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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲 归纳与类比

时间:2014-08-22


第十二章

推理证明、算法初步、复数
第1讲 归纳与类比

一、选择题 1.观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同 整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?,则 |x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 ( A.76 解析 B.80 C.86 ). D.92

由|x|+|y|=1 的不同整数解的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解的个数

为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解的个数为 12,归纳推理得|x|+|y|=n 的不同整数 解的个数为 4n,故|x|+|y|=20 的不同整数解的个数为 80.故选 B. 答案 B

2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为 三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,?,这样的数为正方形数.下列数 中既是三角形数又是正方形数的是 ( A.289 C.1 225 解析 B.1 024 D.1 378 ).

观察三角形数:1,3,6,10,?,记该数列为{an},则 a1=1,a2=a1+2,

a3=a2+3,?,an=an-1+n.∴a1+a2+?+an=(a1+a2+?+an-1)+(1+2+3

+?+n)?an=1+2+3+?+n=

n?n+1? 2 ,观察正方形数:1,4,9,16,?,记该

数列为{bn},则 bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知 使得 n 都为正整数的只有 1 225. 答案 C ).

3.下面几种推理过程是演绎推理的是(

A.某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推各 班人数都超过 50 人 B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互 相平分 1 ? 1? D.在数列{an}中,a1=1,an=2?an-1+a ?,由此归纳出{an}的通项公式 ? n-1? 解析 答案 A、D 是归纳推理,B 是类比推理;C 运用了“三段论”是演绎推理. C

4.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) 解析 B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) ).

由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当 f(x)是偶函

数时,其导函数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 答案 D

5.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a, b∈R, 则 a-b=0?a=b”类比推出“a, c∈C, 则 a-c=0?a=c”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“a,b, c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a, b∈R, 则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a, b∈C, 则 a-b>0?a>b”; ④“若 x∈R,则|x|<1?-1<x<1”类比推出“若 z∈C,则|z|<1?-1<z<1”. 其中类比结论正确的个数有( A.1 解析 B.2 类比结论正确的只有①②. ). C.3 D.4

答案

B

6.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,?,则 52 011 的末四位数字 为( ). B.5 625 C.0 625 D.8 125

A.3 125 解析

∵55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9

765 625,? ∴5n(n∈Z,且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为 4,记 5n(n ∈Z,且 n≥5)的末四位数字为 f(n),则 f(2 011)=f(501×4+7)=f(7) ∴52 011 与 57 的末四位数字相同,均为 8 125.故选 D. 答案 D

二、填空题
2 7.以下是对命题“若两个正实数 a1,a2 满足 a1 +a2 2=1,则 a1+a2≤ 2”的证明

过程: 证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实 数 x,恒有 f(x)≥0,所以 Δ≤0,从而得 4(a1+a2)2-8≤0,所以 a1+a2≤ 2.
2 2 根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 a1 +a2 2+?+an=1 时,你能得到的结

论为________________________________(不必证明). 解析 依题意, 构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+?+(x-an)2, 则有 f(x)=nx2

-2(a1+a2+?+an)x+1,Δ=[-2(a1+a2+?+an)]2-4n=4(a1+a2+?+an)2 -4n≤0,即有 a1+a2+?+an≤ n. 答案 a1+a2+?+an≤ n

8.对一个边长为 1 的正方形进行如下操作;第一步,将它分割成 3×3 方格,接 着用中心和四个角的 5 个小正方形,构成如图 1 所示的几何图形,其面积 S1 5 =9;第二步,将图 1 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同 ?5? 的操作,得到图 2;依此类推,到第 n 步,所得图形的面积 Sn=?9?n.若将以上 ? ? 操作类比推广到棱长为 1 的正方体中,则到第 n 步,所得几何体的体积 Vn= ________.

解析

对一个棱长为 1 的正方体进行如下操作:第一步,将它分割成 3×3×3

个小正方体,接着用中心和 8 个角的 9 个小正方体,构成新 1 几何体,其体积 9 1 V1=27=3;第二步,将新 1 几何体的 9 个小正方体中的每个小正方体都进行 ?1? 与第一步相同的操作,得到新 2 几何体,其体积 V2=?3?2;?,依此类推,到 ? ? ?1? 第 n 步,所得新 n 几何体的体积 Vn=?3?n. ? ? 答案 ?1?n ?3? ? ?

9.设 N=2n(n∈N*,n≥2),将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编号为 1,2,?, N 的 N 个位置, 得到排列 P0=x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的 N N 数取出, 并按原顺序依次放入对应的前 2 和后 2 个位置, 得到排列 P1=x1x3?xN
-1

N x2x4?xN,将此操作称为 C 变换.将 P1 分成两段,每段 2 个数,并对每段作

N C 变换,得到 P2;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2i 段,每段2i个数,并对每段 作 C 变换,得到 Pi+1.例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第________个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第________个位置. 解析 (1)当 N=16 时,P1=x1x3x5x7x9?x16,此时 x7 在第一段内,再把这段变

换 x7 位于偶数位的第 2 个位置,故在 P2 中,x7 位于后半段的第 2 个位置,即 在 P2 中 x7 位于第 6 个位置. (2)在 P1 中,x173 位于两段中第一段的第 87 个位置,位于奇数位置上,此时在 P2 中 x173 位于四段中第一段的第 44 个位置上,再作变换得 P3 时,x173 位于八 段中第二段的第 22 个位置上,再作变换时,x173 位于十六段中的第四段的第

11 个位置上,也就是位于 P4 中的第(3×2n-4+11)个位置上. 答案 6 3×2n-4+11

10.用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形,则按此 规律,第 100 个图形中有白色地砖________块;现将一粒豆子随机撒在第 100 个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是________.

解析

按拼图的规律,第 1 个图有白色地砖 3×3-1(块),第 2 个图有白色地

砖 3×5-2(块),第 3 个图有白色地砖 3×7-3(块),?,则第 100 个图中有白 色地砖 3×201-100=503(块).第 100 个图中黑白地砖共有 603 块,则将一粒 503 豆子随机撒在第 100 个图中,豆子落在白色地砖上的概率是603. 答案 503 503 603

三、解答题 11.给出下面的数表序列: 表1 1 表2 1 4 3 1 4 12 其中表 n(n=1,2,3,?)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,?,2n-1,从第 2 行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. 写出表 4,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并 将结论推广到表 n(n≥3)(不要求证明). 解 表4为 1 4 3 8 12 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32,它们构成首项为 4,公比为 2 的等比数列. 将这一结论推广到表 n(n≥3),即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的 5 7 12 20 表3 3 8 5 ?

顺序构成首项为 n,公比为 2 的等比数列. 12.观察下表: 1, 2,3 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ? 问:(1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2 013 是第几行的第几个数? 解 (1)∵第 n+1 行的第 1 个数是 2n,

∴第 n 行的最后一个数是 2n-1. (2)2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+?+(2n-1) ?2n-1+2n-1?· 2n-1 = =3· 22n-3-2n-2. 2 (3)∵210=1 024,211=2 048,1 024<2 013<2 048, ∴2 013 在第 11 行,该行第 1 个数是 210=1 024, 由 2 013-1 024+1=990,知 2 013 是第 11 行的第 990 个数. 13.将各项均为正数的数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成 数表,如图所示.记表中各行的第一个数 a1,a2,a4,a7,?,构成数列{bn}, 各行的最后一个数 a1,a3,a6,a10,?,构成数列{cn},第 n 行所有数的和为 Sn(n=1,2,3,4,?).已知数列{bn}是公差为 d 的等差数列,从第二行起,每一 行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数 q,且 a1 5 =a13=1,a31=3.

(1)求数列{cn},{Sn}的通项公式;

(2)求数列{cn}的前 n 项和 Tn 的表达式. 解 (1)bn=dn-d+1,前 n 行共有 1+2+3+?+n= n?n+1? 2 个数,因为 13=

4×5 2 2 +3,所以 a13=b5×q , 7×8 即(4d+1)q2=1,又因为 31= 2 +3,所以 a31=b8×q2, 5 1 即(7d+1)q2=3,解得 d=2,q=3, 2n-1 ?1? 所以 bn=2n-1,cn=bn?3?n-1= n-1 , ? ? 3 1? ? ?2n-1??1-3n? 3n-1 ? ? 3 Sn= = (2 n - 1)· 1 2 3n . 1-3 2n-1 1 3 5 (2)Tn=1+3+32+?+ n-1 , 3 2n-1 1 1 3 5 T n= + 2+ 3+?+ 3 3 3 3 3n . ①②两式相减,得 1 ? 2n-1 2 ?1 1 T n=1+2?3+32+?+ n-1?- 3 3 3n ? ? 1 1 - 3 3n 2n-1 2n+2 =1+2× 1 - 3n =2- 3n , 1-3 n+1 所以 Tn=3- n-1 . 3 14.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; ②sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; ③sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; ⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; ① ②

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解 (1)选择②式,计算如下:

1 1 3 sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° =1-2sin 30° =1-4=4. 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)=4. 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)=sin2α+(cos 30° cos α+sin 30° sin α)2- 3 3 1 3 sin α· (cos 30° cos α+sin 30° sin α)=sin2α+4cos2α+ 2 sin αcos α+4sin2α- 2 sin 1 3 3 3 αcos α-2sin2α=4sin2α+4cos2α=4.


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