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2017年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

时间:2017-03-28

2017 年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 z?i=2﹣i(i 为虚数单位) ,则 在复平面内对应的点所在的象 限是( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

2.已知集合 A={x|x2+2x﹣3<0},B={x|0<x<3},则 A∩B=( A. (0,1) B. (0,3) C. (﹣1,1) D. (﹣1,3)

3.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题是真命题的 是( ) B.若 m∥α,α∥β,则 m∥β D.若 m? α,α⊥β,则 m⊥β

A.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m? α,m⊥β,则 α⊥β

4.在区间[﹣1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆 x2+y2=1 相交的概 率为( A. ) B. C. D. )

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值是(

A.7

B.6

C.5

D.3 |= | |,| |=| |=3,则 =( )

6.在△ABC 中,|

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A.3

B.﹣3 C.

D.﹣

7.某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥最

长的棱长等于(



A.

B.

C.

D. ,若 z=x+4y 的最大值与最小值之差为 5,

8.已知 x,y 满足线性约束条件 则实数 λ 的值为( A.3 B. C. ) D.1

9.将函数 y=cos(2x+ ( )

)的图象向左平移

个单位后,得到 f(x)的图象,则

A.f(x)=﹣sin2x B.f(x)的图象关于 x=﹣ C.f( )= D.f(x)的图象关于(

对称

,0)对称

10.己知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当 x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在区间(8,9)内满足方 f(x)程 f(x)+2=f ( )的实数 x 为 ( A. B. C. ) D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.若双曲线 离心率为 .
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的渐近线为

,则双曲线 C 的

12.已知 α 为第四象限角,sinα+cosα= ,则 tanα 的值为 13. ( x﹣2y)5 的展开式中的 x2y3 系数是 .



14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 g(x)=f(x+1)+5,g′(x)为 g(x)的导函数,对? x∈R,总有 g′(x)>2x,则 g(x)<x2+4 的解集为 15.以下命题: ①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件; ②命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” ③对于命题 p:? x>0,使得 x2+x+1<0,则¬p:? x≤0,均有 x2+x+1≥0 ④若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题 其中正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填上) . .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算 过程. 16.已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ 的最小值为﹣1. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,已知 f(C)=1,AC=4,延长 AB 至 D,使 BC=BD,且 AD=5, 求△ACD 的面积. 17.在学校组织的“环保知识”竞赛活动中,甲、乙两班 6 名参赛选手的成绩的茎 叶图受到不同程度的污损,如图: (Ⅰ)求乙班总分超过甲班的概率; (Ⅱ)若甲班污损的学生成绩是 90 分,乙班污损的学生成绩为 97 分,现从甲乙 两班所有选手成绩中各随机抽取 2 个,记抽取到成绩高于 90 分的选手的总人数 为 ξ,求 ξ 的分布列及数学成绩. )+m(m∈R) ,当 x∈[0, ]时,f(x)

18. b2=2, 若数列{an}是公差为 2 的等差数列, 数列{bn}满足 b1=1, 且 anbn+bn=nbn+1. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
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(Ⅱ)设数列{cn}满足 cn= <Tn+

,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(﹣1)nλ

对一切 n∈N*,求实数 λ 的取值范围.

19.如图长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1,侧棱长为 2,E、F、G 分别为 CB1、CD1、AB 的中点. (Ⅰ)求证:FG∥面 ADD1A1; (Ⅱ)求二面角 B﹣EF﹣C 的余弦值.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点(

,1) ,过点 A(0,1)的

动直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,当直线 l 过椭圆 C 的左焦点时,直线 l 的斜 率为 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在与点 A 不同的定点 B,使得∠ABM=∠ABN 恒成立?若存在,求出 点 B 的坐标;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=xlnx+2,g(x)=x2﹣mx. (Ⅰ)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (Ⅱ)若方程 f(x)+g(x)=0 有两个不同的实数根,求证:f(1)+g(1)<0; (Ⅲ)若存在 x0∈[ ,e]使得 mf′(x)+g(x)≥2x+m 成立,求实数 m 的取值 范围.

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2017 年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 z?i=2﹣i(i 为虚数单位) ,则 在复平面内对应的点所在的象 限是( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由 z?i=2﹣i,得 ,然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,

求出 在复平面内对应的点的坐标,则答案可求. 【解答】解:由 z?i=2﹣i, 得 则 = , ,

则 在复平面内对应的点的坐标为: (﹣1,2) ,位于第二象限. 故选:B.

2.已知集合 A={x|x2+2x﹣3<0},B={x|0<x<3},则 A∩B=( A. (0,1) B. (0,3) C. (﹣1,1) D. (﹣1,3) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集,找出 A 与 B 的交集即可.



【解答】解:集合 A={x|x2+2x﹣3<0}=(﹣3,1) ,B={x|0<x<3}=(0,3) ,则 A∩B=(0,1) , 故选:A

3.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题是真命题的 是( )
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A.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m? α,m⊥β,则 α⊥β

B.若 m∥α,α∥β,则 m∥β D.若 m? α,α⊥β,则 m⊥β

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】在 A 中,α 与 β 相交或平行;在 B 中,m∥β 或 m? β;在 C 中,由面 面垂直的判定定理得 α⊥β;在 D 中,m⊥与 β 相交、平行或 m? β. 【解答】解:由 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,知: 在 A 中,若 m∥α,m∥β,则 α 与 β 相交或平行,故 A 错误; 在 B 中,若 m∥α,α∥β,则 m∥β 或 m? β,故 B 错误; 在 C 中,若 m? α,m⊥β,则由面面垂直的判定定理得 α⊥β,故 C 正确; 在 D 中,若 m? α,α⊥β,则 m⊥与 β 相交、平行或 m? β,故 D 错误. 故选:C.

4.在区间[﹣1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆 x2+y2=1 相交的概 率为( A. ) B. C. D.

【考点】几何概型. 【分析】 利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件 的 k,最后根据几何概型的概率公式可求出所求. 【解答】解:圆 x2+y2=1 的圆心为(0,0) 圆心到直线 y=k(x+3)的距离为

要使直线 y=k(x+3)与圆 x2+y2=1 相交,则

<1,解得﹣

<k<



1]上随机取一个数 k, ∴在区间[﹣1, 使 y=k (x+3) 与圆 x2+y2=1 相交的概率为 = .

故选:C.

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值是(
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A.7

B.6

C.5

D.3

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,根据流程图所示的顺序, 可知该程序的作用是累加并输出 S>5 时的值. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是 累加 S=1+02+12+22+…+(k﹣1)2 的值 S=1+02+12+22=6>5 输出 S=6. 故选:B

6.在△ABC 中,| A.3 B.﹣3 C.

|=

|

|,|

|=|

|=3,则

=(



D.﹣

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 由题意, 画出图形, 利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系, 求出 OC,得到△ABC 的形状即可求得. 【解答】解:由平面向量的平行四边形法则得到,在△ABC 中,| | |, | |=| |=3, 如图, 设|OC|=x, 则|OA|= |=

x, 所以|AO|2+|OC|2=|AC|2

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即 3x2+x2=9,解得 x= , 所以|BC|=3,所以△ABC 为等边三角形,所以 故选:C. =3×3× = ;

7.某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥最

长的棱长等于(



A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图,得:该几何体是底面为直角三角形,侧面垂直于 底面,高为 5 的三棱锥,即可求得. 【解答】解:根据几何体的三视图,得:该几何体是底面为直角三角形,侧面垂 直于底面,高为 5 的三棱锥,
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棱锥最长的棱长等于 故选 C.

=



8.已知 x,y 满足线性约束条件 则实数 λ 的值为( A.3 B. C. ) D.1

,若 z=x+4y 的最大值与最小值之差为 5,

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值和最小值.建立方程关系进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域, 由得 A(1,4) ,B(λ,λ﹣3) 由 z=x+4y,得 y=﹣ x+ , 平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线经过点 A 时,直线 y=﹣的截距最大,此 时 z 最大. z=1+4×4=17 当直线经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最小.z=λ﹣3+4λ=5λ﹣3. ∵z=x+4y 的最大值与最小值得差为 5 ∴17﹣(5λ﹣3)=20﹣5λ=5. 得 λ=3. 故选:A.

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9.将函数 y=cos(2x+ ( )

)的图象向左平移

个单位后,得到 f(x)的图象,则

A.f(x)=﹣sin2x B.f(x)的图象关于 x=﹣ C.f( )= D.f(x)的图象关于(

对称

,0)对称

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】利用诱导公式、y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性 质,得出结论. 【解答】解:将函数 y=cos(2x+ =cos[2(x+ =cos(2x+ 当 x=﹣ 确; f( 当 x= )=﹣sin =﹣sin =﹣ ,故排除 C; =﹣ ≠0,故 f(x)的图象不关于( ,0)对称, )+ ] )的图象,故排除 A; 对称,故 B 正 )的图象向左平移 个单位后,得到 f(x)

)=﹣sin(2x+

时,f(x)=1,为最大值,故 f(x)的图象关于 x=﹣

时,f(x)=﹣sin

故 D 错误, 故选:B.

10.己知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当
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x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在区间(8,9)内满足方 f(x)程 f(x)+2=f ( )的实数 x 为 ( A. B. C. ) D.

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】由 f(x+1)为奇函数,可得 f(x)=﹣f(2﹣x) .由 f(x)为偶函数可 得 f(x)=f(x+4) ,故 f(x)是以 4 为周期的函数.当 8<x≤9 时,求得 f(x) =f(x﹣8)=log2(x﹣8) .由 log2(x﹣8)+2=﹣1 得 x 的值. 【解答】解:∵f(x+1)为奇函数,即 f(x+1)=﹣f(﹣x+1) ,即 f(x)=﹣f(2 ﹣x) . 当 x∈(1,2)时,2﹣x∈(0,1) ,∴f(x)=﹣f(2﹣x)=﹣log2(2﹣x) . 又 f(x)为偶函数,即 f(x)=f(﹣x) ,于是 f(﹣x)=﹣f(﹣x+2) , 即 f(x)=﹣f(x+2)=f(x+4) ,故 f(x)是以 4 为周期的函数. ∵f(1)=0,∴当 8<x≤9 时,0<x﹣8≤1,f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8) . 由 f( )=﹣1,f(x)+2=f( )可化为 log2(x﹣8)+2=﹣1,得 x= 故选:D. .

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.若双曲线 离心率为 2 . 的渐近线为 ,则双曲线 C 的

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先利用双曲线的几何性质,焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 ,得 = ,在两边平方,利用双曲线离心率的定义求其离心率即可 的渐近线为 ,

【解答】解:∵双曲线 ∴ = ∴ =3
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即 e2﹣1=3 ∴e=2 故答案为 2

12.已知 α 为第四象限角,sinα+cosα= ,则 tanα 的值为 【考点】同角三角函数基本关系的运用.





【分析】利用同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符号,求 得 cosα,sinα 的值,可得 tanα 的值. 【解答】解:∵α 为第四象限角,sinα+cosα= ,∴sinα<0,cosα>0, ∴1+2sinαcosα= ∴cosα﹣sinα= 解得 sinα=﹣ ,cosα= , 则 tanα= =﹣ , ,2sinαcosα=﹣ = , = ,

故答案为:﹣ .

13. ( x﹣2y)5 的展开式中的 x2y3 系数是 【考点】二项式系数的性质.

﹣20



【分析】先求得二项展开式的通项公式,令 x 的幂指数等于 2、y 的幂指数等于 3,可得 r 的值,即可求得 x2y3 系数. 【解答】解: ( x﹣2y)5 的展开式的通项公式为 Tr+1=
r

?(﹣2)r?

?x5﹣

?yr,

令 r=3,可得 x2y3 系数是﹣20, 故答案为:﹣20.

14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 g(x)=f(x+1)+5,g′(x)为 g(x)的导函数,对? x∈R,总有 g′(x)>2x,则 g(x)<x2+4 的解集为 (﹣
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∞,﹣1)



【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求出 g(x)的图象关于点(﹣1,5)对称,令 h(x)=g(x)﹣x2﹣4, 根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【解答】解:因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以函数 f(x)关于原点对称, 又 g(x)=f(x+1)+5, 故 g(x)的图象关于点(﹣1,5)对称, 令 h(x)=g(x)﹣x2﹣4, ∴h′(x)=g′(x)﹣2x, ∵对? x∈R,g′(x)>2x, ∴h(x)在 R 上是增函数, 又 h(﹣1)=g(﹣1)﹣(﹣1)2﹣4=0, ∴g(x)<x2+4 的解集是(﹣∞,﹣1) , 故答案为: (﹣∞,﹣1) .

15.以下命题: ①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件; ②命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” ③对于命题 p:? x>0,使得 x2+x+1<0,则¬p:? x≤0,均有 x2+x+1≥0 ④若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题 其中正确命题的序号为 ①② (把所有正确命题的序号都填上) .

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①,“x=1”时“x2﹣3x+2=0”成立,“x2﹣3x+2=0”时,“x=1 或 2, ; ②,命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”; ③,对于命题 p 的¬p 只否定结论; ④,若 p∨q 为假命题,则 p,q 中至少有一个为假命题; 【解答】解:对于①,“x=1”时“x2﹣3x+2=0”成立,“x2﹣3x+2=0”时,“x=1 或 2, 故正确;
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对于②,命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”, 正确; 对于③,对于命题 p:? x>0,使得 x2+x+1<0,则¬p:? x>0,均有 x2+x+1≥ 0,故错; 对于④,若 p∨q 为假命题,则 p,q 中至少有一个为假命题,故错; 故答案为:①②

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算 过程. 16.已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ 的最小值为﹣1. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,已知 f(C)=1,AC=4,延长 AB 至 D,使 BC=BD,且 AD=5, 求△ACD 的面积. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin (2x+ )+m+1.由 x∈[0, ],利用正弦函数的性质可求 2sin(2x+ )min= )+m(m∈R) ,当 x∈[0, ]时,f(x)

﹣1,结合已知可求 m 的值. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 2sin(2C+ )=1,结合范围 C∈(0,π) ,可求 C= ,设

BD=BC=x,则 AB=5﹣x,在△ACB 中,由余弦定理可解得 x,进而由余弦定理可求 cosA,利用同角三角函数基本关系式可求 sinA,利用三角形面积公式即可计算得 解. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=4cosxsin(x+ =4cosx(sinxcos = = +cosxsin )+m )+m

sin2x+2cos2x+m sin2x+cos2x+1+m )+m+1.
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=2sin(2x+

∵x∈[0,

],2x+

∈[



],可得:2sin(2x+

)min=﹣1,

∴f(x)=﹣1=﹣1+m+1,解得:m=﹣1. (Ⅱ)∵由(Ⅰ)可得:f(x)=2sin(2x+ ∴2sin(2C+ )=1, ∈( , , ) , ) ,

∵C∈(0,π) ,可得:2C+ ∴2C+ = ,解得:C=

如图,设 BD=BC=x,则 AB=5﹣x, ∵在△ACB 中,由余弦定理可得:cosC= = ,解得 x= ,

∴cosA=

=

,可得:sinA=

=



∴S△ACD= AC?AD?sinA=

=



17.在学校组织的“环保知识”竞赛活动中,甲、乙两班 6 名参赛选手的成绩的茎 叶图受到不同程度的污损,如图: (Ⅰ)求乙班总分超过甲班的概率; (Ⅱ)若甲班污损的学生成绩是 90 分,乙班污损的学生成绩为 97 分,现从甲乙 两班所有选手成绩中各随机抽取 2 个,记抽取到成绩高于 90 分的选手的总人数 为 ξ,求 ξ 的分布列及数学成绩.

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【考点】离散型随机变量的期望与方差;茎叶图. 【分析】 (Ⅰ)甲班前 5 位选手的总分为 450,乙班前 5 位选手的总分为 443,若 乙班总分超过甲班,则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为: (90,98) , (90, 99) , (91,99)三种情况,即可得出乙班总分超过甲班的概率. (II) (Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,利用相互独立与互斥事件的概率计 算公式,进而得出分布列与数学期望. 【解答】解: (Ⅰ)甲班前 5 位选手的总分为:87+89+90+91+93=450, 乙班前 5 位选手的总分为:82+85+92+91+93=443, 若乙班总分超过甲班,则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为: (90,98) , (90,99) , (91,99)三种情况, ∴乙班总分超过甲班的概率 P= = .

(Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4, P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

=



P(ξ=2)=

=



P(ξ=3)=

=



P(ξ=4)=

=



∴ξ 的分布列为: ξ P ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =2. 0 1 2 3 4

18. b2=2, 若数列{an}是公差为 2 的等差数列, 数列{bn}满足 b1=1, 且 anbn+bn=nbn+1.
第 16 页(共 23 页)

(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足 cn= <Tn+ ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若不等式(﹣1)nλ

对一切 n∈N*,求实数 λ 的取值范围.

【考点】数列的求和;数列递推式. b2=2, 【分析】 (I) 数列{bn}满足 b1=1, 且 anbn+bn=nbn+1. 可得 a1+1=2, 解得 a1. 利 用等差数列的通项公式可得 an. 可得 2nbn=nbn+1,化为 2bn=bn+1,利用等比数列的通项公式可得 bn. (Ⅱ)设数列{cn}满足 cn= = = ,利用“错位相减法”可得数列{cn}的前

n 项和为 Tn,再利用数列的单调性与分类讨论即可得出. 【解答】解: (I)∵数列{bn}满足 b1=1,b2=2,且 anbn+bn=nbn+1. ∴a1+1=2,解得 a1=1. 又数列{an}是公差为 2 的等差数列, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. ∴2nbn=nbn+1,化为 2bn=bn+1, ∴数列{bn}是等比数列,公比为 2. ∴bn=2n﹣1. (Ⅱ)设数列{cn}满足 cn= 数列{cn}的前 n 项和为 Tn=1+ ∴ = +…+ + , = = +…+ , ,



=1+ +

+…+



=



=2﹣



∴Tn=4﹣

. ,化为: (﹣1)nλ<4﹣ ,∴λ<2.
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不等式(﹣1)nλ<Tn+ n=2k(k∈N*)时,λ<4﹣



n=2k﹣1(k∈N*)时,﹣λ<4﹣

,∴λ>﹣2.

综上可得:实数 λ 的取值范围是(﹣2,2) .

19.如图长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1,侧棱长为 2,E、F、G 分别为 CB1、CD1、AB 的中点. (Ⅰ)求证:FG∥面 ADD1A1; (Ⅱ)求二面角 B﹣EF﹣C 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)由题意,分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直 角坐标系,求出平面 ADD1A1 的一个法向量 ,求出 ADD1A1; (Ⅱ)分别求出平面 BEF 与平面 EFC 的一个法向量,利用两法向量所成角的余弦 值求得二面角 B﹣EF﹣C 的余弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵ABCD﹣A1B1C1D1 是长方体,且底面边长为 1,侧棱长为 2, 分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(1,1,0) ,F(0, ,1) ,E( ,1,1) ,G(1, ,0) , C(0,1,0) , ∴平面 ADD1A1 的一个法向量为 , ∵ ,且 FG?平面 ADD1A1, . ,由 可得 FG∥面

∴FG∥面 ADD1A1; (Ⅱ)解: , ,
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设平面 BEF 的一个法向量为





,取 y=﹣2,得



平面 EFC 的一个法向量为





,取 y=﹣2,得



∴cos<

>=

=



∴二面角 B﹣EF﹣C 的余弦值为 .

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点(

,1) ,过点 A(0,1)的

动直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,当直线 l 过椭圆 C 的左焦点时,直线 l 的斜 率为 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在与点 A 不同的定点 B,使得∠ABM=∠ABN 恒成立?若存在,求出 点 B 的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】直线与椭圆的位置关系. 【分析】 (1)将点( ,1)代入椭圆方程,设左焦点为(﹣c,0) ,再由斜率

公式,可得 c 的值,结合 a,b,c 的关系,即可得到椭圆方程;
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(2)假设存在与点 A 不同的定点 B,使得∠ABM=∠ABN 恒成立.当直线 MN 的 斜率为 0 时,由对称性可得 B 在 y 轴上,设为 B(0,t) ,设直线 MN 的方程为 x=my+1,代入椭圆方程,运用韦达定理,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由假设可 得 kBM+kBN=0,化简整理,可得 t+2m=0,故不存在这样的定点 B. 【解答】解: (1)椭圆 C: 可得 即 c= + + =1(a>b>0)经过点( , ,1) ,

=1,又设左焦点为(﹣c,0) ,有 = ,

,a2﹣b2=2,解得 a=2,b= + =1;

则椭圆方程为

(2)假设存在与点 A 不同的定点 B,使得∠ABM=∠ABN 恒成立. 当直线 MN 的斜率为 0 时,由对称性可得 B 在 y 轴上,设为 B(0,t) , 设直线 MN 的方程为 x=my+1, 代入椭圆方程可得, (2+m2)y2+2my﹣3=0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 可得 y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,

由假设可得 kBM+kBN=0, 即为 + =0,

即有 x1y2+x2y1=t(x1+x2) , 即 m(y1+1)y2+(my2+1)y1=t[m(y1+y2)+2], 即有 2my1y2+(y1+y2)=t[m(y1+y2)+2], 即为 ﹣ =t(﹣ +2) ,

化为﹣8m=4t,即 t+2m=0,由于 m 为任意的,则 t 不为定值. 故不存在与点 A 不同的定点 B,使得∠ABM=∠ABN 恒成立.

21.已知函数 f(x)=xlnx+2,g(x)=x2﹣mx. (Ⅰ)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
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(Ⅱ)若方程 f(x)+g(x)=0 有两个不同的实数根,求证:f(1)+g(1)<0; (Ⅲ)若存在 x0∈[ ,e]使得 mf′(x)+g(x)≥2x+m 成立,求实数 m 的取值 范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间, 通过讨论 t 的范围,求出函数的最小值即可; (Ⅱ)问题转化为 m=lnx+x+ 有两个不同的实数根,令 h(x)=lnx+x+ , (x>0) , 根据函数的单调性求出 h(x)的最小值,求出 m 的范围,从而判断 f(1)+g(1) 的符号即可; e]使得 m≤ (Ⅲ) 问题转化为存在 x0∈[ , x∈[ ,e],根据函数的单调性求出 m 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=lnx+1, 令 f′(x)>0,解得:x> ,令 f′(x)<0,解得:0<x< , ∴f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增, 若 t≥ ,则 f(x)在[t,t+2]递增, ∴f(x)min=f(t)=tlnt+2, 若 0<t< ,则 f(x)在[t, )递减,在( ,t+2]递增, ∴f(x)min=f( )=2﹣ ; (Ⅱ)若方程 f(x)+g(x)=0 有两个不同的实数根, 即 m=lnx+x+ 有两个不同的实数根, 令 h(x)=lnx+x+ , (x>0) , 即函数 y=m 和 h(x)=lnx+x+ 有两个不同的交点, 而 h′(x)= +1﹣ = , = 成立, 令k (x) ,

令 h′(x)>0,解得:x>1,令 h′(x)<0,解得:0<x<1,
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故 h(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增, 故 h(x)≥h(1)=3, 故 m>3, 故 f(1)+g(1)=3﹣m<0; (Ⅲ)若存在 x0∈[ ,e]使得 mf′(x)+g(x)≥2x+m 成立, 即存在 x0∈[ ,e]使得 m≤ 令 k(x)= 成立, ,

,x∈[ ,e],则 k′(x)=

易得 2lnx﹣x<0, 令 k′(x)>0,解得:x>1,令 k′(x)<0,解得:x<1, 故 k(x)在[ ,1)递减,在(1,e]递增, 故 k(x)的最大值是 k( )或 k(e) , 而 k( )= <k(e)= ,

故 m≤



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2017 年 3 月 22 日

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