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高考六大题型初探----------三角函数

时间:2010-09-05


高考六大题型初探----------三角函数 高考六大题型初探----------三角函数 ----------

一、 考纲要求: 考纲要求:
(1)任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念。 ② 了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化。 (2)三角函数 ① 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 ② 能利用单位圆中三角函数线推导出

π

2

± α , π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公

式,能画出 y = sin x, y = cos x, y = tan x 的图象,了解三角函数的周期性。 ③ 理解正弦函数、余弦函数在区间 [0,2π ] 上的性质(如单调性、最大值和最小值 以及与 x 轴的交点等) ,理解正切函数在区间 ( ④ 理解同角三角函数的基本关系式:

π π

, ) 内的单调性。 2 2

sin 2 x + cos 2 x = 1,

sin x = tan x. cos x

⑤ 了解函数 y = A sin(ω x + ) 的物理意义;能画出 y = A sin(ω x + ) 的图象, 了解参数 A, ω , 对函数变化的影响。 ⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简 单实际问题。

知识整合: 二、 知识整合:
基本知识: 1、 基本知识:
角的概念的推广: 1、 角的概念的推广 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角, 一条射线没有 作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。要注意 把握角概念的中心词“旋转” 旋转就有两个要素:旋转量 旋转方向 中心词“ 旋转量与旋转方向 中心词 旋转” ! 旋转量 旋转方向,一个角是否确定关 键是看这两个要素确定了没有,有一个要素不确定,这个角就不是确定的角。 象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 2、象限角的概念 半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何象限。注意:象限角只给出角的终边位置,跟角的大小无关。 注意: 注意 象限角只给出角的终边位置,跟角的大小无关。 终边相同的角的表示: 3. 终边相同的角的表示 (1) α 终边与 θ 终边相同( α 的终边在 θ 终边所在射线上) α = θ + 2kπ ( k ∈ Z) ,注 注 意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. 如与角 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 (2) α 终边与 θ 终边共线( α 的终边在 θ 终边所在直线上) α = θ + kπ ( k ∈ Z) . (3) α 终边与 θ 终边关于 x 轴对称 α = θ + 2kπ ( k ∈ Z) .

(4) α 终边与 θ 终边关于 y 轴对称 α = π θ + 2kπ ( k ∈ Z) . (6) α 终边在 x 轴上的角可表示为: α = kπ , k ∈ Z ; α 终边在 y 轴上的角可表示为: (5) α 终边与 θ 终边关于原点对称 α = π + θ + 2 kπ ( k ∈ Z ) .

α = kπ +

π

2

, k ∈ Z ; α 终边在坐标轴上的角可表示为: α =

如 α 的终边与

π
6

kπ ,k ∈Z . 2

的终边关于直线 y = x 对称,则 α =____________。

的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定. 4、 α 与 α 的终边关系

2

如若 α 是第二象限角,则

α
2

是第_____象限角

2 5.弧长公式 5.弧长公式: l =| α | R ,扇形面积公式: S = 1 lR = 1 | α | R ,1 弧度(1rad) ≈ 57.3 . 弧长公式

2

2

如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 任意角的三角函数的定义:设 α 是任意一个角,P ( x, y ) 是 α 的终边上的任意一点 6、任意角的三角函数的定义 (异于原点) 它与原点的距离是 r = ,

x 2 + y 2 > 0 , 那 么 sin α =

y x , cos α = , r r

tan α =

y x r r , ( x ≠ 0 ) , cot α = ( y ≠ 0) , sec α = ( x ≠ 0 ) , csc α = ( y ≠ 0 ) 。三角函 x y x y

数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。 如(1)已知角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin α + cos α 的值为__。 (2)设 α 是第三、四象限角, sin α = (3 )若

| sin α | cos α + = 0 ,试判断 cot(sin α ) tan(cos α ) 的符号 sin α | cos α | 、余弦线 三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 7.三角函数线的特征 三角函数线的特征 OM“躺在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角 三角
函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式 如(1)若

2m 3 ,则 m 的取值范围是_______. 4m
y B P α O M A x S T

π

(2)若 α 为锐角,则 α ,sin α , tan α 的大小关系为_______ , (3)函数 y = 1 + 2 cos x + lg(2 sin x + 3 ) 的定义域是_______, 同角三角函数的基本关系式: 8. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: sin x + cos x = 1及变形式 tan x + 1 =
2 2 2

8

< θ < 0 ,则 sin θ , cos θ , tan θ 的大小关系为_____

(2)商数关系: tan α =

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三 角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩 角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时, 一般不需用同角三角函数的基本关系式, 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号, 再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。 如(1)函数 y =

sin α cos α , cot α = cos α sin α

1 cos 2 x

sin α + tan α 的值的符号为____ cos α + cot α

,

(2) 0 ≤ 2 x ≤ 2π , 若 则使 1 sin 2 x = cos 2 x 成立的 x 的取值范围是____
2

m3 4 2m π , cos θ = ( < θ < π ) ,则 tan θ =___ m+5 m+5 2 tan α sin α 3 cos α = 1 ,则 =____ ; (4)已知 tan α 1 sin α + cos α sin 2 α + sin α cos α + 2 =________ _; (5)已知 sin 200 = a ,则 tan 160 等于
(3)已知 sin θ = A、

, ,

a

符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数 符号看象限 值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k π + α , 0 ≤ α < 2π ;(2)转化为锐角三角函 数。

1 a2 1 a2 。 (6)已知 f (cos x ) = cos 3 x ,则 f (sin 30 ) 的值为______ k 9.三角函数诱导公式 三角函数诱导公式( 奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) , 9.三角函数诱导公式( π + α )的本质是:奇变偶不变 奇变偶不变 2

B、

a

C、

1 a 2 a

D、

1 a 2 ( a

) ;

9π 7π + tan( ) + sin 21π 的值为________ ; 4 6 4 ___, (2)已知 sin(540 + α ) = ,则 cos(α 270 ) = ___ 5 [sin(180 α ) + cos(α 360 )]2 若 α 为第二象限角,则 = ____ ____。 tan(180 + α )
如(1) cos
令α = β sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β sin 2α = 2 sin α cos α →
令α = β cos (α ± β ) = cos α cos β sin α sin β cos 2α = cos 2 α sin 2 α →

10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:

                        2 cos 2 α 1 = 1 2sin 2 α ↓ = tan α ± tan β 1+cos2α         cos 2 α= 1 tan α tan β 2 1 cos2α                      2 α= ↓ sin 2 2 tan α     2α = tan 1 tan 2 α   (α ± β ) = tan
如(1)下列各式中,值为 A、 15 cos 15 sin

1 的是 2



) ; ) ;

tan 22.5 1 + cos 30 D、 2 12 12 1 tan 22.5 2 (2)命题 P: tan( A + B ) = 0 ,命题 Q: tan A + tan B = 0 ,则 P 是 Q 的 (
B、 2 cos

π

sin 2

π

C、

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件; (3)已知 sin( α β )cos α cos( α β ) sin α =

3 ,那么 cos 2 β 的值为____ 5

(4 )

1 3 的值是____ sin 10 sin 80
0 0

__;

(5)已知 tan110 = a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 (5) 的结果是

a 3 ,乙求得 1 + 3a
;

1 a2 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2a

三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首 12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二 角的变换是三角函数变换的核心! 角的变换是三角函数变换的核心 看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: 基本的技巧有 基本的技巧有: 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 (1)巧变角 两角与其和差角的变换. 如 α = (α + β ) β = (α β ) + β , 2α = (α + β ) + (α β ) ,

2α = ( β + α ) ( β α ) , α + β = 2
如(1)已知 tan(α + β ) =

α +β
2



α+β
2

= α

2 π 1 π , tan( β ) = ,那么 tan(α + ) 的值是_____ ; 5 4 4 4 π β 1 α 2 (2)已知 0 < β < < α < π ,且 cos( α ) = , sin( β ) = ,求 2 2 9 2 3 cos( α + β ) 的值; 3 (3)已知 α , β 为锐角,sin α = x, cos β = y , cos(α + β ) = ,则 y 与 x 的函数关 5
系为______ (2)三角函数名互化 三角函数名互化(切割化弦), 三角函数名互化 ;

(

β
2

) (α β )
2

等) ,

如(1)求值 sin 50 (1 + 3 tan10 ) ; (2)已知

sin α cos α 2 = 1, tan(α β ) = ,求 tan( β 2α ) 的值; 1 cos 2α 3 (3)公式变形使用 tan α ± tan β = tan (α ± β )(1 tan α tan β ) 。 公式变形使用( 公式变形使用

如(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B = tan A + tan B + 1 ,则 cos( A + B ) = _____; (2)设 (2) ABC 中, tan A + tan B + 3 = 形是__ __三角形;
2

3 tan Atan B , sin Acos A =

3 ,则此三角 4

(4)三角函数次数的降升 三角函数次数的降升(降幂公式: cos α = 三角函数次数的降升
2 2

1 + cos 2α 1 cos 2α 2 , sin α = 与升幂 2 2

公式: 1 + cos 2α = 2 cos α , 1 cos 2α = 2 sin α )。 如(1)若 α ∈ ( π , π ) ,化简 (1)

1 1 1 1 + + cos 2α 为_____ ; 2 2 2 2 5 3( x ∈ R ) 的单调递增区间为_______ 函数 f ( x ) = 5 sin x cos x 5 3 cos 2 x + (2 ) 2
3 2
(5)式子结构的转化 式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 式子结构的转化 如(1)化简 tan α (cos α sin α ) +

sin α + tan α ; cot α + csc α

(2)求证:

1 + sin α 1 2sin
2

α
2

=

1 + tan 1 tan

α α
2;

= tan π = sin π = 等) , 4 2 2 2 如已知 tan α = 2 ,求 sin α + sin α cos α 3cos α . (7)正余弦“三兄妹 sin x ± cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” 三兄妹— sin , (7) 三兄妹
如(1)若 sin x ± cos x = t ,则 sin x cos x = ; (2)若 α ∈ (0, π ),sin α + cos α = 1 ,求 tan α 的值。

2 1 2 cos 4 x 2 cos 2 x + 2 :化简 (3 ) π 2 π 2 tan( x) sin ( + x) 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指 常值变换主要指“ 的变换( (6)常值变换主要指“1”的变换 1 = sin x + cos x = sec x tan x = tan x cot x

__,特别提醒 特别提醒:这里 t ∈ [ 2, 2] ; 特别提醒

2

(3)已知

sin 2α + 2 sin 2 α π π = k ( < α < ) ,试用 k 表示 sin α cos α 的值。 1 + tan α 4 2

13、辅助角公式中辅助角的确定 13、辅助角公式中辅助角的确定: a sin x + b cos x = 在的象限由 a, b 的符号确定,θ 角的值由 tan θ =

a 2 + b 2 sin ( x + θ ) (其中 θ 角所

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a 如(1)若方程 sin x 3 cos x = c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.; ___; (2)当函数 y = 2 cos x 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是___
(3)如果 f ( x ) = sin ( x + ) + 2 cos( x + ) 是奇函数,则 tan =
2



3 1 + 64 sin 2 20° = ________ ; 2 sin 20° cos 20° 14、 正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 图象的作图 14、正弦函数和余弦函数的图象 π 3π 方法:五点法:先取横坐标分别为 0, , π , , 2π 的五点,再用光滑的曲线把这五点连 2 2
(4)求值: 接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 15、 的性质: 15、正弦函数 y = sin x ( x ∈ R ) 、余弦函数 y = cos x ( x ∈ R ) 的性质 (1)定义域:都是 R。 定义域 (2)值域:都是 [ 1,1] ,对 y = sin x ,当 x = 2kπ + 值域 当 x = 2kπ +

π
2

( k ∈ Z ) 时, y 取最大值

1;

3π ( k ∈ Z ) 时, y 取最小值-1;对 y = cos x ,当 x = 2kπ ( k ∈ Z ) 时, y 取 2 最大值 1,当 x = 2kπ + π ( k ∈ Z ) 时, y 取最小值-1。
如(1)若函数 y = a b sin(3 x +

π

3 1 ) 的最大值为 ,最小值为 ,则 a = __,b = _; 6 2 2

(2)函数 f ( x ) = sin x + 3 cos x ( x ∈ [

π π

(3)若 2α + β = π ,则 y = cos β 6 sin α 的最大值和最小值分别是____ 、_____;

, ] )的值域是____ 2 2



(4)函数 f ( x ) = 2 cos x sin( x + 此时 x = ;

π
3

) 3 sin 2 x + sin x cos x 的最小值是_____,

(5)己知 sin α cos β =

1 ,求 t = sin β cos α 的变化范围; 2 2 2 2 2 (6)若 sin α + 2 sin β = 2 cos α ,求 y = sin α + sin β 的最大、最小值。特别提 特别提

醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗? 周期性: ② (3 ) 周期性 ① y = sin x 、y = cos x 的最小正周期都是 2 π ; f ( x ) = A sin(ω x + ) 和 f ( x ) = A cos(ω x + ) 的最小正周期都是 T = 如(1)若 f ( x) = sin (1)

,则 f (1) + f (2) + f (3) + + f (2003) =___ 3 4 4 (2) 函数 f ( x ) = cos x 2sin x cos x sin x 的最小正周期为___ (3) 设函数 f ( x ) = 2 sin(

πx

2π 。 |ω |
; _;

π
2

x+

π
5

) ,若对任意 x ∈ R 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x 2 ) 成立,
__;

则 | x1 x2 | 的最小值为__

( 4 ) 奇 偶 性 与 对 称 性 : 正 弦 函 数 y = sin x ( x ∈ R ) 是 奇 函 数 , 对 称 中 心 是

( kπ , 0 )( k ∈ Z ) ,对称轴是直线 x = kπ + ( k ∈ Z ) ;余弦函数 y = cos x( x ∈ R) 是偶函数,
对称中心是 kπ +

π

, 0 ( k ∈ Z ) ,对称轴是直线 x = kπ ( k ∈ Z ) (正(余)弦型函数的对称轴 2 为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。 5π ; 2 x 的奇偶性是______ 如(1)函数 y = sin 2 已知函数 f ( x ) = ax + b sin 3 x + 1( a,b 为常数)且 f ( 5 ) = 7 , f ( 5 ) = ______; , 则 (2 ) (3 ) 函数 y = 2 cos x (sin x + cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是__________、
(4)已知 f ( x ) = sin( x + θ ) + 3 cos( x + θ ) 为偶函数,求 θ 的值。 (5)单调性: 单调性



π

2

____________;

π π 上 单 调 递 增 , 在 y = sin x在 2kπ , 2kπ + ( k ∈ Z ) 2 2 π 3π 2kπ + 2 , 2kπ + 2 ( k ∈ Z ) 单调递减;y = cos x 在 [ 2kπ , 2kπ + π ] ( k ∈ Z ) 上单调递减, 在 [ 2kπ + π , 2kπ + 2π ] ( k ∈ Z ) 上单调递增。特别提醒 特别提醒,别忘了 k ∈ Z ! 特别提醒
16、 的函数: 16、形如 y = A sin(ω x + ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f = 几个物理量

1 ―频率(周期的倒数) ω x + ―相位; ―初 ; T
2 3 Y 2π 9 X -2 23题 23 题 图

相; 表达式的确定: (2 ) 函数 y = A sin(ω x + ) 表达式的确定 A 由最值确定;ω 由周期确定; 由图象上的特殊点确定,

| 如 f ( x ) = A sin(ω x + )( A > 0, ω > 0 , |<

π
2

) 的图象如图所

示,则 f ( x ) =_____ 0, , π ,



图象的画法:①“五点法”――设 X = ω x + ,令 X = (3)函数 y = A sin(ω x + ) 图象的画法

π

2

3π , 2π 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法: 2

这是作函数简图常用方法。 图象间的关系: (4)函数 y = A sin(ω x + ) + k 的图象与 y = sin x 图象间的关系 单位得 y = sin ( x + ) 的图象;

①函数 y = sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左( >0)或向右( <0)平移 | | 个 ② 函 数 y = sin ( x + ) 图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

1

y = sin (ω x + ) 的图象;

ω

,得到函数

③函数 y = sin (ω x + ) 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数

得到 y = A sin (ω x + ) + k 的图象。

y = A sin(ω x + ) 的图象; ④函数 y = A sin(ω x + ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上( k > 0 )或向下( k < 0 ) ,
要特别注意 特别注意,若由 y = sin (ω x ) 得到 y = sin (ω x + ) 的图象,则向左或向右平移应平 特别注意

移|

| 个单位, ω
如(1)函数 y = 2sin(2 x

π
4

) 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y = sin x 的图象?;

(2) 要得到函数 y = cos( 位;

x π x ) 的图象,只需把函数 y = sin 的图象向___平移____个单 2 4 2

7π ) + 1 图像, 按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称, 3 这样的向量是否唯一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量;
将函数 y = 2sin(2 x (3) (4)若函数 f ( x ) = cos x + sin x x ∈ [ 0, 2π ] 的图象与直线 y = k 有且仅有四个不同的交

(

)

点,则 k 的取值范围是 ; 性质的方法: 的性质,只需将 (5)研究函数 y = A sin(ω x + ) 性质的方法:类比于研究 y = sin x 的性质 间时, 的符号, 化正。 间时,要特别注意 A 和 ω 的符号,通过诱导公式先将 ω 化正。 如(1)函数 y = sin( 2 x + (2) y = log 1 cos(

y = A sin(ω x + ) 中的 ω x + 看成 y = sin x 中的 x ,但在求 y = A sin(ω x + ) 的单调区 求

π

x π + ) 的递减区间是_______ ; 3 4 2 π π 2π 对称,它 (3)设函数 f ( x) = A sin(ωx + )( A ≠ 0, ω > 0, < < ) 的图象关于直线 x =
2 2 3
( )

3

) 的递减区间是______



的周期是 π ,则

A、 f ( x )的图象过点(0, ) C、 f ( x )的图象的一个对称中心 是 ( 5π ,0) 12

1 2

B、 f ( x ) 在区间 [

5π 2π , ] 上是减函数 12 3

D、 f ( x ) 的最大值是 A;

(4)对于函数 f ( x ) = 2sin 2 x + 关于直线 x =



π

给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象 3

π
12

成轴对称; ③图象可由函数 y = 2sin 2 x 的图像向左平移

π
3

个单位得到; ④

个单位,即得到函数 y = 2 cos 2 x 的图像。其中正确结论是_______ ; 12 (5)已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ) 图象与直线 y = 1 的交点中,距离最近两点间的距离为 图像向左平移

π

π

17、 的图象和性质: 17、正切函数 y = tan x 的图象和性质 (1)定义域:{x | x ≠

3

,那么此函数的周期是_______



π
2

+ kπ , k ∈ Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数

一个周期 π 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响 绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加 绝对值或平方对三角函数周期性的影响 绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变 弦减半、 弦减半 切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝 对值,其周期性不变,其它不定。 如 y = sin 2 x, y = sin x 的周期都是 π , 但 y = sin x

的定义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 π ,它与直线 y = a 的两个相邻交点之间的距离是

+ cos x 的周期为
期不变;

π
2

,而 y =| 2 sin(3 x

π
6

)+

1 π |, y =| 2sin(3 x ) + 2 | , y =| tan x | 的周 2 6

kπ 特别提醒:正(余) , 0 ( k ∈ Z ) ,特别提醒 特别提醒 2 切型函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但
(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间

π π + kπ , + kπ ( k ∈ Z ) 内都是增函数。但要注 要注 2 2

意在整个定义域上不具有单调性。如下图: 意在整个定义域上不具有单调性

y = A sin(ω x + y=Asin(ωx+φ) ) y ω φ
O x

y=Atan(ωx+φ) ) ω φ y = A tan(ω x +
O

y x

x3

x4
邻中心轴相距

x3
x=x1 T
4

x4 x=x1 x=x2

x=x2
邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定 确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

由y=A或-A确定 或 确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 交点的距离为一个周期!

三角形中的有关公式: 18. 三角形中的有关公式 (1)内角和定理 内角和定理:三角形三角和为 π ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 内角和定理 能忘记!任意两角和 任意两角和 任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和 任意两半角和 锐角三角 形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方

和大于第三边的平方.

a = b = c = 2 R (R 为三角形外接圆的半径).注意 注意:①正弦定 注意 sin A sin B sin C a b 理的一些变式: ( i ) a : b : c = sin A : sin B : sin C ; ( ii ) sin A = , sin B = ,sin C 2R 2R c = ; ( iii ) a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, b = 2 R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三 2R
(2)正弦定理 正弦定理: 正弦定理 角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
2 2 2 (3)余弦定理 a = b + c 2bc cos A, cos A = b + c a 等,常选用余弦定理鉴定 余弦定理: 余弦定理 2 2 2

2bc

三角形的形状.

2 2 2 2 2 2 2 如 ABC 中,若 sin A cos B cos A sin B = sin C ,判断 ABC 的形状(答:直角
2

(4)面积公式 S = 1 aha = 1 ab sin C = 1 r ( a + b + c)(其中 r 为三角形内切圆半径) 面积公式: . 面积公式

三角形) 。 特别提醒: 特别提醒 (1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A + B + C = π 这个特殊性:

A + B = π C ,sin( A + B ) = sin C ,sin

A+ B C = cos ; (2)求解三角形中含有边角混合关 2 2

系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 如(1) ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a = 6 , b = 4 ,那么满足条 件的 ABC A、 有一个解 B、 有两个解 C、 无解 D、 不能确定 ( ) ; __条件; (2)在 ABC 中,A>B 是 sin A > sin B 成立的__ (3)在 ABC 中, ( 1 + tan A )( 1 + tan B ) = 2 ,则 log 2 sin C =___ (4)在 (4) ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若 ( a + b + c )(sin A + sin B __; __;
2 2 2

sin C ) = 3a sin B ,则 ∠C =__
(5)在 ABC 中,若其面积 S =

a +b c ,则 ∠C =___ _; 4 3 (6)在 ABC 中, A = 60 , b = 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ABC 外接圆的直
径是_____ __; 在△ABC 中, b、 是角 A、 C 的对边, = a、 c B、 a (7 )

1 B+C 3, cos A = , 则 cos 2 = 3 2




b 2 + c 2 的最大值为

; (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是

(9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ∠C = 75 ,且 AOB, BOC , COA 的面积 满足关系式 S AOB + S BOC = 3S COA ,求 ∠A . 19、求角的方法 19 求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择, 求角的方法 其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数 值) 。 如(1)若 α , β ∈ (0, π ) ,且 tan α 、 tan β 是方程 x 5 x + 6 = 0 的两根,则求 α + β
2

的值______ ; (2) ABC 中, 3sin A + 4 cos B = 6, 4sin B + 3cos A = 1 ,则 ∠C =_____ __; 求 β α 的值.

(3)若 0 ≤ α < β < γ < 2π 且 sin α + sin β + sin γ = 0 , cos α + cos β + cos γ = 0 ,

常用知识板块: 2、 常用知识板块:
(1)“1”的变换; 、 (2) 、正余弦“三兄妹— sin x ± cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” sin ; (3) 、利用形如 y = A sin(ω x + ) 的函数解决三角函数问题; (4)三角函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性) (5)三角形内角和定理。

3、 特别提醒: 特别提醒:
! (1)把握角概念的中心词“旋转” 旋转就有两个要素:旋转量与旋转方向,一个角 把握角概念的中心词“旋转” 旋转就有两个要素:旋转量与旋转方向, 是否确定关键是看这两个要素确定了没有, 有一个要素不确定, 是否确定关键是看这两个要素确定了没有, 有一个要素不确定, 这个角就不是确 定的角。 定的角。 象限角只给出角的终边位置,跟角的大小无关。 (2)象限角只给出角的终边位置,跟角的大小无关。有关概念考核的题目从这点出发 往往能很快得到答案。 往往能很快得到答案。 ( 3 ) 角 的 变 换 是 三 角 函 数 变 换 的 核 心 : 常 见 角 的 变 换 有

α = (α + β ) β = (α β ) + β ,2α = (α + β ) + (α β ) ,2α = ( β + α ) ( β α ) ,
= α α β 等; 2 2 2 求值角先行~ 这点必须时刻牢记!否则就会做无用功! (4)求值角先行~!这点必须时刻牢记!否则就会做无用功!

α + β = 2

α +β
2



α+β

(

β

)(

)

(5)注意公式的变形使用如( tan α ± tan β = tan (α ± β )(1 tan α tan β ) 注意公式的变形使用如 性质的方法: 的性质,只需将 (6)研究函数 y = A sin(ω x + ) 性质的方法:类比于研究 y = sin x 的性质

y = A sin(ω x + ) 中的 ω x + 看成 y = sin x 中的 x ,但在求 y = A sin(ω x + ) 的单 求
调区间时, 的符号, 调区间时,要特别注意 A 和 ω 的符号,通过诱导公式先将 ω 化正 (7)三角函数的有关问题的表达中别忘了 k ∈ Z ! (8) 1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A+ B + C = π 这个特殊性: (

A + B = π C ,sin( A + B ) = sin C ,sin

A+ B C = cos ; 2)求解三角形中含有边角混 (2 ( 2 2

合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 (9)正切函数在开区间

π π 内都是增函数。 + kπ , + kπ ( k ∈ Z ) 内都是增函数。但要注意在整个 2 2

定义域上不具有单调性。 定义域上不具有单调性 10)在图象变换中,无论是“先平移后伸缩” 还是“先伸缩后平移” (10)在图象变换中,无论是“先平移后伸缩” 还是“先伸缩后平移” 须记清每次 , , 变换均对“ x ”而言,尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候,也是用“x 变换均对 “ 而言,尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候,也是用 “ 问题转化的的时候 k”代替“ ,其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁?得到谁? , + k”代替“x” 其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁?得到谁?” 这个 问题不搞清楚,就不要做题。 问题不搞清楚,就不要做题。

年高考展望: 三、 2008 年高考展望:
出题角度: 性质、应用、知识交汇) 1、 出题角度:(性质、应用、知识交汇)

三角函数是高考考查的着力点, 其中三角函数的概念与性质常以选择题、 填空题的形式 出现,三角恒等变换常以解答题的形式出现,它们多是容易题或中档题,是不应失分 不应失分的题 不应失分 目.因为三角函数内容丰富、公式众多,考查形式灵活,其题目也绚丽多姿. 一、单调性问题 此类问题主要考查三角函数的增减性, 各象限中各个三角函数值的符号等. 很多情况下, 需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解. 需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解. 例 1 写出函数 y = sin x + 2 3 sin x cos x cos x 在 [ 0,π ] 上的单调递增区间.
2 4

解: y = sin x + cos x sin x cos x + 2 3 sin x cos x
2 2 2 2

(

)(

)

π = 3 sin 2 x cos 2 x = 2sin 2 x . 6
由已知可得

π π π + 2kπ ≤ 2 x ≤ + 2kπ , 2 6 2 π π 则 + kπ ≤ x ≤ + kπ , k ∈ Z . 6 3
又 x ∈ [ 0,π ] ,

所以其单调递增区间是 0, , π,π . 点 评 :① 在求 单调 区间时 ,要 注 意 给 定的 定义域 , 根据题 意取 不同 的 k 值 ;② 在求

π 3

5 6



y = A sin(ω x + ) 的 单 调 区 间 时 还 应 注 意 ω 的 正 、 负 , 同 学 们 可 以 自 己 求 一 下

π y = 2sin 2 x 的单调递减区间,并与本例所求得的区间对比一下. 6
二、图象变换问题 三角函数的图象变换是一个重点内容.解这类问题,先通过三角恒等变换将函数化为

y = A sin(ω x + ) ( A > 0,ω > 0) 的形式,然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平
移变换、伸缩变换或振幅变换得到的.特别需要注意的是:在图象变换中,无论是“先平移 而言,尤其是左右平移在由形 后伸缩” ,还是“先伸缩后平移” 须记清每次变换均对“ x ”而言 ,须记清每次变换均对 须记清每次变换均对“ 变换向数的问题转化的的时候,也是用“x + k”代替“x” ,其它做法都是多余的。尤其是 尤其是 要弄清楚“变换谁?得到谁? ,这个问题不搞清楚,就不要做题。 要弄清楚“变换谁?得到谁?” 例 2 已 知 函 数 y = sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x 1 , x ∈ R . 该 函 数 的 图 象 可 由

y = sin x , x ∈ R 的图象经过怎样的变换而得到?
2 2 解: y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x 1 = sin 2 x + 2 cos x = sin 2 x + cos 2 x + 1
2

π = 2 sin 2 x + + 1 . 将函数 y = sin x 依次作如下变换: 4

(1)把函数 y = sin x 的图象向左平移

π π ,得到函数 y = sin x + 的图象; 4 4

(2)把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) 得到函数 , 2

π y = sin 2 x + 的图象; 4
(3)把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的

2 倍(横坐标不变) 得到函数 ,

π y = 2 sin 2 x + 的图象; 4
(4)把得到的函数图象向上平移 1 个单位长度,得到函数 y =
2 2 综上得到函数 y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x 1 的图象.

π 2 sin 2 x + + 1 的图象. 4

点评:由 y = sin x 的图象变换得到 y = A sin(ω x + ) 的图象,一般先作平移变换,后作伸 点评 缩变换,即 y = sin x → y = sin( x + ) → y = sin(ω x + ) → y = A sin(ω x + ) .如果先 作伸缩变换,后作平移变换,则左(右)平移时不是

个单位,而是

个单位,即 ω

y = sin(ω x) → y = sin(ω x + ) 是左(右)平移

个单位长度. ω

三、最小正周期问题 这类问题一般要通过恒等变换,然后得出我们所熟悉的三角函数---------也就是

y = A sin(ω x + ) 形式 形式三角函数问题,从而求得其周期.最小正周期问题常与三角函数的
奇偶性、单调性、对称性及最值交汇出现.应掌握几个常用三角函数的最小正周期,会求

y = A sin(ω x + ) 的周期.
4 2 例 3 函数 y = sin x + cos x 的最小正周期为(

) .

(A)

π 4

(B)

π 2

(C) π

(D) 2π

解析:∵ y = sin 4 x + 1 sin 2 x = 1 sin 2 x(1 sin 2 x) 解析:

1 1 cos 4 x 7 cos 4 x = 1 sin 2 x cos 2 x = 1 sin 2 2 x = 1 = + , 4 8 8 8

∴T =

2π π = .故选(B) . 4 2

点评: 点评:本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的. 四、求值与证明问题 此类题是高考中出现较多的题型, 要求同学们掌握从题设条件入手、 以题目结论或要求 为目标,正确运用各类三角公式,消除角的差异,实现函数名称的转化,达到解(证)题的 目的. 深刻理解三角函数的概念, 熟练掌握各类三角公式, 熟悉三角恒等变换的常用思想方法 和变换技巧,是解决问题的关键. 例 4 已知 tan

sin 2α cos 2 α π 1 (1)求 tan α 的值; (2)求 的值. +α = . 1 + cos 2α 4 2 1 π 1 + tan α 1 +α = = ,解得 tan α = ; 3 4 1 tan α 2

(1)由题意知 tan 解:

(2)

sin 2α cos 2 α 2sin α cos α cos 2 α 2sin α cos α = = 1 + cos 2α 2 cos 2 α 2 cos α 1 1 1 5 = = . 2 3 2 6

= tan α

点评: 点评:本题在解答过程中用到了两角和的正切公式、二倍角公式及正、余弦公式的关系,熟 练掌握和灵活应用各类三角公式显得尤为重要,在此前提下,解决该类问题,必须先弄清楚 “角”在哪里?否则容易求错题目,弄清楚“角”在哪也就是“求值角先行!;另外,三角 ” 函数问题围绕“角和名”两大问题来思考,尽量寻求角之间的联系,尽量减少函数名,是解 决这类问题的基本法则。 五、最值或值域问题 这是在考试中出现频率很高的一类题型, 要求掌握基本的三角公式和正弦、 余弦等基本 三角函数的值域.解题时,常常进行降次处理,尽量将异名三角函数化为同名三角函数,将 不同的角化为相同的角.
例 5 若函数

f ( x) =

1 + cos 2 x π + sin x + a 2 sin x + 的最大值为 2 + 3 , 试确定常数 a 4 π 2 sin x 2

的值. 解: f ( x ) =

2 cos 2 x π π + sin x + a 2 sin x + = cos x + sin x + a 2 sin x + 2 cos x 4 4

π π = 2 sin x + + a 2 sin x + = 4 4

(

π 2 + a 2 sin x + . 4
2

)

因为 f ( x ) 的最大值为 2 + 3 ,所以 2 + a =

2 + 3 ,即 a 2 = 3 , a = ± 3 .

点评:本题先进行三角恒等变换,化为 y = A sin(ω x + ) 的形式,再求 a 的值.求一个复 点评

杂三角函数的最小正周期、最值、单调区间等,一般是将这个复杂的三角函数通过三角恒等 变换化简为 y = A sin(ω x + ) 的形式后再求解.另外,在求最值问题还有一类题型就是: 把所给的函数运用换元的办法转化为一元二次函数的问题来解决, 这里就不再举例。 换元的 时候要注意“引进新元要立刻根据旧元求出新元的取值范围” ,当然,还有可能把三角函数 问题跟导数简单结合,这样只能扩大知识点的覆盖,但不会增加试题的难度,要想正确解答 这类问题,必须对三角函数的求导熟悉,否则在求导这一知识环节出问题,题目也就没办法 进行了。 六、实际应用问题 这类问题主要考查利用三角函数的性质及三角恒等变换解决有关实际应用问题. 解题的 关键是利用三角函数表示出各有关元素,从而建立起函数关系. 其中 AST 是一半径为 90m 的扇形 例 6 如图,ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮, 小山, 其余部分都是平地. 一开发商在平地上建一个矩形停车场, 使矩形的一个顶点 P 在 ST 上,相邻两边 CQ , CR 落在正方形的边 BC,CD 上.求矩形停车场 PQCR 面积的最大值 与最小值. 解 : 设 ∠PAB = θ (0 ≤ θ ≤ 90 ) , 延 长 RP 交 AB 于 M , 则 AM = 90 cos θ ,

MP = 90 sin θ ,则 PQ = MB = 100 90 cos θ , PR = MR MP = 100 90 sin θ ,
∴ S矩形PQCR = PQ i PR = (100 90 cos θ )(100 90sin θ )
= 10000 9000(sin θ + cos θ ) + 8100 sin θ cos θ .

t 2 1 令 t = sin θ + cot(1 ≤ t ≤ 2) ,则 sin θ cos θ = . 2 ∴ S矩形PQCR = 10000 9000t + 8100
故当 t=

t 2 1 8100 10 = t + 950 . 2 2 9
2

10 2 时 , S矩形PQCR 有 最 小 值 950m ; 当 t = 2 时 , S矩形PQCR 有 最 大 值 9

(14050 9000 2)m 2 .
点评: 点评:本题在求面积时采用设角来表示边长,然后用三角函数来表示面积,再通过三角变换 达到求最值的目的.有些面积问题,在不好设边长时,不妨考虑设角度. 题型特点: 条件给出的变化、难度等) (条件给出的变化 2、 题型特点: 条件给出的变化、难度等) ( 在这部分考题中, 选择题, 解答题多是基本题目, 概念性比较强; 这里就不再论述; 在大题中,在条件的给出过程中,多与平面向量结合,这是近年来变化比较大的地

方, 多是利用平面向量的坐标运算以及平面向量数量积最终转化为三角函数的问题; 在 上面的分析中,我们给出了六类三角函数题型,其中估计在三角函数的应用部分 2008 年不会设置大题, 三角函数图象变换出大题的可能性也不大, 肯定要在三角函数图象和 性质的利用上做文章, 这点也是三角函数部分的重点之重点, 大家除了要对三角函数的 图象和性质非常熟练之外, 还要对三角恒等变换以及诱导公式和两角和与差的公式非常 熟悉。因此必须引起大家的高度重视。但历年来三角函数问题难度的设置上不会太多, 多是中、低档题,因此,这部分不能丢分。更不能会而不对,对而不全。 四、往年高考数学试题三角函数题例(只选了部分小题和全部大题) 往年高考数学试题三角函数题例 只选了部分小题和全部大题) 题例( : 1、 (海南、宁夏理 3)函数 y = sin 2 x



π π 在区间 ,π 的简图是( A ) 3 2

2、 (海南宁夏理 9)若

cos 2α 2 = ,则 cos α + sin α 的值为( C ) π 2 sin α 4
B.

A.

7 2

1 2

C.

1 2

D.

7 2

x π π 3、将 y = 2cos + 的图象按向量 a = , 2 平移,则平移后所得图象的解析式为 3 6 4 ( A ) B
x π y = 2 cos + 2 3 4

x π A. y = 2cos + 2 3 4 D. y = 2 cos x + π + 2 3 12




C



x π y = 2 cos 2 3 12

4、 (江苏 11)若 cos(α + β ) =

1 3 1 , cos(α β ) = ,则 tan α i tan β = ___ __. 5 5 2

5、 (江苏 15)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 △ ABC 的顶点 A( 4, 和 C (4, ,顶点 B 0) 0)

x2 y 2 sin A + sin C 5 在椭圆 + = 1 上,则 = ___ __. 25 9 sin B 4
6、 (江西理 5)若 0 < x <

π ,则下列命题中正确的是( D ) 2

A. sin x <

3 x π 4 2 x π2

B. sin x >

3 x π

C. sin x <

4 2 x π2

D. sin x >

5 ,则 sin α = ( D ) 12 1 1 5 5 A. B. C. D. 5 5 13 13 2 2 x 的一个单调增区间是( A ) 8、全国卷 1 理(12)函数 f ( x ) = cos x 2 cos 2
7、 (全国卷 1 理 1) α 是第四象限角, tan α = A. ,

π 2π 3 3

B. ,

π π 6 2

C. 0,



π 3

D. , )

π π 6 6

9、 (全国卷 2 理 2)函数 y = sin x 的一个单调增区间是( C A. ,

π π 4 4

B. ,

π 3π 4 4

C. π,



3π 2

D.

3π ,π 2 2

1O、 (山东 理 5) 函数 y = sin 2 x + ( A ) A. π , 1 B. π , 2



π π cos 2 x + 的最小正 周期和最大值分别 为 6 3

C. 2π , 1

D. 2π , 2

11、 (上海理 6)函数 y = sin x +



π π sin x + 的最小正周期 T = 2 3

π



12、 (四川理 16)下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π .②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a= ③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y = 3 sin( 2 x + ⑤函数 y = sin( x

kπ , k ∈ Z |. 2

π ) 在〔 ,π〕上是减函数 . 其中真命题的序号是 0 2

π π )的图象向右平移 得到y = 3 sin 2 x的图象. 3 6
① ④

13、 (天津理 3) θ = “

2π π ”是“ tan θ = 2 cos + θ ”的( A ) 3 2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 14、 (浙江理 2)若函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ) , x ∈ R (其中 ω > 0 , < 期是 π ,且 f (0) =

π )的最小正周 2

3 ,则(D)

A. ω =

1 π , = 2 6 π D. ω = 2, = 3

B. ω =

1 π , = 2 3

C. ω = 2, =

π 6

15 、 浙 江 理 12 ) 已 知 sin θ + cos θ = (

1 π 3π , 且 ≤θ ≤ , 则 cos 2θ 的 值 是 5 2 4



7 25



16 、 安 徽 理 16 ) 已 知 0 < α < (

π π ,β 为 f ( x) = cos 2 x + 的 最 小 正 周 期 , 4 8

1 2 cos 2 α + sin 2(α + β ) a = tan α + β , 1, b = (cos α, ,且 a ib = m .求 2) 的值. 4 cos α sin α
主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能力. 解:因为 β 为 f ( x ) = cos 2 x +



π 的最小正周期,故 β = π . 8

因 a b = m ,又 a b = cos α tan α +
由于 0 < α <



1 β 2. 4

故 cos α tan α +



1 β = m+2. 4

π ,所以 4

2 cos 2 α + sin 2(α + β ) 2 cos 2 α + sin(2α + 2 π) = cos α sin α cos α sin α
=

2 cos 2 α + sin 2α 2 cos α (cos α + sin α ) = cos α sin α cos α sin α 1 + tan α π = 2 cos α tan α + = 2(2 + m) 1 tan α 4
2

= 2 cos α

17、 (安徽) 设函数 f ( x ) = cos x 4t sin

x x cos + 4t 3 + t 2 3t + 4 ,x ∈ R , 其中 t ≤ 1 , 2 2

将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式; (II)讨论 g (t ) 在区间 ( 11) 内的单调性 , 并求极值. 本题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的 导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的 综合能力. 解 : ( I ) 有

x x f ( x) = cos 2 x 4t sin cos + 4t 3 + t 2 3t + 4 2 2

= sin 2 x 1 2t sin + 4t 2 + t 2 3t + 4 = sin 2 x 2t sin x + t 2 + 4t 3 3t + 3 = (sin x t ) 2 + 4t 3 3t + 3 .
由 于 (sin x t ) ≥ 0 , t ≤ 1 , 故 当 sin x = t 时 , f ( x ) 达 到 其 最 小 值 g (t ) , 即
2

g (t ) = 4t 3 3t + 3 . 1 (II) g ′(t ) = 12t 3 = 3(2t + 1)(2t 1), < t < 1 .
2

列表如下:

t g ′(t ) g (t )

1 1, 2



1 2

1 1 , 2 2

1 2 0
极小值 g

1 1 , 2

+


0
极大值 g


1 2


+
1 2


由此可见, g (t ) 在区间 1,



1 1 1 1 1 和 , 单调增加,在区间 , 单调减小,极小值为 2 2 2 2

1 1 g = 2 ,极大值为 g = 4 . 2 2
18、 (福建理 17)在 △ ABC 中, tan A =

1 3 , tan B = . 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. 考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力

1 3 + 解: (Ⅰ)∵ C = π ( A + B ) ,∴ tan C = tan( A + B ) = 4 5 = 1 .又∵ 0 < C < π , 1 3 1 × 4 5 3 ∴C = π . 4
(Ⅱ)∵ C =

3 π π ,∴ AB 边最大,即 AB = 17 .又∵ tan A < tan B,A,B ∈ 0, , 4 2

sin A 1 = , tan A = π ∴ 角 A 最小, BC 边为最小边.由 cos A 4 且 A ∈ 0, , 2 sin 2 A + cos 2 A = 1,

得 sin A =

17 AB BC sin A .由 = 得: BC = AB i = 2 .所以,最小边 BC = 2 . 17 sin C sin A sin C

19、 (广东理 16)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3, , B (0, , C (c, . 4) 0) 0) (1)若 c = 5 ,求 sin ∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 解析: ( 1 ) AB = (3, 4) , AC = (c 3, 4) , 若 c=5 ,
6 + 16 = 1

则 AC = (2, 4) , ∴

cos ∠A = cos < AC , AB >=

5× 2 5 5 3c + 9 + 16 < 0 25 25 解得 c > ,∴c 的取值范围是 ( , +∞ ) ; 3 3 c ≠ 0

, ∴ sin ∠ A =

2 5 ; 5

2)若∠A 为钝角,则

20、 (湖北理 16)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB i AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹

角为 θ . (I) θ 的取值范围; II) 求 ( 求函数 f (θ ) = 2sin 2

π + θ 3 cos 2θ 的最大值与最小值. 4

考查平面向量数量积的计算、 解三角形、 三角公式、 三角函数的性质, 考查推理和运算能力. 解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A B,C 的对边分别为 a,b,c , , 则由

1 π π bc sin θ = 3 , 0 ≤ bc cos θ ≤ 6 ,可得 0 ≤ cot θ ≤1 ,∴θ ∈ , . 2 4 2
2

(Ⅱ) f (θ ) = 2sin

π π + θ 3 cos 2θ = 1 cos + 2θ 3 cos 2θ 4 2

π = (1 + sin 2θ ) 3 cos 2θ = sin 2θ 3 cos 2θ + 1 = 2 sin 2θ + 1 . 3 π π 2π π π π ∵θ ∈ , , 2θ ∈ , ,∴ 2 ≤ 2sin 2θ + 1 ≤ 3 . 3 6 3 3 4 2
即当 θ =

5π π 时, f (θ ) max = 3 ;当 θ = 时, f (θ ) min = 2 . 12 4

21、 (湖南理 16)已知函数 f ( x) = cos 2 x +



1 π , g ( x) = 1 + sin 2 x . 2 12

(I)设 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) = f ( x) + g ( x) 的单调递增区间.

解: (I)由题设知 f ( x ) =

1 π [1 + cos(2 x + )] . 2 6 π = kπ , 6

因为 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 + 即 2 x0 = kπ

π (k ∈Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) = 1 + sin 2 x0 = 1 + sin( kπ ) . 2 2 6

当 k 为偶数时, g ( x0 ) = 1 + 当 k 为奇数时, g ( x0 ) = 1 + (II) h( x ) = f ( x ) + g ( x ) =

1 1 3 π sin = 1 = , 2 6 4 4 1 π 1 5 sin = 1 + = . 2 6 4 4

1 π 1 1 + cos 2 x + 6 + 1 + 2 sin 2 x 2
3 1 1 3 1 π 3 cos2x + sin 2 x + = sin 2 x + + . 2 2 2 2 2 3 2

=

1 π 3 cos 2 x + 6 + sin 2 x + 2 = 2

当 2kπ

π π π 5π π ≤ 2 x + ≤ 2kπ + ,即 kπ ≤ x ≤ kπ + ( k ∈ Z )时, 2 3 2 12 12 1 π 3 sin 2 x + + 是 增 函 数 , 故 函 数 h( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 2 3 2

函 数 h( x) =

5π π . kπ 12 ,kπ + 12 ( k ∈ Z )
22、 (江西理 18) 如图,函数 y = 2 cos(ω x + θ )( x ∈ R,≤ θ ≤ ) 的图象与 y 轴交于点 (0,3) ,且在该点 0 处切线的斜率为 2 . (1)求 θ 和 ω 的值; (2)已知点 A , ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q ( x0,y0 ) 是 PA 的中 0

π 2

y
3

π 2



P

3 π 点,当 y0 = , x0 ∈ ,π 时,求 x0 的值. 2 2
解: (1)将 x = 0 , y = 3 代入函数 y = 2 cos(ω x + θ ) 得 cos θ = 因为 0 ≤ θ ≤ 以ω = 2 ,

O

A

x

3 , 2
x =0

π π ,所以 θ = .又因为 y′ = 2ω sin(ω x + θ ) , y′ 2 6

= 2 , θ =

π ,所 6

因此 y = 2 cos 2 x +



π . 6

(2)因为点 A , , Q ( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 = 0

π 2

3 , 2

所以点 P 的坐标为 2 x0



π ,3 . 2

又因为点 P 在 y = 2 cos 2 x + 因为



5π 3 π . 的图象上,所以 cos 4 x0 = 6 2 6

π 7π 5π 19π ≤ x0 ≤ π ,所以 ≤ 4 x0 ≤ , 2 6 6 6 5π 11π 5π 13π 2π 3π 从而得 4 x0 = 或 4 x0 = .即 x0 = 或 x0 = . 6 6 6 6 3 4
23、 (全国卷 1 理 17)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,

a = 2b sin A .
(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A + sin C 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 a = 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A = 2sin B sin A ,所以 sin B = 由 △ ABC 为锐角三角形得 B =

1 , 2

π . 6

(Ⅱ) cos A + sin C = cos A + sin π



π A 6

1 3 π π sin A = 3 sin A + . = cos A + sin + A = cos A + cos A + 2 2 3 6


△ ABC

















π π π π B= = . 2 2 6 3
所以

2π π π < A+ < , 3 3 6

π π A> B 2 2



1 π 3 3 π 3 sin A + < .由此有 < 3 sin A + < × 3, 2 3 2 2 3 2

所以, cos A + sin C 的取值范围为

3 3 2 ,. 2
π ,边 BC = 2 3 .设内角 B = x ,周 3

24、 (全国卷 2 理 17)在 △ ABC 中,已知内角 A = 长为 y .

(1)求函数 y = f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) △ ABC 的内角和 A + B + C = π ,由 A =

π 2π . ,B > 0,C > 0 得 0 < B < 3 3

















AC =

2 3 BC sin B = sin x = 4sin x π sin A sin 3



AB =

BC 2π sin C = 4 sin x. sin A 3 2π 2π x + 2 30 < x < , 3 3

因为 y = AB + BC + AC ,所以 y = 4sin x + 4 sin



2







1 3 cos x + sin x + 2 3 y = 4 sin x + 2 2

π π 5π π = 4 3 sin x + + 2 3 < x + < , 6 6 6 6
所以,当 x +

π π π = ,即 x = 时, y 取得最大值 6 3 . 6 2 3

cos 1) 25、 (陕西理 17)设函数 f ( x ) = a b ,其中向量 a = (m, 2 x) , b = (1 + sin 2 x, , x ∈ R ,
且 y = f ( x ) 的图象经过点 , . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值 此时 x 值的集合. 解: (Ⅰ) f ( x ) = a ib = m(1 + sin 2 x ) + cos 2 x ,

π 4



(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及

由已知 f

π π π = m 1 + sin + cos = 2 ,得 m = 1 . 2 2 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) = 1 + sin 2 x + cos 2 x = 1 + 2 sin 2 x +



π , 4

π ∴ 当 sin 2 x + = 1 时, f ( x) 的最小值为 1 2 , 4

3π π ∴ 由 sin 2 x + = 1 ,得 x 值的集合为 x x = kπ ,k ∈ Z . 8 4
26、已知 cos α =

π 1 13 , cos(α β) = , 且0 < β < α < ,(Ⅰ)求 tan 2α 的值. 2 7 14

(Ⅱ)求 β .

本题考察三角恒等变形的主要基本公式、 三角函数值的符号, 已知三角函数值求角以及计算 能力。 解: (Ⅰ)由 cos α =
2 1 π , 0 < α < ,得 sin α = 1 cos 2 α = 1 1 = 4 3 7 2 7 7

∴ tan α =

sin α 4 3 7 = × = 4 3 ,于是 tan 2α = 2 tan α = 2 × 4 3 2 = 8 3 cos α 7 1 1 tan 2 α 1 4 3 47

(

)

(Ⅱ)由 0 < α < β < 又 ∵

π
2

,得 0 < α β < , ∴

π
2
2

cos (α β ) =

13 14

3 3 13 sin (α β ) = 1 cos 2 (α β ) = 1 = 14 14



β = α (α β ) 得:
cos β = cos α (α β ) = cos α cos (α β ) + sin α sin (α β ) =
所以 β =

1 13 4 3 3 3 1 × + × = 7 14 7 14 2

π
3

27、 (天津理 17)已知函数 f ( x ) = 2 cos x (sin x cos x ) + 1 x ∈ R . ,

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 , 上的最小值和最大值. 8 4 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数

π 3π

y = A sin(ω x + ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.
(Ⅰ)解: f ( x ) = 2 cos x (sin x cos x ) + 1 = sin 2 x cos 2 x = 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ) 解法一: 因为 f ( x ) =

π 2 sin 2 x . 4

π π 3π 3π 3π 在区间 , 2 sin 2 x 在区间 , 上为增函数, 4 8 8 8 4 3π = 2 ,f 8 π 3π 3π π = 2 sin = 2 cos = 1 , 4 4 2 4

上为减函数, f 又

π = 0 ,f 8 π 3π

故函数 f ( x ) 在区间 , 上的最大值为 2 ,最小值为 1 . 8 4

解法二:作函数 f ( x ) =

π π 9π 2 sin 2 x 在长度为一个周期的区间 , 上的图象如下: 4 8 4

由 图 象 得 函 数 f ( x) 在 区 间 , 上 的 最 大 值 为 8 4

π 3π

2 , 最 小 值 为

BC AC 3π = . f = 1 . sin A sin B 4
2 28、 (重庆理 17)设 f ( x ) = 6 cos x 3 sin 2 x .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 α 满足 f (α ) = 3 2 3 ,求 tan α 的 值. 解

4 5

f ( x) = 6

1 + cos 2 x 3 sin 2 x 2

= 3cos 2 x 3 sin 2 x + 3

3 1 = 2 3 cos 2 x sin 2 x + 3 2 2 2π π = π. = 2 3 cos 2 x + + 3 . 故 f ( x) 的最大值为 2 3 + 3 ;最小正周期 T = 2 6
(Ⅱ)由 f (α ) = 3 2 3 得 2 3 cos 2α + 又由 0 < α <



π π + 3 = 3 2 3 ,故 cos 2α + = 1 . 6 6

π π π π π 5 得 < 2α + < π + ,故 2α + = π ,解得 α = π. 2 6 6 6 6 12 4 π 从而 tan α = tan = 3 . 5 3

π 1 + 2 cos 2 x 4 29、 (重庆文 18)已知函数 f ( x ) = . π sin x + 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若角 α 在第一象限且 cos α = 解: (Ⅰ) 由 sin x +

3 ,求 f (α ) . 5



π π π ≠ 0 得 x ≠ + kπ ,即 x ≠ kπ (k ∈ Z) . 2 2 2 π 2

故 f ( x ) 的定义域为 x ∈ R | x ≠ kπ ,k ∈ Z .
2





4 3 ( Ⅱ ) 由 已 知 条 件 得 sin α = 1 cos α = 1 = 5 5
2

. 从 而

π 1 + 2 cos 2α 4 f (α ) = π sin α + 2 π π 1 + 2 cos 2α cos + sin 2α sin 2 4 4 1 + cos 2α + sin 2α 2 cos α + 2 sin α cos α = = = cos α cos α cos α = 2(cos α + sin α ) = 14 . 5

五、解题方法及解题规范总结: 在三角函数部分,解决问题的首要思路是:先弄清角的范围(函数的定义域)-----角 先行! ,然后寻求角的联系、函数名的特点及联系。有关图象与性质的的应用则主要有三条 解答途径:一是化为 y = A sin(ω x + ) 形式进而利用三角函数的有关性质进行解答,尤其 是有关“周期、单调性、对称轴、对称中心”等问题,通常都要按照这个思路进行解答,最 值、 值域等问题也常常利用这种方法进行解答; 二是利用换元法转化为二次函数问题以求函 数的值域与最值问题, 再有就是利用导数来解决有关最值问题。 不管利用什么方法, “两 围绕 个统一”------角与名的统一,是总的指导思想。 解答三角函数问题的几个规范: 一、解答过程中必须正确、清楚体现角的范围的变化; 二、注意 k 的限定; 三、要根据需要把图作得尽量精确。 (例如方程 lg x = sin x 根的个数的判断,则需要把图作 得相对准确,不能只反应图象的变化趋势,否则结论就很容易出错)


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