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高中理科数学解析几何解题方法总结

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解析几何问题的题型与方法 一.复习目标: 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推 导出直线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当 的方程形式写出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直线的 方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线 性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法 解决线性规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用; 会用线性规划方法解决一些实际问题. 3. 理解“曲线的方程” 、 “方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求 曲线的方程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2(r>0) ,明确方程中各字母的几何意 义,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆 心坐标和半径,掌握圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充 要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方 程,理解圆的参数方程 ? ? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位 ? y ? r sin ? 置关系的判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双 曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程; 能根据条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何 性质:范围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地 画出椭圆、双曲线和抛物线;掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭 圆、双曲线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问 题;理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线 和抛物线位置关系的判定方法. 二.考试要求: (一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、 两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3.了解二元一次不等式表示平面区域。 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法。 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 4.了解圆锥曲线的初步应用。 三.教学过程: (Ⅰ)基础知识详析 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填 空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥 曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲 线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法 ,这一点值得强化。 ............... (一)直线的方程 1.点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ;2. 截距式: y ? kx ? b ; y ? y1 x ? x1 x y ;4. 截距式: ? ? 1 ; ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1 5.一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0. 3.两点式: (二)两条直线的位置关系 两条直线 l1 , l 2 有三种位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有且只有一个公共点) ; 重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交. 设直线 l1 : y = k 1 x + b1 ,直线 l 2 : y = k 2 x + b2 ,则 l1 ∥ l 2 的充要条件是 k 1 = k 2 ,且 b1 = b2 ; l1 ⊥ l 2 的充要条件是 k 1 k 2 =-1. (三)线性规划问题 1.线性规划问题涉及如下概念: ⑴存在一定的限制条件,这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等 式组来表示,称为线性约束条件. ⑵都有一个目标要求,就是要求依赖于 x、y 的某个函数(称为目标函数)达到最大值或 最小值.特殊地,若此函数是 x、y 的一次解析式,就称为线性目标函数. ⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合,叫做可行域. ⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解. 2.线性规划问题有以下基本定理: ⑴ 一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的. ⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程 ,称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b) ,半径为 r. ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0) 2 2 2 特别地,当圆心在原点(0,0) ,半径为 r 时,圆的方程为 x ? y ? r . 2.圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0)称为圆的一般方程,

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