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专题7-4 基本不等式及其应用练-2018年高考数学一轮复习讲练测江苏版 含解析 精品

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一、填空题 1.下列不等式: 2 1? ①lg? ?x +4?>lg x(x>0); 1 ②sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z); sin x ③x2+1≥2|x|(x∈R); ④ 1 <1(x∈R). x2+1 其中一定成立的是________(填序号). 【答案】③ 2.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是________. 【答案】(-∞,-2] 1 + + + - 【解析】2 2x y≤2x+2y=1,所以 2x y≤ ,即 2x y≤2 2,所以 x+y≤-2. 4 b ? 4a? 1+ ? · 3.(2017· 镇江期末)若 a,b 都是正数,则? ? a? ?1+ b ?的最小值为________. 【答案】9 b?? 4a? b 4a 【解析】∵a,b 都是正数,∴? ?1+a??1+ b ?=5+a+ b ≥5+2 b 4a · =9,当且仅当 b=2a>0 时取等号. a b 1 2 4.(2015· 湖南卷改编)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为________. a b 【答案】2 2 1 2 【解析】依题意知 a>0,b>0,则 + ≥2 a b 2 2 2 1 2 = ,当且仅当 = ,即 b=2a 时,“=”成立.因为 ab a b ab 1 2 2 2 + = ab,所以 ab≥ ,即 ab≥2 2,所以 ab 的最小值 为 2 2. a b ab 5.(2017· 苏、锡、常、镇四市调 研)若实数 x,y 满足 xy>0,则 【答案】4-2 2 x 2y + 的最大值为________. x+y x+2y 6.若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是______ __. 【答案】2 【解析】由 x>0,y>0,得 4x2+9y2+3xy≥2· (2x)· (3y)+3xy(当且 仅当 2x=3y 时等号成立),∴12xy+ 3xy≤30,即 xy≤2,∴xy 的最大值为 2. 1 1 7.(2017· 苏州调研)已知实数 m,n 满足 m· n>0,m+n=-1,则 + 的最大值为______ __. m n 【答案】-4 【解析】∵m· n>0,m+n=-1,∴m<0,n<0, 1 1? n m 1 1 + =- ?2+ + ?≤-2-2 ∴ + = -(m+n)? m n m n? ? ? ? m n 大值-4. x 8.若对 于任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. x +3x+1 1 ? 【答案】? ?5,+∞? x 【解析】 2 = x +3x+1 1 1 3+x+ x , n m 1 1 1 · =-4,当且仅当 m=n=- 时, + 取得最 m n 2 m n 1 因为 x>0,所以 x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号), x 则 1 1 ≤ = , 1 3+2 5 3+x+ x x 1 1 的最大值为 ,故 a≥ . 5 5 x +3x+1 2 1 即 二、解答题 9.已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20. (1)求 u=lg x+lg y 的最大值; 1 1 (2) 求 + 的最小值. x y 10.(2017· 苏北四市联考)如图,墙上有一壁画,最高点 A 离地面 4 米,最低点 B 离地面 2 米,观察者从 距离墙 x(x>1)米,离地面高 a(1≤a≤2)米的 C 处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ. (1)若 a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角 θ 最大? 1 (2)若 tan θ= ,当 a 变化时,求 x 的取值范围. 2 解 (1)当 a=1.5 时,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为点 D, 则 BD=0.5,且 θ=∠ACD-∠BCD, 由已知知观察者离墙 x 米,且 x>1, 【能力提升】 xy 2 1 2 11.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值 时, + - 的 最大值为________. z x y z 【答案】1 【解析】由已知得 z=x2-3xy+4y2,(*) xy xy 1 2 1 则 = 2 = ≤1,当且仅当 x=2y 时取等号,把 x=2y 代入(*)式,得 z=2y2,所以 + z x -3xy+4y2 x 4y x y + -3 y x 1 ?2 2 1 1 1 - = + - 2=-? ?y-1? +1≤1. z y y y 3x-y-2≤0, ? ?x-y≥0, 12.(2017· 衡水中学调研)设 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 1 1 最大值为 1,则 2+ 2的最小值为________. a 4b 【答案】8 若目标函数 z=ax+2by(a>0,b>0)的 2ab 13.(2017· 盐城中学月考)a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 的最大值为________. |a|+2|b| 【答案】 2 4 2 a= , ? 2 1 2ab 2ab 2 【解析】 依题意, a =1-4b , 故 a +4b =1≥4ab, 故 ab≤ , ≤ ≤ , 当且仅当 ? 4 |a|+2|b| 2 2ab 4 2 ?b= 4 2 2 2 2 ?a=- 22, 或? 2 ?b=- 4 时,等号成立. 14.(2017· 南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为 1 百米的正方形田地 ABCD 来养蜂、产 蜜与售蜜,他在正方形的边 BC,CD 上分别取点 E,F(不与正方形的顶点重合),连接 AE,EF,FA,使 得∠EAF=45° .现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区,△AEF 部分规划 为蜂巢区,△CEF 部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为 2×105 元/百米 2,蜂巢区与蜂 蜜交易区的投入约为 105 元/百米 2,则这三个区域的总投入最少需要多少元?

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