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湖南省2017年普通高等学校对口招生考试数学试卷

时间:2017-06-15


湖南省 2017 年普通高等学校对口招生考试 数学试题(附答案)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量 120 分钟.满分 120 分

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分.每小题只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A ? A.

?1,2,? , B ? ?2, 3,4?,则 A ? B 等于
B.

【答案】D D.

?2?
?3

?2, 3,4?

C.

?1,3,4?

?1,2,3,4?
【答案】B

2.已知 a ? 2 , b ? 2 , c A. a ? b ? c 3.已知 cos? B.

1 2

1 ? ( ) 2 ,则 a, b, c 的大小关系为 2
a?c?b
C. b ? a ? c D.

c?b?a
【答案】A

1 ? ,? ? ?0, ? ? ,则 sin ? ? 2
B.

A.

3 2

?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2
【答案】D

4.已知两条直线 y ? ax ? 2和y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a ? A.2 5.下列函数中,在区间 A. y ? sin x B. 1 C.0 D. ? 1

?0,??? 上单调递增的是
B.

【答案】C

y?

1 x

C.

y ? x2

D.

y ? log 1 x
3

6.已知函数

f ( x) 的定义域为 R,则“ f ( x) 为偶函数” 是“ f (?1) ? f (1) ”的【答案】C
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D C.

A. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 7.不等式 x A.
2

? 5x ? 6 ? 0 的解集是
B.

?x x ? 2?

?x x ? 3?

?x x ? 2或x ? 3?

D.

?x 2 ? x ? 3?
【答案】B

8.设 l、 m 是两条不同的直线, ? 是平面,则下列命题正确的是 A.若 l

? m, m ? ? ,则 l ? ?

B.若 l

? ? , m // l ,则 m ? ?

C.若 l // ? , m ? ? ,则 m // l

D.若 l // ? , m // ? ,则 m // l

9. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数中取 2 个不同的数,使其和为偶数,则不同的取法共有
1

A. 72 种

B. 36 种

C. 32 种

D. 16 种

【答案】D

10.在三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=1 ,则该三棱锥的 体积为 A. 【答案】A

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的 10 名运动员的成绩如下表所示: 成绩/m 人数 1.50 2 1.60 2 1.65 4 【答案】1.62 1.70 2

则这些运动员成绩的平均数是__________(m) . 12.若直线 kx ? y ? 6 ? 0 经过圆 (x ?1)
2

? ( y ? 2) 2 ? 4 的圆心,则 k ? ______.
【答案】 ? 4

13.函数

f ?x? ? 1 ? 2 cos x 的最小值为



【答案】 ? 1 . 【答案】3

14.若关于 x 的不等式

2x ? b ? 3 的解集为 ?x ? 3 ? x ? 0?,则 b ?

x2 y2 15.若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上存在四点 A,B,C,D,使四边形 ABCD 为正方 a b
形,则此双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】

?

2, ??

?

三、解答题(本大题共 7 小题,其中第 21,22 题为选做题.满分 60 分.解答题应写出文
字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分) 已知函数

f ?x? ? 2 loga ( x ? 5) ?1(a ? 0, 且a ? 1), f (?1) ? 1 .

(I)求 a 的值,并写出 f ?x ? 的定义域; (II)当 x ? 解: (I)依题意,有:

?? 4,11?时,求 f ?x ? 的取值范围.

f ?? 1? ? 2 loga (?1 ? 5) ? 1 ? 1,解得: a ? 4 ,
由 x ? 5 ? 0得x ? ?5

( ? 5, ? ?) ∴ a ? 4 , f ?x ? 的定义域为
(II) 由 (1) 得: f

?x? ? 2 log 4 ( x ? 5) ?1∵4>1,∴ f ?x? ? 2 log 4 ( x ? 5) ?1为增函数,
2



f (?4) ? 2log 41 ? 1 ? ?1, f (11) ? 2log 416 ? 1 ? 4 ? 1 ? 3

∴当 x ?

?? 4,11?时, f ?x ? 的取值范围为 ?? 1,3?.
2 ,求: 3

17. (本小题满分 10 分) 某射击运动员射击 3 次,每次射击击中目标的概率为 (I)3 次射击都击中目标的概率;
解: (I) P(3)

(II)击中次数 ? 的分布列.

2 3 8 ? ( ) ? 3 27

?
P

(II)随机变量 ? 的分布列为:

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

18. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? 1, a3 ? a2 ? a1 ,求: (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ? a n ? ( ) n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn .
a

1 2

解: (I)设数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,依题意,有:

a1 ? 1 a1 ? 1, ? ? ?? ? ?d ? 1, ?a1 ? 2d ? a1 ? d ? a1
∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ;
n ( ) (II) bn ? a n ? ( ) n = n ? a

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n

1 2

1 2
n

∴ Sn ?

n(n ? 1) ? 2

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ? 2? 1? 1 2

? ? n ? ?1? ??1 2 (n ? n ? 2) ?? ? 2 ?2?

19. (本小题满分 10 分)
已知向量 a

?

? ? (1, m) ,向量 b ? (2,3)
3

(I)若 a // b ,求 m 的值;

?

?

(II)若 a ? b ,求 (3a) ? (b ? 3a) 的值.

?

?

?

?

?

解: (1)由 a // b 得: 2m ? 3 ,? m ?

?

?

3 2 2 3

(2)由 a ? b 得 3m ? 2 ? 0

?

?

?m ? ?

? ? ? 2 (3, ? 2) = 3 1, ? ) ?(3a ) ? ( (b ? 3a) ? (2,3) ? (3, ? 2) ? (?1,5) 3 ? ? ? ? (3a) ? (b ? 3a) ? 3? (?1 ) ? (? 2) ? 5 ? ?13
20. (本小题满分 10 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点为 F (I)求抛物线 C 的方程; (II)过点 M(1,2)的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程. 解: (I)∵抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点为 F 故抛物线 C 的方程为: y
2

?2,0?.

?2,0?,∴ p ? 2 ,解得 p ? 4 ,
2

? 8x ;
? 2,y1 ? y2 ? 4 y2 ? 0 ? 4 ,不合题意,

(2)设 A(x1,y1 ) 、 B(x2,y2 ) ,则依题意有 x1 ? x2

易知若直线 l 的斜率不存在,则直线方程为 x ? 1 ,此时 y1 ? 由?
2 ? ? y1 ? 8 x1 2 2 得: y1 ? y2 ? 8( x1 ? x2 ) 2 ? ? y 2 ? 8 x2



y1 ? y2 8 ? x1 ? x2 y1 ? y2

∴ kl ? k AB ?
?

y1 ? y2 8 8 ? ? ?2 x1 ? x2 y1 ? y2 4
y?0

直线 l 的方程为 2 x ?

注意:第 21 题,22 题为选做题,请考生选择其中一题作答. 21. (本小题满分 10 分) 已知 a, b, c ,分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边,已知 c
2

? 2ab ,
4

(I)若 C ? 90? ,且 a ? 1 ,求 ?ABC 的面积; (II)若 sin A ? sin C ,求 cos C 的值
解: (I)由 C

? 90? ,且 a ? 1 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ,又 c 2 ? 2ab

? b 2 ? 2b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 1
1 1 ? S?ABC ? ab ? 2 2
(II)由正弦定理

a c sin A a ? ? ? , sin A sin C sin C c
∴a ?c, ∴ a ? c ? 2b
2

又 sin A ? sin C ,
又c

? 2ab

由余弦定理得: cos C ?

a2 ? b2 ? c2 b2 1 ? ? 2ab 2ab 4

22.某公司有 40 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对乙项 目投资的

1 倍,且对每个项目的投资都不能低于 5 万元。对项目甲每投资 1 万元可获得 0.2 3

万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.3 万元的利润。问:该公司如何规划投资,才能 使公司获得的总利润最大? [解] 设投入甲、乙项目分别为 x 万元,y 万元,公 司 获利为 Z 万元,则 z

? 0.2 x ? 0.3 y

? x ? y ? 40 ? 1 ? ?x ? y 由题意得: ? 3 ?x ? 5 ? ? ?y ? 5
作出可行域如图四边形 ABCD 所示 作直线 l 0 : 2 x ? 3 y ? 0 并平移,由图象得,当直线经过 A 点时 Z 能取得最大值,

? x ? y ? 40 ? 由? 1 x? y ? 3 ?

解得 ?

? x ? 10 ? y ? 30

即 A(10,30)

所以当 x ? 10, y ? 30时,Zmax

? 0.2 ?10 ? 0.3 ? 30 ? 11 (万元)

5


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