? ???? ???? 2 EF · DC ∴cos〈 EF , DC 〉= ???? ???? =- , 2 | EF || DC | ???? ???? ∴〈 EF , DC 〉=135°,

-3-

∴异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°. 2.选 B 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设棱 1? ? 长为 1,则 A1(0,0,1),E?1,0, ?,D(0,1,0), 2? ? ∴ A1 D =(0,1,-1),

???? ?

???? ? 1? A1 E =? ?1,0,-2?, ? ?
y-z=0, ? ? 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z),则? 1 1- z=0, ? ? 2 ∴n1=(1,2,2).∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1), 2 2 ∴cos〈n1,n2〉= = . 3×1 3 2 即所成的锐二面角的余弦值为 . 3 3.选 C 以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 建立如图所示的空间直角坐标系, 由 AB = AC = 1 , PA = 2 ,得 A(0 , 0,0) , B(1,0,0), C(0,1,0) , 轴
? ?y=2, ∴? ?z=2. ?

?1 ? ?1 1 ? P(0,0,2),D? ,0,0?,E? , ,0?, ?2 ? ?2 2 ?
??? ? ???? ? 1 ? ???? ? 1 ? F ?0, ,1? ,∴ PA = (0,0 ,- 2) , DE = ?0, ,0? , DF = ? 2 ? ? 2 ?

?-1,1,1?. ? 2 2 ? ? ?
设平面 DEF 的法向量为 n=(x,y,z),

???? ?n· DE =0, 则由? ???? ?n· DF =0

? ?y=0, 得? ?-x+y+2z=0, ?

| PA ·n| 5 ? 取 z=1,则 n=(2,0,1),设 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ ,则 sin θ = ??? = , | PA ||n| 5 ∴PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 故选 C. 4.选 A ∵BC⊥平面 PAB,AD∥BC,∴AD⊥平面 PAB,PA⊥AD, 又 PA⊥AB,且 AD∩AB=A, ∴PA⊥平面 ABCD. 5 , 5

??? ?

-4-

以点 A 为坐标原点,分别以 AD,AB,AP 所在直线为 x 轴,y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 A ?xyz.

? 1 ? 则 A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),M?0, ,1?, ? 2 ?
∴ AC =(2,1,0),

????

???? ? 1 ? AM =? ?0,2,1?, ? ?
求得平面 AMC 的一个法向量为 n=(1,-2,1), 又平面 ABC 的一个法向量 AP =(0,0,2),

??? ?

??? ? ??? ? n· AP 2 1 6 ??? ? = ∴cos〈n, AP 〉= = = .∴二面角 B ?AC ?M 的余弦 6 1+4+1·2 6 |n|·| AP |
值为 6 . 6

5.解析:不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2. 可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0), A(2,0,0),B1(0,2,1), ∴ BC1 =(0,2,-1), AB1 =(-2,2,1),

???? ?

???? ?

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? BC1 · AB1 ? ???? ? ∴cos〈 BC1 , AB1 〉= ???? | BC1 || AB1 |
= 4-1 5× 9 = 1 5 = 5 >0. 5

∴ BC1 与 AB1 的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角, ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 答案: 5 5 5 . 5

???? ?

???? ?

6.解析:如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O?xyz. 设 OD=SO=OA=OB=OC=a, 则 A(a,0,0),B(0,a,0), C(-a,0,0), a a? ? P?0,- , ?. 2 2? ?

-5-

??? ? ??? ? ? a a? 则 CA =(2a,0,0), AP =?-a,- , ?, 2 2? ? ??? ? CB =(a,a,0).
设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1),

??? ? ??? ? a 1 CB ·n ? 则 cos〈 CB ,n〉= ??? = = . 2 2a · 2 2 | CB ||n| ??? ? ∴〈 CB ,n〉=60°,
∴直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90°-60°=30°. 答案:30° 7.解:(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB,所以 OC⊥平面 AA1B1B,故 OA,OA1,OC 两两相互垂直. 以 O 为坐标原点,OA 的方向为 x 轴的正方向,| OA |为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系 O ?xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, B(-1,0,0). 则 BC =(1,0, 3), BB1 = AA1 =(-1, 3,0), A1C =(0,- 3, 3). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量, 3,0),C(0,0, 3),

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ? ? BC n· =0, ? ???? ? 则? ?n· BB1 =0. ?

?x+ 3z=0, 即? ?-x+ 3y=0.

可取 n=( 3,1,-1).

???? ? ???? ? n· A1C 10 ???? ? =- 故 cos?n, A1C ?= . 5 |n|| A1C |
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 . 5

8.解:(1)证明:如图 1,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,CD=2,所以 BF 綊 CD,

-6-

所以四边形 BCDF 为平行四边形, 所以 DF∥BC. 在△PAB 中,PE=EA, AF=FB, 所以 EF∥PB. 因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, 所以平面 DEF∥平面 PBC. 因为 DE? 平面 DEF,所以 DE∥平面 PBC. (2)取 AD 的中点 O,BC 的中点 N,连接 ON,OP,则 ON∥AB. 在△PAD 中,PA=PD=AD=2,所以 PO⊥AD,PO= 3. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 如图 2,以 O 为坐标原点,分别以 OA,ON,OP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 则 O(0,0,0), A(1,0,0), D(-1,0,0), P(0,0, 3),B(1,4,0), 所以 DB =(2,4,0).

??? ?

???? ?3 3? 3? ?1 因为 E 为 PA 的中点,所以 E? ,0, ?,故 DE =? ,0, ?. 2 2 2 2 ? ? ? ?
易知 PO =(0,0,- 3)为平面 ABD 的一个法向量. 设平面 EBD 的法向量为 n=(x,y,z),

??? ?

??? ? ?n⊥ DB , 由? ???? ?n⊥ DE ,

2x+4y=0, ? ? 得?3 3 x+ z=0, ? 2 ?2

令 y=-1,则 x=2,z=-2 3, 所以 n=(2,-1,-2 3)为平面 EBD 的一个法向量.

??? ? 所以 cos〈 PO ,n〉=

??? ? PO ·n 2 51 ??? ? = . 17 | PO |·|n|

设二面角 E?BD ?A 的大小为 θ ,

? π? 由图可知 θ ∈?0, ?, 2? ?
2 51 2 51 所以 cos θ = ,即二面角 E ?BD ?A 的余弦值为 . 17 17 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)如图,在平面 AOB 内过 B 作 BE⊥OD 于 E,

-7-

∵平面 AOB⊥平面 COD, 平面 AOB∩平面 COD=OD, ∴BE⊥平面 COD, ∴BE⊥CO. 又∵CO⊥AO, ∴CO⊥平面 AOB, ∴CO⊥BO. ∵BO⊥AO,CO⊥AO, ∴二面角 B?AO?C 的平面角为∠BOC, π 即θ = . 2 (2)如图,以 O 为原点,在平面 OBC 内垂直于 OB 的直线为 x 轴,OB, OA 所在的直线分别为 y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 O ?xyz,则 A(0,0,2 3),B(0,2,0),D(0,1, 3),C( 3,-1,0). 设 n1=(x,y,z)为平面 COD 的法向量,

??? ? ?n1· OC =0, 由? ??? ? ?n1· OD =0,

得?

? 3x-y=0, ?y+ 3z=0.

取 z=1,则 n1=(-1,- 3,1). 又平面 AOB 的一个法向量为 n2=(1,0,0),设二面角 B ?OD ?C 的大小为 α , n1·n2 -1 5 则 cos α = = =- . |n1|·|n2| 5 1+3+1 故二面角 B ?OD ?C 的余弦值为- 5 . 5

2.解:(1)证明:取 BC 的中点为 O,连接 AO, 因为在正三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 CBB1C1,且△ABC 为正三角形,所以 AO ⊥BC,AO⊥平面 CBB1C1. 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 O ?xyz, 则 A(0,0, 3),B1(1,2,0),D(-1,1,0), A1(0,2, 3),B(1,0,0). 所以 AB1 =(1,2,- 3),

???? ?

???? ? ??? ? DA1 =(1,1, 3), DB =(2,-1,0). ???? ? ???? ? ???? ? ??? ? 因为 AB1 · DA1 =1+2-3=0, AB1 · DB =2-2=0,
所以 AB1⊥DA1,AB1⊥DB,又 DA1∩DB=D,所以 AB1⊥平面 A1BD.
-8-

(2)由(1)得 D(-1,2λ ,0),所以 DA1 =(1,2-2λ , 3), DB =(2,-2λ ,0), DA =(1,-2λ , 3). 设平面 A1BD 的法向量 n1=(x,y,z),平面 AA1D 的法向量 n2=(s,t,u),

???? ?

??? ?

??? ?

???? ? ? ?n1· DA1 =0, 由? ??? ? ?n1· DB =0, ?

λ -2 得平面 A1BD 的一个法向量 n1=(λ ,1, ); 3

同理可得平面 AA1D 的一个法向量 n2=( 3,0,-1), 由|cos〈n1,n2〉|=?

? n1·n2 ?=1,解得 λ =1,即为所求. ? 4 ?|n1|·|n2|? 2

3.解:(1)证明:∵A1B⊥平面 ABC,∴A1B⊥AC, 又 AB⊥AC,AB∩A1B=B,∴AC⊥平面 AB1B,∵AC? 平面 A1AC,∴平面 A1AC⊥平面 AB1B. (2)以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),C1(2,2,2),

???? ? ??? ? ????? AA1 =(0,2,2), BC = B1C1 =(2,-2,0), ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? AA1 · BC -4 1 ? ??? ? = cos〈 AA1 , BC 〉= ???? =- ,故 AA1 与 2 8· 8 | AA1 |·| BC |
π 棱 BC 所成的角是 . 3 (3)因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P(1,3,2). 设平面 PAB 的法向量为 n1=(x,y,z),

??? ? ?n1· AP =0, 则? ??? ? ?n1· AB =0,
?x+3y+2z=0, ? ? ?2y=0, ?

??? ? ? AP =?1,3,2?, 由? ??? ? ? AB =?0,2,0?,



令 z=1,则 n1=(-2,0,1 ), 而平面 ABA1 的法向量 n2=(1,0,0), n1·n2 2 2 5 则 cos〈n1,n2〉= =- =- . |n1||n2| 5 5 由图可知二面角 P?AB?A1 为锐角, 2 5 故二面角 P?AB?A1 的平面角的余弦值是 . 5

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