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山东省潍坊市2013届高三二模数学试题(理科)_图文

时间:2013-05-15

2013 年高考模拟考试
数 学(理工农医类) 2013.04
本试卷共 4 页,分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共 150 分考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 注意事项: 1.答第 1 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干 净后, 再改涂其它答案标号 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只 有一项是 符合题目要求的 1·复数 z ?

i3 复平面内对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 【答案】C 【解析】 z ?

1 1 i3 ?i ?i(1 ? i) ?1 ? i 1 1 = ? ? ? ? ? i ,对应点的坐标为 (? , ? ) ,为 2 2 1 ? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2 1 ”的 2
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

第三象限,选 C. 2.在△ABC 中, ?A ? 30 ”是“ sin A ? “
?

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【 解 析 】 由 sin A ? “ sin A ?

1 ? ? ? ? ? 得 A ? 30 ? k ? 360 或 A ? 150 ? k ? 360 , 所 以 “ ?A ? 30 ” 是 2

1 ”的充分不必要条件,选 A. 2

3.集合 A ? x | x ? 1 ? 3 , B ? y | y ? A. A ? B ? R 【答案】D B. A ? 餽B R

?

?

?

x , 0 ? x ? 4 .则下列关系正确的是
C. B ? 餽A R D. 餽A ? 餽B R R

?

【解析】 A ? x | x ? 1 ? 3 ? {x ?4 ? x ? 2} , B ? y | y ?

?

?

?

x , 0 ? x ? 4 ? { y 0 ? y ? 2} ,

?

所以 ?R B ? {x x ? 2或x ? 0} , ?R A ? {x x ? ?4或x ? 0} ,所以 餽A ? 餽B ,选 D. R R

-1-

4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实轴长为 2,焦距为 4,则该双曲线的渐近线方程是 a 2 b2
B. y ? ?

A. y ? ?3x 【答案】C

3 x 3

C. y ? ? 3x

D. y ? ?2 x

【解析】由题意知 2a ? 2, 2c ? 4 ,所以 a ? 1, c ? 2 ,所以 b ? c2 ? a2 ? 3 。又双曲线的 渐近线方程是 y ? ?

b x ,即 y ? ? 3x ,选 C. a

5.已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,给出四个命题: ①若 ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 ? ? ? ③若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? 其中正确的命题是 A.①② B.②③ 【答案】B 【解析】由面面垂直的性质可知②③正确。 6.设 a ? ?? (cos x ? sin x)dx ,则二项式 ( x ? 0
2

②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? ④若 m / /? , n / / ? m / / n ,则 ? / / ?

C.①④

D.②④

a 6 ) 展开式中的 x3 项的系数为 x
C.-160
?
0

A.-20 【答案】C

B.20

D.160

? 【 解 析 】 因 为 a ? ? 0 (cos x ? sin x )dx ? (sin x ? cos x)

? ?2 , 所 以 二 项 式 为

a 2 2 ( x 2 ? )6 ? ( x 2 ? )6 ,所以展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C6k ( x 2 )6? k (? ) k ? C6k x12?3k (?2) k , x x x
3 3 由 12 ? 3k ? 3 得 k ? 3 ,所以 T4 ? C6 x3 (?2)3 ? ?160x3 ,所以 x 项的系数为 ?160 。选 C.

7.已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? 中,函数 g ( x) ? ( )

9 ( x ? ?1) ,当 x=a 时, f ( x) 取得最小值,则在直角坐标系 x ?1

1 a

x ?1

的大致图象为

【答案】B

-2-

【解析】 y ? x ? 4 ?

9 9 9 ? x ? 1+ ? 5 ,因为 x ? ?1 ,所以 x ? 1 ? 0, ? 0 ,所以由 x ?1 x ?1 x ?1
9 9 9 ,即 ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ? 5 ?1 , 当 且 仅 当 x ?1 ? x ?1 x ?1 x ?1

均 值 不 等 式 得 y ? x ? 1+

1 x ?1 1 x ?1 2 ? ( ) ,又 ,所以 x ? 1 ? 3, x ? 2 时取等号,所以 a ? 2 ,所以 g ( x) ? ( ) ( x ? 1) ? 9 a 2

? 1 x ?1 1 x ?1 ?( ) , x ? ? 1 ,所以选 B. g ( x) ? ( ) ? ? 2 2 x ?1 ?2 , x ? ? 1 ?
8.有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图 和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为 A. 21 3 C. 30 ? 6 3 【答案】C 【解析】 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形, 两个侧面和底面垂直。 其中侧棱 AA ? 2 . 1 底 面 边 长 B. 6 ? 15 3 D.42

AD ? 3 , 平 行 六 面 体 的 高 为

3 。 BE ? 2 , 又

2 2 AE ? AA12 ? A1E ? 2 ? (2 3) ? 1 ,所以 AB ? 1 ? 2 ? 3 .所以平行六面体的表面积为

2(3? 3 ? 3? 3 ? 3? 2)=30 ? 6 3 ,选 C.
9.已知 log 1 ( x ? y ? 4) ? log 1 (3x ? y ? 2) ,若 x ? y ? ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是
2 2

A. ? ??,10? 【答案】C

B. ? ??,10?

C. ?10, ???

D. ?10, ???

?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? y ? 4 ? 0 ? ? 【解析】要使不等式成立,则有 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,即 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,设 z ? x ? y , ? x ? y ? 4 ? 3x ? y ? 2 ?x ? 3 ? ?

-3-

则 y ? x ? z 。作出不等式组对应的平面区域如图

,平移直线 y ? x ? z ,由

图象可知当直线 y ? x ? z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大,由 ?

?x ? y ? 4 ? 0 ,解 ?x ? 3

得?

? y ? ?7 ,代入 z ? x ? y 得 z ? x ? y ? 3 ? 7 ? 10 ,所以要使 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取 ?x ? 3

值范围是 ? ? 10 ,即 ?10, ??? ,选 C. 10.运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值 范围为

1 4 1 C. t ? 4
A. t ? 【答案】B

1 8 1 D. t ? 8
B. t ?

【 解 析 】 第 一 次 循 环 , n ? 2, x ? 2t , a ? 2 ? 1 ? 1 ; 第 二 次 循 环 ,

n ? 4, x ? 4t , a ? 4 ? 1 ? 3 ;第三次循环, n ? 6, x ? 8t , a ? 6 ? 3 ? 3 ,此
x 8t x 8t 时满足条件输出 a ? 3 ,由题意知 a ? 3 ? 3 ,解得 8t ? 1 ,即 t ?

1 , 8

选 B. 11.定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,已知 f ( x ? 1) 是偶函数

( x ? 1) f '( x) ? 0 . 若 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的
大小关系是 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 【答案】C 【解析】由 ( x ? 1) f '( x) ? 0 可知,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 函数递减。当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 函 数递增。因为函数 f ( x ? 1) 是偶函数,所以 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) , f ( x) ? f (2 ? x) ,即函数 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不确定

-4-

的对称轴为 x ? 1 。所以若 1 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。若 x1 ? 1 ,则必有 x2 ? 2 ,则

x2 ? 2 ? x1 ? 1 , 此 时 由 f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) , 即 f ( x ) 2 ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,选 C.

f ( ? 1x ? 2 )

, ) f 1 (x 综 上

12.某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每 10 人给一个代表名额,当班级人数除 以 10 的余数大于 6 时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数 y 与该班人数 x 之间的 函数关系用取整函数 y ? [ x] ([x]表示不大于*的最大整数)可表示为 A. y ? [

x ] 10

B. y ? [

x?3 ] 10

C. y ? [

x?4 ] 10

D. y ? [

x?5 ] 10

【答案】B 【解析】法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B 法二:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) , 0 ? ? ? 6时, ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? ?10?, ? 10 ? ? ? ? ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? 当6 ? ? ? 9时, ? ? ? ?m ? 10 ? ? m ? 1 ? ?10? ? 1 ,所以选 B ? 10 ? ? ? ? ?
第Ⅱ卷 (非选择题共 90 分) 注意事项: 1.将第Ⅱ卷答案用 0 5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.如图,在△ABC 中,O 为 BC 中点,若 AB=I, AC ? 3

??? ???? ? ??? ? AB, AC ? 60? ,则 OA ? ______________。

【答案】

13 2

【解析】因为

??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? 1 3 A B A C? 6 0 , 所 以 AB ? AC ? AB ? AC cos 60? ? 3 ? ? , 又 , 2 2 ???? 1 ??? ???? ? ???? 2 1 ??? ???? 2 1 ??? 2 ??? ???? ???? 2 ? ? ? AO ? ( AB ? AC ) , 所 以 AO ? ( AB ? AC ) ? ( AB ? 2 AB ? AC ? AC ) , 即 2 4 4

???? 2 1 ??? ? 1 3 13 AO ? ( 1 ?3 ?9 ) ,所以 OA ? ? 。 4 4 2
14.某市为增强市民的节约粮食意识,面向全市征召 务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25),第 2 组 [25,30),第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) , 第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所 示若用分层抽样的方法从第 3,4,5 组中共抽取

-5-

了 12 名志愿者参加 l0 月 16 日的“世界粮食日” 宣传活动,则从第 4 组中抽取的人数为________。 【答案】4 【解析】由直方图可知,第 3,4,5 组的人数比为 0.06 : 0.04 : 0.02 ? 3 : 2 :1 。所以从第 4 组 中抽取的人数为 12 ?

2 2 ? 12 ? ? 4 。 3 ? 2 ?1 6

15.在 ?ABC 中,角 A,B,C 新对的边分别为 a,b,c,若 a cos B ? b cos A ? c sin C ,

b2 ? c2 ? a2 ? 3bc ,则角 B=________.
【答案】 60
?

【解析】由 b ? c ? a ? 3bc 得 cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 3bc 3 ? ,所以 A ? 30 .由正弦 ? ? 2bc 2bc 2
sCn 即 sin( ? B )? sin sin ? i, A C C

B B 定 理 得 s i nA co s ? s i n

coA? s

sC in

sin 解 得 C,

? ? s i nC ? 1 ,所以 C ? 90 ,所以 B ? 60 .

1 x2 y 2 16.如图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,上顶点为 A,离心率为 ,点 2 a b
P 为第一象限内椭圆上的一点, S?PF1 A : S?PF1F2 ? 2 :1, 若 则直线 PF1 的斜率为______________。

【答案】

3 5
1 c 1 , 所以 e ? ? , a ? 2c 。 即 设直线 PF1 的斜率为 k ,(k ? 0) , 2 a 2
P1F 2 F

【解析】 因为椭圆的离心率为

则 直 线 PF1 的 方 程 为 y ? k ( x ? c) , 因 为 S?P F A: S? 1

, ? 2 : 1 即 S?P F A ? 2S? 1

P1F 2 , 即 F

kc ? b 2kc 1 1 ,所以 kc ? b ? 4 kc ,解得 b ? ?3kc , (舍去)或 ? PF1 ? ? 2 ? ? PF1 ? 2 2 2 2 k ?1 k ?1
2 b ? 5kc ,又 a 2 ? b2 ?c2 ,即 a2 ? 25k2 c2 ? c ,所以 4c 2 ? 25k 2c 2 ? c 2 ,解得 k 2 ?

3 ,所 25

以k ?

3 。 5

-6-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 2 cos( x ?

?

) cos( x ? ) ? 2 2 sin x cos x . 4 4

?

(I)求 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数 y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的图象,并说明 y ? f ( x) 的图象 是由 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到的。

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下: ①连续竞猜 3 次,每次相互独立; ②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为 a,再由乙猜甲写的数字,记为 b,已 知 a, b??0,1, 2,3, 4,5? ,若 a ? b ? 1,则本次竞猜成功; ③在 3 次竞猜中,至少有 2 次竞猜成功,则两人获奖 (I)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率; (Ⅱ)现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏,这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎 记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X,求 X 的分布列和期望

19. (本小题满分 12 分) 已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB =2, AA ? 3 ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 1 上 (I)当 AE : EA ? 1: 2 时,求证 DE ? BC1 ; 1 (Ⅱ)是否存在点 E,使二面角 D-BE-A 等于 60 若存在 求 AE 的长;若不存在,请说明理由
?

20. (本小题满分】2 分) 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产 线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护 费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,从第八年开始, 每年的维护费用比上年增加 25%

-7-

(I)设第 n 年该生产线的维护费用为 an ,求 an 的表达式; (Ⅱ)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线,求该生产 线前 n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?

21. (本小题满分 12 分) 已知定点 A(

p , 0) (p 为常数,p>O),B 为 z 轴负半轴七的一个动点,动点 M 使得 2

AM ? AB ,且线段 BM 的中点在 y 轴上
(I)求动点脚的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 EF 为曲线 C 的一条动弦 (EF 不垂直于 x 轴)其垂直平分线与 x 轴交于点 , 0),当 p=2 时,求 EF 的最大值. T(4,

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e .
x

(I)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间 (Ⅱ)若不等式 g ( x) ?

x?m 有解,求实数 m 的取值菹围; x

(Ⅲ)定义:对于函数 y ? F ( x) 和 y ? G ( x) 在其公共定义域内的任意实数 x0 .,称

F ( x0 ) ? G( x0 ) 的值为两函数在 x0 处的差值。证明:当 a=0 时,函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x)
在其公共定义域内的所有差值都大干 2

-8-

-9-

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- 11 -

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