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三角函数-向量基本公式

时间:2014-12-22


1.正弦定理及其变形 a b c (1) = = =2R. sin A sin B sin C (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C. a b c (3)sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R (4)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. 2.余弦定理及其推论 (1)a2=b2+c2-2bccos_A. b2+c2-a2 (2)cos A= . 2bc 2 (3)在△ABC 中,c =a2+b2?C 为直角;c2>a2+b2?C 为钝角;c2<a2+b2?C 为锐角. 3.在△ABC 中,边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,则有: A+B π C (1)A+B+C=π, = - . 2 2 2 (2)sin(A+B)=sin_C,cos(A+B)=-cos_C,tan(A+B)=-tan_C. A+B A+B C C (3)sin =cos ,cos =sin . 2 2 2 2

sin B ? c o sA 4、在 ?ABC 中, a ? b ? A B ? sin A 5、在 ?ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? A B 或 A+B= ??为 练习:

c o sB 或 三角形

(1)在 ?ABC 中, A ? B, 则2 A ? C

? (?, ?, ?)

(2)在 ?ABC 中,已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12,则 cos 2C ? a b ? ? ?为 (3)在 ?ABC 中, 三角形; cos A cos B b a ? ? ?为 三角形 cos A cos B
解析式 y=sin x y=cos x

图像

值域 在 单调性 在 ,函数递减 , , 在 ,函数递减 , , ,函数递增 在 ,函数递增

x?
最值

y max ?
y min ?

x? x?

y max ?
y min ?

x?
奇偶性 对称轴: 对称性 对称中心: 周期

对称轴: 对称中心:

6、向量的数量积的几何意义 (1)投影:|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 方向上( 方向上)的投影. 的乘积.

(2)几何意义:数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 7、向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量, θ 为 a 与 b 的夹角. (1)a⊥b? (3)a· a= . 或|a|= a· a= (2)当 a 与 b 同向时,a· b= (4)cos θ=

;当 a 与 b 反向时,a· b= (5)|a· b| |a||b|.

.

例题: 已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵若| b | ?

5 , 且 a ? 2b 与 a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ. 2

0 例题: 已知向量 a 、 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13 ,则 b ?

例题: (1)已知 a ? 4, b ? 3, 2a ? 3b

?

? ? 2a ? b ? ? 61, 求a与b的 夹角? 。
,在 OC 上是否存在点 M,使得 MA ? MB ?若存在,求出点 M 的

(2)设 OA ? (2,5) , OB ?(3,1), OC ? (6,3), O (0,0) 坐标;若不存在,说明理由。

例题: 在 Rt ?ABC 中, ?C ? 900 , ?A ? 300 ,斜边 AB 长为 2,M,N 分别是 BC,AC 的中点,求: (1)向量 BN , AM 的 长度; (2)中线 AM 与 BN 所成的钝角的余弦值。

?a b ? 例题: 在 ? ABC 中,已知 BA ? a , BC ? b , AC ? c , 且 ? ? ? c ? 0 ,则 ?ABC 的形状是 ?a b ? ? ?
难点三:平面向量在平面几何中的几个重要模型,请牢记(若有需要,请自行证明) (1)在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? AD , 则 (AB ? AD ) ( ? AB ? AD ) ? 0 即菱形模型; (2)在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? AD ,则 AB ? AD ? AB ? AD 即矩形模型; (3)在 ?ABC 中 AB ? AC 一定过 BC 的中点,通过 ?ABC 的重心; (4)在 ?ABC 中 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是 ?ABC 的重心; (5)在 ?ABC 中 AP ? ? (

AB AB

?

AC AC

), (? ? R) 则直线 AP 通过 ?ABC 的内心;

(6)在 ?ABC 中, OA ? OB ? OC ,则 O 是 ?ABC 的外心; (7)在 ?ABC 中, PA PB ? PB PC ? PC PA ,则 p 是 ?ABC 的垂心。


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