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必修4三角函数复习课件

时间:2015-05-05


三角函数复习
主 三角函数的相关概念 要 三角变换与求值 内 容 三角函数的图象和性质

高二

王洋

2015年5月5日星期二

一、角的有关概念
1、角的概念的推广

y

? 的终边
正角 零角
x

? ? (??,??)
? 的终边
2、角度与弧度的互化

o

负角

? ? 180?

180 1弧度 ? ( )? ? 57.30? ? 57?18, π π 1? ? 180

二、弧长公式与扇形面积公式
1、弧长公式:

l = ? ?r
1 S= ? ? r 2

R

L

2、扇形面积公式:

α

l

1 S= ? ? ? r2 2

三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 2、象限角、象间角与区间角的区别

y
O

?2k? ,2k? ? ? ? ?k ? Z ?
y y

x

3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式

y

?
O

x

?
O

x

?
O

x

2k? ? ? ?k ? Z ?

k? ? ? ?k ? Z ?

k? ? ? ?k ? Z ? 2

四、任意角的三角函数定义

y

P(x,y)


?的终边

r

y x y sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r x

o
2

x

r? x ?y

2

三角函数值的符号:“第一象限全为正,二正三切四余弦”

五、同角三角函数的基本关系式
商关系:
sin ? tan ? ? cos ? cos ? cot ? ? sin ?

平方关系:

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1

典型例题
例 1. 若α是第三象限的角,问α/2 是哪个象限的 角?2α是哪个象限的角?

各个象限的半角范围可以用下图记 忆,图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围;

例2.已知sinα=0.8,求tanα.
方法指导:此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值,又知角所在象限,有 一解. (2)已知一个角的某三角函数值,但不知角所在象限, 有两解.

一、诱导公式
诱导公式一 cos(? ? k ? 2? ) ? cos ?
tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ? sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ?

诱导公式六

诱导公式二 sin( ? ? ? ) ? ? sin ?

cos(? ? ? ) ? ? cos ?

公式记忆

诱导公式三 sin( ?? ) ? ? sin ?, cos( ?? ) ? cos ? . 诱导公式四 诱导公式五
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ?

(把α看成锐角)

符号看象限

用诱导公式求值的一般步骤
任 意 负 角 或公式一 任 意 正 的三角函 角 的 三 数 用公式三 角函数 用公式一 0° 到 360° 的角的三角 函数

用公式二 或四或五

锐角 三角 函数

求 值

可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”

解题分析
1.在利用诱导公式求三角函数的值时,一定要注意符号 2。三角变换一般技巧有 ①切化弦, ②降次, ③变角, ④化单一函数, ⑤妙用1, ⑥分子分母同乘除,

方法不当就会很繁,只能通过总结积累解题经验, 选择出最佳方法.

(一)三角函数的图象与性质
y=sinx y
图 象 定义域 值 域 性 周期性 奇偶性 1
?

y=cosx y 1
3? 2

?
2

-1

o

?
2

?

2? x

?? ? ?

2

o -1
R

?
2

?

3? 2

2? x

R

[-1,1]
T=2

?
?

[-1,1]
T=2 偶函数

?

奇函数

质 单调性 [2k? ? 2 ,2k? ? 2 ]增函数 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ]减函数 2 2

?

[2k? ? ? ,2k? ]增函数 [2k? ,2k? ? ? ]减函数

3、正切函数的图象与性质
y=tanx y 图 象
3? ? 2

?? ? ?

o

?
2

2

?

3? 2

x

定义域 {x | x ? k? ? 值域 周期性 R

?
2

, k ? N}

T ??
?
, k? ? )( k ? Z ) 2 2

奇偶性 奇函数

单调性 (k? ?

?

2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(A>0,
第一种变换:

?

>0 )

y ? sin x

图象向左( ? 向右(?

?0

)或

?

0 ) 平移| ? | 个单位

y ? sin(x ? ? )
1


横坐标伸长( 0 ? ? ? 1 )或缩短( ?
纵坐标不变

? 1 )到原来的 ?

y ? sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

第二种变换:

横坐标不变

y ? A sin(?x ? ? )
1


y ? sin x

? 横坐标伸长(0 ? ? ? 1 )或缩短(
图象向左( ?
向右(? 纵坐标不变 ?0 )或

? 1 )到原来的 ?

y ? sin ?x

?

0 ) 平移 | ? | 个单位
?

y ? sin(?x ? ? )
y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

横坐标不变

(二) y=Asin(ωx+φ)的相关问题
1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法 法一:五点法
列表取值方法:是先对ωx+φ取 0,π/2,π,3π/2,2π

法二:图象变换法 2、y=Asin(ωx+φ)关于 A、ω、φ的三种变换 (1)振幅变换(对A)

(2)周期变换(对ω)
(3)相位变换(对φ)

3、求y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法
1、 先 由 图 象 确 定 A与 T
2? 2、 由 ω= 求 ω T 3、 特 殊 点 代 入 法 求

?

4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的对称中心 和对称轴方程 ? 2k?+?-2? 对 称 轴 : ωx+ ? =k?+ ?x= 2 2ω k?-? 整 数 ? 对 称 中 心 : ,0 ?k为 ω

?

?

3.下列函数中,周期为 的偶函数是 ( 2 A. y=sin4x B.y=cos4x C.y=tan2x

?



B

D.y=cos2x

5.函数f(x)=sinx-cosx的最大值是
A. 2 B. 1 C.
2 2

( )

D

D.

2
) 的图象的一条对称轴是直线
C. x= -? D.5?
4

5? 6 .函数 y=sin(2x+ 2 ( )

B

A. x= -

?

4

B. x= ?

8

2

? 13.函数y=2cos(2x- )的一个单调区间是 ( 6 ? 5? ? ?, ?] ? 7 ? , ]B.[ A.[] C.[,0] D. [, 12 12 2 2 2 12 12

A)

? 14.将函数y=sinx的图象向左平移 (单位长),再把所 3 得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,则最后得到 x ? A. y=sin( + ) 2 3
C.y=sin( x +? ) 3 3

的曲线的解析式为 (

? B.y=sin(2x- ) 3

A)

? D.y=sin(3x+ ) 3

课堂练习
1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)

(C)y=sin(x/2+π/6)

(D)y=tan(x+π/6)

则同时具有以下两个性质的函数是( ①最小正周期是π 称.

A

)

②图象关于点(π/6,0)对

2. 关于函数 f(x)= 2 sin(3x-3π/4 ) ,有下列 命题: ①其最小正周期是2π/3; ②其图象可由 y=2sin3x 向左平移π/4 个单位 得到; ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4); ④在x∈[π/12,5π/12]上为增函数. ①④ 其中正确的命题的序号是_________

? 3、 求 函 数 y=sin -3x 的 单 调 递 增 区 间 。 4 2k? ? 2k? 7? ?k为 整 数 ? + , + 3 4 3 12

?

? ? ?

课堂练习
1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)

(C)y=sin(x/2+π/6)

(D)y=tan(x+π/6)

则同时具有以下两个性质的函数是( ①最小正周期是π 称.

A

)

②图象关于点(π/6,0)对

三角函数部分题型
一、概念题:
1、任意角的概念 2、弧度制概念 3、任意角的三角函数概念; 4、周期 5、三角函数线 概念是逻辑判断的依据,是数学分析、理解的基础
二、考查记忆、理解能力题 如:简单的运用诱导公式 要求做到:记忆熟悉、计算细心、答案正确 三、求值题 1、特殊角、非特殊角的三角函数求值题

三、三角函数的图象与性质题 1、求定义域(注意与不等式的结合) 2、求值域题 4、奇偶性 3、求周期 5、单调性:如求单调区间、比较大小 四、图象变换题 1、画图和识图能力题:如:描点法、 五点法作图、变换法

2、已知图象求解析式(五点法作图的应用)

例1(90年,上海) α α 设α 角是第二象限且满足 | cos |? ? cos , 2 2 α 则 角属于( C )A.第-象限; B.第二象限; 2 C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.

1、(02年)在 ? 0, 2? ?内使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围是( C ) ? ? 5? ? ( A)( 4 , 2 ) ? (? , 4 )( B)( 4 , ? )

(C )( 4 , )( D)( 4 , ? ) ? ( , ) 2、(00年)函数 y ? ? x cos x 的部分图 象是( D )
?
5? 4

?

5? 4

3? 2

y

y

y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

( A)

( B)

(C )

( D)

例9、(98年)关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? )( x ? R) 有 3 下列命题: ① y ? f ( x) 的表达式可改写为 ③ y ? f ( x) 的图象关于点

?

② y ? f ( x)是以2? 为最小正周期的周期函数
? ? ? ? ? ,0? ? 6 ?

?? ? y ? 4cos ? 2 x ? ? 6? ?

对称
6

④ y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称

?

①③ 其中正确的命题序号是。


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