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2017_2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法学案含解析新人教A版选修4_5201

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一 比较法 1.作差比较法 (1)作差比较法的理论依据 a-b>0?a>b,a-b<0?a<b,a-b=0?a=b. (2)作差比较法解题的一般步骤:①作差;②变形整理,③判定符号,④得出结论. 其中变形整理是解题的关键,变形整理的目的是为了能够直接判定差与 0 的大小,常用的 手段有因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等. 2.作商比较法 (1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质: ①b>0,若ab>1,则 a>b;若ab<1,则 a<b; ②b<0,若ab>1,则 a<b;若ab<1,则 a>b. (2)作商比较法解题的一般步骤:①判定 a,b 的符号;②作商;③变形整理;④判定与 1 的大小关系;⑤得出结论. 作差比较法证明不等式 设△ABC 的三边长分别是 a,b,c,求证:4(ab+bc+ac)>(a+b+c)2. 作差法证明,注意条件“在同一个三角形中,任意两边之和大于第三边”的应用. ∵a,b,c 是△ABC 的三边长, ∴a>0,b>0,c>0,且 b+c-a>0,c+a-b>0,a+b-c>0. ∴4(ab+bc+ac)-(a+b+c)2=2(ab+bc+ac)-(a2+b2+c2) =(b+c-a)a+(c+a-b)b+(a+b-c)c>0. ∴4(ab+bc+ac)>(a+b+c)2. (1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考 虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效 的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一 个常数或几个因式积的形式,当所得的“差式”是某字母的二次三项式时,常用配方法判断符 1 号.有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论. 1.求证:a2+b2≥2(a-b-1). 证明:a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1). 2.已知 a,b∈R+,n∈N+,求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1). 证明:∵(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1) =an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1 =a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an). ①若 a>b>0 时,bn-an<0,a-b>0,∴(a-b)(bn-an)<0. ②若 b>a>0 时,bn-an>0,a-b<0.∴(a-b)(bn-an)<0. ③若 a=b>0 时,(bn-an)(a-b)=0. 综上所述,对于 a,b∈R+,n∈N*,都有(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1). 作商比较法证明不等式 设 a>0,b>0,求证:aabb≥(ab)a+2 b. 不等式两端都是指数式,它们的值均为正数,可考虑用求商比较法. ∵aabb>0,(ab)a+2 b>0, ∴ abaabba+2 b=aa-2 b·bb-2 a=???ab???a-2 b. 当 a=b 时,显然有???ab???a-2 b=1; 当 a>b>0 a a-b 时,b>1, 2 >0, ∴由指数函数单调性,有???ab???a-2 b>1; 当 b>a>0 a a-b 时,0<b<1, 2 <0, ∴由指数函数的单调性,有???ab???a-2 b>1. 综上可知,对任意实数 a,b,都有 aabb≥(ab)a+2 b. 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时,常采用作商比较法,用作商比较法时, 如果需要在不等式两边同乘某个数,要注意该数的正负,且最后结果与 1 比较. 2 3.设 a>b>0,求证:aa22- +bb22>aa- +bb. a2-b2 a-b a-b a+b 2- a2+b2 2ab a-b 证明:法一:a2+b2-a+b= a2+b2 a+b = a2+b2 a+b >0, ∴原不等式成立. 法二:∵a>b>0,故 a2>b2>0.故不等式左边>0,不等式右边>0. 左边 a+b 2 2ab ∴右边= a2+b2 =1+a2+b2>1.∴原不等式成立. 4.如果 a,b 都是正数,且 a≠b,求证 a6+b6>a4b2+a2b4. a6+b6 证明:法一:∵a4b2+a2b4 a2+b2 a4-a2b2+b4 a4+b4-a2b2 = a2b2 a2+b2 = a2b2 2a2b2-a2b2 > a2b2 =1.又 a6+b6>0,a4b2+a2b4>0, ∴a6+b6>a4b2+a2b4. 法二:a6+b6-a4b2-a2b4=a4(a2-b2)+b4(b2-a2) =(a2-b2)(a4-b4)=(a2-b2)2(a2+b2).∵a≠b, ∴(a2-b2)2>0,a2+b2>0,∴(a2-b2)2(a2+b2)>0. ∴a6+b6>a4b2+a2b4. 比较法的实际应用 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时 间以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走.如果 m≠n,问: 甲、乙二人谁先到达指定地点? 先用 m,n 表示甲、乙两人走完全程所用时间,再进行比较. 设从出发地点至指定地点的路程为 s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为 t1, t2 ,依题意有: t21m+t21n=s, 2sm+2sn=t2. ∴t1=m2+sn,t2=s m+n 2mn . ∴t1-t2=m2+sn-s m+n 2mn 3 s[4mn- m+n 2] s m-n 2 = 2mn m+n =-2mn m+n . 其中 s,m,n 都是正数,且 m≠n, ∴t1-t2<0,即 t1<t2. 从而知甲比乙先到达指定地点. 应用不等

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