2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲 归纳与类比

第十二章

推理证明、算法初步、复数
第1讲 归纳与类比

一、选择题 1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|＋|y|＝2 的不同 整数解(x，y)的个数为 8，|x|＋|y|＝3 的不同整数解(x，y)的个数为 12，?，则 |x|＋|y|＝20 的不同整数解(x，y)的个数为 ( A．76 解析 B．80 C．86 )． D．92

由|x|＋|y|＝1 的不同整数解的个数为 4，|x|＋|y|＝2 的不同整数解的个数

为 8，|x|＋|y|＝3 的不同整数解的个数为 12，归纳推理得|x|＋|y|＝n 的不同整数 解的个数为 4n，故|x|＋|y|＝20 的不同整数解的个数为 80.故选 B. 答案 B

2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数． 比如：

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为 三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9,16，?，这样的数为正方形数．下列数 中既是三角形数又是正方形数的是 ( A．289 C．1 225 解析 B．1 024 D．1 378 )．

观察三角形数：1,3,6,10，?，记该数列为{an}，则 a1＝1，a2＝a1＋2，

a3＝a2＋3，?，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋?＋an＝(a1＋a2＋?＋an－1)＋(1＋2＋3

＋?＋n)?an＝1＋2＋3＋?＋n＝

n?n＋1? 2 ，观察正方形数：1,4,9,16，?，记该

数列为{bn}，则 bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知 使得 n 都为正整数的只有 1 225. 答案 C )．

3．下面几种推理过程是演绎推理的是(

A．某校高三有 8 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，3 班有 52 人，由此推各 班人数都超过 50 人 B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互 相平分 1 ? 1? D．在数列{an}中，a1＝1，an＝2?an－1＋a ?，由此归纳出{an}的通项公式 ? n－1? 解析 答案 A、D 是归纳推理，B 是类比推理；C 运用了“三段论”是演绎推理． C

4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(－x)＝( A．f(x) 解析 B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) )．

由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当 f(x)是偶函

数时，其导函数应为奇函数，故 g(－x)＝－g(x)． 答案 D

5．给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若 a， b∈R， 则 a－b＝0?a＝b”类比推出“a， c∈C， 则 a－c＝0?a＝c”； ②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“a，b， c，d∈Q，则 a＋b 2＝c＋d 2?a＝c，b＝d”； ③“若 a， b∈R， 则 a－b>0?a>b”类比推出“若 a， b∈C， 则 a－b>0?a>b”； ④“若 x∈R，则|x|<1?－1<x<1”类比推出“若 z∈C，则|z|<1?－1<z<1”． 其中类比结论正确的个数有( A．1 解析 B．2 类比结论正确的只有①②. )． C．3 D．4

答案

B

6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，?，则 52 011 的末四位数字 为( )． B．5 625 C．0 625 D．8 125

A．3 125 解析

∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9

765 625，? ∴5n(n∈Z，且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记 5n(n ∈Z，且 n≥5)的末四位数字为 f(n)，则 f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7) ∴52 011 与 57 的末四位数字相同，均为 8 125.故选 D. 答案 D

二、填空题
2 7．以下是对命题“若两个正实数 a1，a2 满足 a1 ＋a2 2＝1，则 a1＋a2≤ 2”的证明

过程： 证明：构造函数 f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实 数 x，恒有 f(x)≥0，所以 Δ≤0，从而得 4(a1＋a2)2－8≤0，所以 a1＋a2≤ 2.
2 2 根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 a1 ＋a2 2＋?＋an＝1 时，你能得到的结

论为________________________________(不必证明)． 解析 依题意， 构造函数 f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋?＋(x－an)2， 则有 f(x)＝nx2

－2(a1＋a2＋?＋an)x＋1，Δ＝[－2(a1＋a2＋?＋an)]2－4n＝4(a1＋a2＋?＋an)2 －4n≤0，即有 a1＋a2＋?＋an≤ n. 答案 a1＋a2＋?＋an≤ n

8．对一个边长为 1 的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成 3×3 方格，接 着用中心和四个角的 5 个小正方形，构成如图 1 所示的几何图形，其面积 S1 5 ＝9；第二步，将图 1 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同 ?5? 的操作，得到图 2；依此类推，到第 n 步，所得图形的面积 Sn＝?9?n.若将以上 ? ? 操作类比推广到棱长为 1 的正方体中，则到第 n 步，所得几何体的体积 Vn＝ ________.

解析

对一个棱长为 1 的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成 3×3×3

个小正方体，接着用中心和 8 个角的 9 个小正方体，构成新 1 几何体，其体积 9 1 V1＝27＝3；第二步，将新 1 几何体的 9 个小正方体中的每个小正方体都进行 ?1? 与第一步相同的操作，得到新 2 几何体，其体积 V2＝?3?2；?，依此类推，到 ? ? ?1? 第 n 步，所得新 n 几何体的体积 Vn＝?3?n. ? ? 答案 ?1?n ?3? ? ?

9．设 N＝2n(n∈N*，n≥2)，将 N 个数 x1，x2，?，xN 依次放入编号为 1,2，?， N 的 N 个位置， 得到排列 P0＝x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的 N N 数取出， 并按原顺序依次放入对应的前 2 和后 2 个位置， 得到排列 P1＝x1x3?xN
－1

N x2x4?xN，将此操作称为 C 变换．将 P1 分成两段，每段 2 个数，并对每段作

N C 变换，得到 P2；当 2≤i≤n－2 时，将 Pi 分成 2i 段，每段2i个数，并对每段 作 C 变换，得到 Pi＋1.例如，当 N＝8 时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置． (1)当 N＝16 时，x7 位于 P2 中的第________个位置； (2)当 N＝2n(n≥8)时，x173 位于 P4 中的第________个位置． 解析 (1)当 N＝16 时，P1＝x1x3x5x7x9?x16，此时 x7 在第一段内，再把这段变

换 x7 位于偶数位的第 2 个位置，故在 P2 中，x7 位于后半段的第 2 个位置，即 在 P2 中 x7 位于第 6 个位置． (2)在 P1 中，x173 位于两段中第一段的第 87 个位置，位于奇数位置上，此时在 P2 中 x173 位于四段中第一段的第 44 个位置上，再作变换得 P3 时，x173 位于八 段中第二段的第 22 个位置上，再作变换时，x173 位于十六段中的第四段的第

11 个位置上，也就是位于 P4 中的第(3×2n－4＋11)个位置上． 答案 6 3×2n－4＋11

10．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此 规律，第 100 个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．

解析

按拼图的规律，第 1 个图有白色地砖 3×3－1(块)，第 2 个图有白色地

砖 3×5－2(块)，第 3 个图有白色地砖 3×7－3(块)，?，则第 100 个图中有白 色地砖 3×201－100＝503(块)．第 100 个图中黑白地砖共有 603 块，则将一粒 503 豆子随机撒在第 100 个图中，豆子落在白色地砖上的概率是603. 答案 503 503 603

三、解答题 11．给出下面的数表序列： 表1 1 表2 1 4 3 1 4 12 其中表 n(n＝1,2,3，?)有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，?，2n－1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和． 写出表 4，验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并 将结论推广到表 n(n≥3)(不要求证明)． 解 表4为 1 4 3 8 12 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列． 将这一结论推广到表 n(n≥3)，即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的 5 7 12 20 表3 3 8 5 ?

顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列． 12．观察下表： 1， 2,3 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15， ? 问：(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第 n 行的各个数之和是多少？ (3)2 013 是第几行的第几个数？ 解 (1)∵第 n＋1 行的第 1 个数是 2n，

∴第 n 行的最后一个数是 2n－1. (2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋?＋(2n－1) ?2n－1＋2n－1?· 2n－1 ＝ ＝3· 22n－3－2n－2. 2 (3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 013<2 048， ∴2 013 在第 11 行，该行第 1 个数是 210＝1 024， 由 2 013－1 024＋1＝990，知 2 013 是第 11 行的第 990 个数． 13．将各项均为正数的数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成 数表，如图所示．记表中各行的第一个数 a1，a2，a4，a7，?，构成数列{bn}， 各行的最后一个数 a1，a3，a6，a10，?，构成数列{cn}，第 n 行所有数的和为 Sn(n＝1,2,3,4，?)．已知数列{bn}是公差为 d 的等差数列，从第二行起，每一 行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数 q，且 a1 5 ＝a13＝1，a31＝3.

(1)求数列{cn}，{Sn}的通项公式；

(2)求数列{cn}的前 n 项和 Tn 的表达式． 解 (1)bn＝dn－d＋1，前 n 行共有 1＋2＋3＋?＋n＝ n?n＋1? 2 个数，因为 13＝

4×5 2 2 ＋3，所以 a13＝b5×q ， 7×8 即(4d＋1)q2＝1，又因为 31＝ 2 ＋3，所以 a31＝b8×q2， 5 1 即(7d＋1)q2＝3，解得 d＝2，q＝3， 2n－1 ?1? 所以 bn＝2n－1，cn＝bn?3?n－1＝ n－1 ， ? ? 3 1? ? ?2n－1??1－3n? 3n－1 ? ? 3 Sn＝ ＝ (2 n － 1)· 1 2 3n . 1－3 2n－1 1 3 5 (2)Tn＝1＋3＋32＋?＋ n－1 ， 3 2n－1 1 1 3 5 T n＝ ＋ 2＋ 3＋?＋ 3 3 3 3 3n . ①②两式相减，得 1 ? 2n－1 2 ?1 1 T n＝1＋2?3＋32＋?＋ n－1?－ 3 3 3n ? ? 1 1 － 3 3n 2n－1 2n＋2 ＝1＋2× 1 － 3n ＝2－ 3n ， 1－3 n＋1 所以 Tn＝3－ n－1 . 3 14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213° ＋cos217° －sin 13° cos 17° ； ②sin215° ＋cos215° －sin 15° cos 15° ； ③sin218° ＋cos212° －sin 18° cos 12° ； ④sin2(－18° )＋cos248° －sin(－18° )cos 48° ； ⑤sin2(－25° )＋cos255° －sin(－25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； ① ②

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：

1 1 3 sin215° ＋cos215° －sin 15° cos 15° ＝1－2sin 30° ＝1－4＝4. 3 (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30° －α)－sin αcos(30° －α)＝4. 证明如下： sin2α＋cos2(30° －α)－sin αcos(30° －α)＝sin2α＋(cos 30° cos α＋sin 30° sin α)2－ 3 3 1 3 sin α· (cos 30° cos α＋sin 30° sin α)＝sin2α＋4cos2α＋ 2 sin αcos α＋4sin2α－ 2 sin 1 3 3 3 αcos α－2sin2α＝4sin2α＋4cos2α＝4.