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2.1.2

时间:2012-12-06


温故知新
判断下列命题对错: 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这 条直线上的所有点都在这个平面内。( ? ) 2.将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课 桌所在平面只有一个公共点。 ( ?) 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上,那么 这四个点必在同一个平面内。 ( ?) 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。( ? ) 5.如果一条直线和另两条直线都相交,那么这三 条直线可以确定一个平面。 ( ?)

观察实例
复习:平面内两条直线的位置关系

相交直线
平行直线

a o b
平行直线 (无公共点)

a b

相交直线 (有一个公共点)

立交桥

既不平行,又不相交

六角螺母 D C A B

1.异面直线的定义

不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面

相交

只有一个 没有

共面 共面

平行
异面

没有

不共面

2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现

b a
(1)

它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.

A ?

如图:

a

?
b
?
(3)

a

?

b
(2)

思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b
a

a

M

b
?

a

b
?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线

不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线

(1)在如图所示的正方体中,指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线?
D1 A1 B1 C1

D A

C

B

⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点,那么MN与AB所在的直线相交吗?
D1
A1

M
B1

C1
N

D A
B

C

探究:

C G

A D B H E

A G (C)

D F(B)

H E
F

AB,CD,EF,GH这四条线段所在的 直线是异面直线的有几对? 相交直线有几对? 平行直线有几对?

我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是 否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系?

b c d e a

a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …

公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平 行. ———平行线的传递性 推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行 .

空间四边形: 如图,顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A

相对顶点A与C,B与D的 连线AC、BD叫做这个空 间四边形的对角线.

B
C

D

例1 如图,空间四边行ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边 A 形EFGH是平行四边形.
证明: 连结BD

∵ EH是△ABD的中位线 1 E ∴EH ∥BD且EH = 2 BD D 1 同理,FG ∥BD且FG = BD 2 G ∴EH ∥FG且EH =FG C F ∴EFGH是一个平行四边形 B 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。 变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形 EFGH是什么图形?

H

等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补.
D
A B

E

C

A1

D1 E1 C1

B1

推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同,那么这两个角相等.

4.两条异面直线所成的角
在空间中任选一点O, 如图所示,a,b是两条异面直线, 任选
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成

的锐角θ (或直角), 称为异面直线a,b所成的角. 平 b′ b 移 θ a′ ? O P O a a′ 若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.

强调:1)范围 ? ? ( 0 , 90 ]
0

2)与O的位置无关 ;

3)为了方便点O选取应有利于解决问题
可取特殊点(如a 或 b上);

4)找两条异面直线所成的角,要作平行
移动(平行线),把两条异面直线所成的角,转

化为两条相交直线所成的角.

典例剖析
例2 如图表示一个正方体: (1)求直线BA1与CC1的夹角的度数. (2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直?

D1 A1 D B1

C1

C
B

A

求异面直线所成的角步骤是: 一作(找):作(或找)平行线

二证:证明所作的角为所求的异
面直线所成的角。

三求:在一恰当的三角形中求角

小结:
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理: 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线的求法: 一作(找)、二证、三求解

空间中直线的位置关系
【例 1】 (2011嘉兴高一检测) 如图, 三棱柱 AB C A 1B 1C 1中, 底面三角 形 A 1B 1C 1是正三角形, 是 B C 的中点, E 则下列叙述正确的是( ( ) C 1与 B 1E 是异面直线 A C ( ) 1C 与 AE 共面 BC ( ) , 1C 1是异面直线 C AE B ( ) 与 B 1C 1所成的角为 60° D AE )

(1)如何判定两直线共面?(可以用观察法、延长线段等平 面几何方法, 也可以用公理 4判断平行) (2)如何判定两直线异面?(①定义法: 由定义判断两直线 不可能在同一平面内; ②排除法( 反证法): 排除两直线共 面( 平行或相交)的情况)

变式训练 1 1: a和 b是异面直线, c是异面直线, a 若 b和 则 和 c的位置关系是( ( ) A a∥c () C a和 c相交 ) () B a和 c异面 ( ) D a和 c平行、相交或异面

解析: 如图, 在长方体 AB C D A' ' D ' 令 A' ' B C' 中, D 所在直线为 a, 所在直线为 b, AB 由题意, b是异面直线, c是异面直线. a和 b和 若令 B' ' C 所在直线为 c, a和 c平行. 则 若令 C ' 所在直线为 c, C 则 a和 c异面. 若令 D ' 所在直线为 c, a和 c相交. D 则 故选 D .

公理 4及等角定理的应用
【例 2】 在正方体 AB C D A 1B 1C 1D 1中, 、Q 、M 、N 分别为 AD 、 P AB、 1D 1、 1C 1的中点, C B 求证: 1P ∥C N , 1Q ∥C M , A A 且∠P A 1Q =∠M C N .

(1)如何证明两直线平行?(①定义法: 即证明两条直线在 同一个平面内且两直线没有公共点; ②利用公理 4: 找到 一条直线, 使所证的直线都与这条直线平行) (2)在证明两角相等时, 利用等角定理如何判定相等或互 补?(等角定理的结论是相等或互补, 在实际应用时, 一般 再借助于图形判断是相等, 还是互补, 还是两种情形都有 可能)

变式训练 2 1: 如图所示, 已知 E , , , 分别是空间四边形 AB C D 的 FGH 边 AB , C , D , A 的中点. B C D ( 求证: , , , 四点共面; 1) EFGH ( 若 AC ⊥B D , 2) 求证: 四边形 E F GH 是矩形.

求异面直线所成的角

【例 3】 ( 12分) 如图, 在空间四边形 AB C D 中, =B C =2, AD E、F 分别 是 AB、C D 的中点, E F = 3, 若 求异面直线 AD 、B C 所成角的大小.

变式训练 3 1: 在正方体 AB C D A 1B 1C 1D 1中, A 1B 与 B 1D 1所成的角. 求


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