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湖南省2017年普通高等学校对口招生考试数学试卷

时间:2017-06-15

湖南省 2017 年普通高等学校对口招生考试

数学试题(附答案)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量 120 分钟.满分 120 分
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分.每小题只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合 A ? ?1,2,?, B ? ?2,3,4?,则 A ? B 等于

【答案】D

A. ?2?

B. ?2,3,4?

C. ?1,3,4?

D. ?1,2,3,4?

2.已知

a

?

2?3 ,

b

?

1
22



c

?

(

1)2

,则

a, b, c

的大小关系为

2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b C. b ? a ? c

【答案】B
D. c ? b ? a

3.已知 cos? ? 1 ,? ? ?0,? ? ,则 sin ? ?
2

【答案】A

A. 3 2

B. ? 3 2

C. 1 2

D. ? 1 2

4.已知两条直线 y ? ax ? 2和y ? (a ? 2)x ?1互相垂直,则 a ?

【答案】D

A.2

B. 1

C.0

5.下列函数中,在区间 ?0,??? 上单调递增的是

D. ?1

【答案】C

A. y ? sin x

B. y ? 1 x

C. y ? x 2

D. y ? log 1 x
3

6.已知函数 f (x) 的定义域为 R,则“ f (x) 为偶函数” 是“ f (?1) ? f (1) ”的【答案】C

A. 充分必要条件 C. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7.不等式 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的解集是
A.?x x ? 2? B.?x x ? 3? C.?x x ? 2或x ? 3?

【答案】D
D.?x 2 ? x ? 3?

8.设 l、m 是两条不同的直线,? 是平面,则下列命题正确的是

【答案】B

A.若 l ? m, m ? ? ,则 l ? ?

B.若 l ? ? , m // l ,则 m ? ?

C.若 l //?, m ? ? ,则 m // l

D.若 l //? , m //? ,则 m // l

9. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数中取 2 个不同的数,使其和为偶数,则不同的取法共有

1

A. 72 种 B. 36 种 C. 32 种 D. 16 种

【答案】D

10.在三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=1 ,则该三棱锥的

体积为

【答案】A

A. 1 6

B. 1 3

C. 1 2

D.1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

11、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的 10 名运动员的成绩如下表所示:

成绩/m

1.50

1.60

1.65

1.70

人数

2

2

4

2

则这些运动员成绩的平均数是__________(m).

【答案】1.62

12.若直线 k x? y ? 6 ? 0 经过圆(x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心,则 k ? ______.

13.函数 f ?x? ? 1 ? 2 cos x 的最小值为



【答案】 ? 4 【答案】 ?1

? ? 14.若关于 x 的不等式 2x ? b ? 3 的解集为 x ? 3 ? x ? 0 ,则 b ?

.【答案】3

15.若双曲线 x2 a2

? y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 上存在四点 A,B,C,D,使四边形 ABCD 为正方

形,则此双曲线的离心率的取值范围为

? ? .【答案】 2,? ?

三、解答题(本大题共 7 小题,其中第 21,22 题为选做题.满分 60 分.解答题应写出文
字说明、证明过程或演算步骤)

16. (本小题满分 10 分)

已知函数 f ?x? ? 2log a (x ? 5) ?1(a ? 0,且a ? 1), f (?1) ? 1.

(I)求 a 的值,并写出 f ?x? 的定义域;(II)当 x ??? 4,11?时,求 f ?x? 的取值范围. 解:(I)依题意,有: f ??1? ? 2log a (?1? 5) ?1 ? 1,解得: a ? 4,
由 x ? 5 ? 0得x ? ?5
∴ a ? 4, f ?x? 的定义域为(? 5,? ?) (II)由(1)得: f ?x? ? 2 log 4 (x ? 5) ?1∵4>1,∴ f ?x? ? 2 log 4 (x ? 5) ?1为增函数,
2

而 f (?4) ? 2log 41?1 ? ?1, f (11) ? 2log 416 ?1 ? 4 ?1 ? 3
∴当 x ??? 4,11?时, f ?x? 的取值范围为??1,3?.
17. (本小题满分 10 分) 某射击运动员射击 3 次,每次射击击中目标的概率为 2 ,求:
3 (I)3 次射击都击中目标的概率; (II)击中次数? 的分布列.

解:(I) P(3)

?( 2)3 ? 3

8 27

(II)随机变量 ? 的分布列为:

?0 1 2 3 1 24 8
P 27 9 9 27

18. (本小题满分 10 分)
已知数列 ?an ?为等差数列,若 a1 ? 1, a3 ? a2 ? a1 ,求: (I)求数列 ?an ?的通项公式;

(II)设 bn

?

an

? (1 )an 2

,求数列?bn ?的前 n 项和Sn .

解:(I)设数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d ,依题意,有:

? ??a1

?

2d

a1 ?

?1 a1 ?

d

?

a1

?

? ??d

?

a1 1,

?

1,

∴数列 ?an ?的通项公式为 an ? n ;

∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? n

(II) bn

?

an

? (1 )an 2

= n ?(1)n 2

∴ Sn

?

n(n ?1) 2

?

1 2

? ?1 ?

??

1

?? ? 2

1? 1

n
?? ?

? ? ??

?

1(n 2 2

?

n

?

2)?

?? ?

1 2

??n ?

2

19. (本小题满分 10 分)

?

?

已知向量 a ? (1, m) ,向量 b ? (2,3)

3

(I)若

a?

//

? b

,求

m

的值;

(II)若

a?

?

? b

,求(3a?)

?

? (b

?

3a?)

的值.

解:(1)由

? a

//

? b

得:

2m

?

3,? m

?

3

2

(2)由

? a

?

? b



3m

?

2

?

0

?m ? ?2

3

?(3a?) ? (3 1,? 2)=(3,? 2) 3

? (b

?

? 3a)

?(2,3)?(3,?

2)?(?1,5)

?(3a? )

?

? (b

?

? 3a)

?

3?(?1)?(?

2)? 5

?

?13

20. (本小题满分 10 分)

已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点为 F ?2,0?.

(I)求抛物线 C 的方程;
(II)过点 M(1,2)的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程.

解:(I)∵抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点为 F ?2,0?,∴ p ? 2 ,解得 p ? 4 ,
2

故抛物线 C 的方程为: y 2 ? 8x ;

(2)设 A(x1,y1) 、 B(x2,y2 ) ,则依题意有 x1 ? x2 ? 2,y1 ? y2 ? 4

易知若直线 l 的斜率不存在,则直线方程为 x ? 1,此时 y1 ? y2 ? 0 ? 4 ,不合题意,



?? ? ??

y12 y22

? ?

8x1 8x2

得:

y12

?

y22

? 8(x1

?

x2 )

即 y1 ? y2 ? 8 x1 ? x2 y1 ? y2

∴ kl

? kAB

?

y1 ? y2 x1 ? x2

?

8 y1 ? y2

?

8 4

?2

? 直线 l 的方程为 2x ? y ? 0

注意:第 21 题,22 题为选做题,请考生选择其中一题作答. 21.(本小题满分 10 分)
已知 a,b, c ,分别为△ ABC内角 A,B,C 的对边,已知 c2 ? 2ab ,
4

(I)若 C ? 90? ,且 a ? 1,求 ?ABC的面积; (II)若 sin A ? sin C ,求 cosC 的值 解:(I)由 C ? 90? ,且 a ? 1,则 a2 ? b2 ? c2 ,又 c2 ? 2ab

? b2 ? 2b ?1 ? 0 ,解得 b ?1

? S?ABC

?

1 2

ab

?

1 2

(II)由正弦定理 a ? c ? sin A ? a , sin A sin C sin C c

又 sin A ? sin C , ∴ a ? c ,

又 c2 ? 2ab

∴ a ? c ? 2b

由余弦定理得:cosC ? a2 ? b2 ? c2 ? b2 ? 1

2ab

2ab 4

22.某公司有 40 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对乙项

目投资的 1 倍,且对每个项目的投资都不能低于 5 万元。对项目甲每投资 1 万元可获得 0.2 3
万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.3 万元的利润。问:该公司如何规划投资,才能 使公司获得的总利润最大?

[解] 设投入甲、乙项目分别为 x 万元,y 万元,公
司 获利为 Z 万元,则 z ? 0.2x ? 0.3y

?x ? y ? 40

由题意得:

? ??x ?

?

1 3

y

?x ? 5 ? ?? y ? 5

作出可行域如图四边形 ABCD 所示
作直线 l0 : 2x ? 3y ? 0 并平移,由图象得,当直线经过 A 点时 Z 能取得最大值,

?x ? y ? 40



? ???x

?

1 3

y

?x ? 10

解得

? ?

y

?

30

即 A(10,30)

所以当 x ? 10, y ? 30时,Zmax ? 0.2 ?10 ? 0.3? 30 ? 1(1 万元)

5


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