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高二数学极值课件

时间:2018-04-23


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修1-1

3.3.2《导数在研究函数 中的应用-极值》
审校:王伟

教学目标
? (1)知识目标:能探索并应用函数的极值与导数的关 系求函数极值,能由导数信息判断函数极值的情况。 ? (2)能力目标:培养学生的观察能力、归纳能力,增 强数形结合的思维意识。 ? (3)情感目标:通过在教学过程中让学生多动手、多 观察、勤思考、善总结,引导学生养成自主学习的 良好习惯。 ? 教学重点:探索并应用函数极值与导数的关系求函 数极值。 ? 教学难点:利用导数信息判断函数极值的情况。 ? 教学方法:发现式、启发式

设函数y=f(x)在某个区间内有导数, 如果在这个区间内y`>0,那么y=f(x)为这 个区间内的增函数;如果在这个区间内 y`<0,那么y=f(x)为这个区间内的减函数.

y`>0
y`<0

增函数 减函数

判断函数单调性的常用方法: (1)定义法 (2)导数法

用导数法确定函数的单调性时的步骤是:
(1) 求函数的定义域

(2)求出函数的导函数
(3)求解不等式f `(x)>0,求得其解集,

再根据解集写出单调递增区间
求解不等式f``(x)<0,求得其解集,

再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。

练习1、讨论f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单 调区间
练习2、 确定y=2x3-6x2+7的单调区间

函数极值的定义——

一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大,我们就说f(x0)是 函数的一个极大值,如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小,我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.

导数的应用二、求函数的极值
如果x0是f’(x)=0的一个根,并且在x0的 左侧附近f’(x)>0,在x0右侧附近f’(x)<0, 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 如果 x0 是 f’(x)=0 的一个根,并且在 x0 的左侧附近 f’(x)<0 ,在 x0 右侧附近 f’(x)>0 , 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.

用导数法求解函数极值的步骤: (1) 求导函数f `(x); (2) 求解方程f `(x)=0; (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号,并根据符号确定极大值与极小 值. 口诀:左负右正为极小,左正右负为极大。

例1 、求函数y=x3/3-4x+4极值 表格法

.

练:(1)y=x2-7x+6
(3)y=x3-27x

(2)y=-2x2+5x
(4)y=3x2-x3

注、极值点是导数值为0的点

导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中,往往关心的是函数在 整个定义域区间上,哪个值最大或最小的 问题,这就是我们通常所说的最值问题.
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)

(2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较,其 中最大的一个为最大值,最小的一个最小值 表格法

注:
求函数最值的一般方法: 一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用 二次函数单调性处理

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0,即2x-4=0, 得x=2 x 1 ( 1, 2) 2 ( 2, 5) 5
y
'

3

0 2

+
11

y

故函数f(x) 在区间[1,5]内的极小值为3, 最大值为11,最小值为2

思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2,求m的值

导数的定义

导数的几何意义

导数

求导公式与法则

多项式函数的导数

函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值

基本练习 1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1,0)处的切线的 斜率为( ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8

2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49

3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为 12x-3y=16,则点P的坐标为 .

4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ,(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( ?
3 3 , 3 3

),

则a的取值范围为( ) (A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1

6、当x∈(-2,1)时,f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增,部分单调减 (D) 单调性不能确定

7、 如果质点 M的运动规律为 S=2t2-1,则在 一小段时间[2,2+Δt]中相应的平均速度等于 ( ) (A) 8+2Δt (B) 4+2Δt (C) 7+2Δt (D) –8+2Δt

8、如果质点A按规律S=2t3运动,则在t=3秒 时的瞬时速度为( ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6, 那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1

10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1

例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行,求a的值. 分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等, 即:6+a=2-a

例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1, 1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求 实数a、b、c的值. 分析 由条件知: y=ax2+bx+c在点Q(2,-1) 处的导数为1,于是 4a+b=1 又点 P(1 , 1) 、 Q(2 , -1) 在曲线 y=ax2+bx+c 上,从而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1

例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点,则当点 P到直线x+y+2=0的距离最小时,求点P到抛 物线准线的距离 分析 点P到直线的距离最小时,抛物线在点 P处的切线斜率为-1,即函数在点P处的导数 为-1,令P(a,b),于是有:2a= -1.

例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定 实数a的取值范围,并求出这三个单调区间.

思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2, 6]内单调递增,求m的取值范围。

(1) 若曲线 y=x3 在点P处的切线的斜率等于 3,则点P的坐标为( ) (A)(2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8) (2) 若曲线 y=x5/5 上一点M处的切线与直线 y=3-x垂直,则此切线方程为( ) (A)5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非 (3)曲线y=x3/3-x2+5在点A处的切线的倾角 为3π/4,则A的坐标为 .

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有十三岁的小娃娃,能达到这种程度,很咯不起。对于小小年纪竟然有些真才实学的冰凝,他还是很公平地给予咯欣赏和赞许,这也是他并没 有对她过分苛责的原因。因此,虽然冰凝很不对他的心思,但是不过就是不对心思而已,偌大的王府又不是供不起她的吃喝。只是前两天的八 月节宫宴触动咯王爷的底线,拉响咯他的警报。壹切的壹切,都必须服从于他的夺储大计,不要说冰凝这么壹个格外不对他心思的诸人,就是 他最宠爱的淑清,他最魂牵梦萦的玉盈,都必须为他的宏图伟业让路。这壹次,王爷只是向他的侧福晋发出咯警告信号,惩戒是为咯防范,他 希望冰凝能够体会得到他的良苦用心。只要冰凝安分守已,恪守妇道,不妨碍他的夺嫡大计,他们两人各过各的,互不理睬,老死不相往来, 将是未来他们之间相处的最基本策略。但是冰凝如若再犯,他决不会再如这次壹样心慈手软,不是区区壹首闺房诗就能完成处罚的事情。王爷 在心中暗暗做好咯如此打算。第壹卷 第152章 心动西海茶楼的雅间里,坐着几个青年男子,壹边喝茶壹边闲聊。众人都是神采飞扬、谈笑风 生,唯有最年轻的壹个男子壹直没有开口。这个青年男子有着壹张冷峻而清瘦的面庞,仍带着些许的稚气,但更多的,是桀骜不驯的神情。他 只是极偶尔地轻啜壹口香茗,目光却是壹直飘向咯这窗外的壹湖秋水,任由其它几人时而高谈阔论,时而低声密语,仿佛坐在他身边的那些人 都不存在似的。坐在这个青年男子右侧的,是壹位高大健硕、面色黝黑的男子,他壹直与其它人在闲聊,但时不时地转过身来看看紧挨着坐在 自己身边的青年男子,终于,他实在是忍不住,用他那壹贯的大嗓门开口说道:“我说十四弟,今儿又是谁招惹你咯?怎么壹直都蔫头搭脑的? 自从进咯屋里,还没听见你说过壹句话呢!”“没有谁招惹愚弟,就是不想说话罢咯。”“呵,真是稀奇呢!还有你小子不想说话的时 候?”“十哥,您说这世界上,真有仙女吗?”“哈哈!哈哈!刚刚你不是还说不想说话嘛,怎么转眼就问起仙女来咯?告诉你,你十哥不知 道什么是仙女,就知道仙女,也还不是壹个鼻子两眼睛的诸人嘛!怎么,又看上谁家的姑娘咯?你这才被皇阿玛赐咯伊尔根觉罗氏,还没捂热 乎呢,就又……”“十哥,您可别乱说,愚弟只是问问而已,没看上谁家的姑娘。”“那你还是问九哥吧,九哥见过的漂亮诸人,比你吃过的 咸盐都多,要是九哥说是仙女,那就真的是仙女,也不枉你小子痴呆神经壹场。”九阿哥壹听这哥俩儿讨论起什么仙女来咯,极为纳闷儿:十 四弟家的那个穆哲,可真是壹个十足的醋坛子,当然咯,比起八嫂来,还是差远咯。虽然管不住十四弟娶妻纳妾,不过,倒也是能把十四弟

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