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高等代数教学大纲

时间:2015-05-02


《高等代数》教学大纲
一、总则
高等代数是数学系各专业开设的一门基础课。它不仅是应用学科的重要工具课,而且在 近代数学理论中也是一门很重要的理论基础课,特别是随着当今电脑科技的发展,更加显示 出高等代数作用。因此,高等代数的教学内容需要进一步充实,教学大纲也需要修订。本教 学大纲是依据全国通用《高等代数教学大纲》并根据我校实际情况进行修订的。较原大纲更 详细,具有一定的指导性。 1、本课程的教学目的和要求: 本课程的教学目的和要求是通过这门课的学习,使学生不仅能掌握一些处理问题的基本 方法,而且能使他们对于高等代数的基础理论有一个深刻了解,从而为进一步学习专业课打 下良好的基础。培养学生独立思维能力和解决实际问题能力。 2、本课程的主要内容: 本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及行列 式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ 一矩阵、欧几里得空间和双线性 函数,还介绍了代数基本概念。 3、教学重点与难点: 本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。多项式理论以一元多项式的因式分 解唯一性定理为主体介绍了有关多项式方程的一些必要的知识,为后继课提供准备;线性代 数部分则较为系统地介绍了线性方程组,线性空间与线性变换理论。本课程的难点有行列式 的 Laplace 定理的展开定理,线性变换的值域与核、线性空间按特征值分解成不变子空间的 直和,λ 一矩阵和 Jordan 标准形的推导等,这些可根据不同专业选讲。 4、本课程的知识范围及与相关课程的关系: 本课程是初等代数的继续与提高,在此基础上可继续学习后续课:近世代数、多重线性 代数、微电脑方面及运筹方面的知识。 5、教材的选用: 本课选用的教材是北京大学教学系主编的《高等代数》第三版。

二、课程内容及学时分配
本课程讲授时间为一学年共 144 学时,习题课 36 学时,共 180 学时。 第一章 多项式(20 学时) 1、教学内容:介绍本章的重要定理:因式分解及唯一性定理和复系数、实系数多项式
1

因式分解定理, 并把有理系数多项式的因式分解问题归纳为整系数多项式的因式分解来讨论。 2、教学目的及要求:通过本章学习,使学生掌握带余除法、因式分解定理、复系数与 实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。 3、教学重点:以因式分解及唯一性定理和有理系数多项式为重点。 4、教学难点:有理系数多项式为难点。 5、各章节教学时间分配及进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1 数域(2 学时) (一) (二) 数集 数域

§ 2 一元多项式(2 学时) (一) (二) 有关多项式的概念 多项式的代数性质

§ 3 整除的概念(2 学时) (一) (二) (三) 整除概念 整除性几个常用性质 不可约多项式

§ 4 最大公因式(2 学时) (一) (二) (三) (四) 最大公因式的定义及唯一性 最大公因式的存在性及求法 互素的概念 最大公因式、互素概念的推广

§ 5 因式分解定理(2 学时) (一) (二) 不可约多项式及其性质 因式分解唯一性定理

§ 6 重因式(1 学时) (一) (二) (三) 一些概念:重因式、单因式、微商等 重因式的判别及求法 去掉因式重数的方法

§ 7 多项式函数(1 学时)
2

(一) (二)

多项式的根 多项式的根的个数

§ 8 复系数与实系数多项式的因式分解(1 学时) (一) (二) 复数域上多项式的分解 实数域上多项式的分解

§ 9 有理系数多项式(2 学时) (一) 有理系数多项式的根

1)本原多项式及 Gauss 引理 2)确定整系数多项式有理根的范围 3)求有理系数多项式根的方法 (二) Eisenstein 判别法

§ 10 多元多项式(2 学时) (一) (二) (三) (四) 基本概念 多元多项式中单项式的排列次序 两个结论(关于乘积首项和次数) 多元多项式函数

§ 11 对称多项式(2 学时) (一) (二) (三) 基本概念、对称多项式环、初等对称多项式 对称多项式的基本定理 一元多项式的判别式

第二章 行列式(12 学时) 1、教学内容:定义了 n 阶行列式,给出行列式的七个性质和 Gramer 法则、Laplace 定 理。 2、教学目的和要求:通过本章学习,使学生熟练掌握计算行列式的三种方法:利用定 义、利用性质、降阶,并会运用 Gramer 法则求线性方程组的解。 3、教学重点:重点讲授 n 阶行列式的定义和一些计算技巧及关于 Gramer 法则应用要强 调解方程组的前提条件。 4、教学难点:Laplace 定理,行列式乘法规则。 5、各章节教学时间分配及进度安排: 6、主要教学环节的组织:
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§ 1 引言 § 2 排列(1 学时) (一) (二) 基本概念: 排列的奇偶性 n 级排列,逆序数,偶(奇)排列,对换

§ 3 n 级行列式(1 学时) (一) (二) 一般行列式的定义 行与列的地位是对称的

§ 4 n 级行列式的性质(2 学时) (一) (二) 行列式的性质 应用实例

§ 5 行列式的计算(2 学时) (一) (二) 矩阵的初等变换 行列式计算

§ 6 行列式按一行(列)展开(2 学时) (一) (二) 行列式按一行展开的性质 展开性质的应用

§ 7 Cramer 法则(1 学时) § 8 Laplace 定理、行列式乘法法则(2 学时) (一) (二) Laplace 定理 行列式乘法规则

第三章 线性方程组(18 学时) 1、教学内容:通过引入向量和矩阵两种工具,本章完整地解决了一般线性方程组的存 在及如何求解问题。 2、教学目的及要求:使学生掌握 n 维向量的线性运算及线性方程组的求解方法。 3、教学重点:以线性相关性概念及线性方程组有解判定定理为重点。 4、教学难点:线性相关性理论和线性方程组解的理论为难点。 5、各章节教学时间分配及进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1 消元法(2 学时) (一) 方程组的初等变换
4

(二)

方程组的有解判别

§ 2 n 维向量空间(2 学时) (一) (二) n 维向量概念 n 维向量的运算

§ 3 线性相关性(4 学时) (一) (二) (三) 一些概念:线性组合、向量组等价、线性相关(无关) 线性相关性的判定 极大线性无关组及向量组的秩

§ 4 矩阵的秩(2 学时) (一) (二) 矩阵的秩 矩阵秩的求法

§ 5 线性方程组有解判定定理(2 学时) (一) (二) 有解判定定理 线性方程组解的求法

§ 6 线性方程组的结构(4 学时) (一) (二) (三) 齐次线性方程组解的结构 一般线性方程组解的结构 线性方程组解的几何意义

§ 7 二元高次方程组(2 学时) (一) (二) 两个多项式的结式 二元高次方程组的解法

第四章 矩阵(14 学时) 1、教学内容:引入矩阵和初等变换的概念、基本运算,对逆矩阵和分块矩阵进行了详 尽描述。 2、教学目的及要求:使学生熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用。 3、教学重点:矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。 4、教学难点:理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。 5、各章节教学时间分配进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1 矩阵的概念(1 学时)
5

§ 2 矩阵的运算(2 学时) § 3 矩阵乘积的行列式与秩(1 学时) § 4 矩阵的逆(2 学时) (一) (二) (三) 可逆矩阵 可逆矩阵的性质 可逆矩阵的两个应用

§ 5 矩阵的分块(2 学时) (一) (二) 分块矩阵的乘积 分块矩阵的应用

§ 6 初等矩阵(2 学时) (一) (二) 初等矩阵与初等变换 逆矩阵的求法

§ 7 分块乘法的初等变换及应用举例(2 学时) (一) (二) 分块乘法的初等变换 应用举例

§ 8 广义逆矩阵 (一) (二) 广义逆的定义 广义逆与线性方程组解的关系

第五章 二次型(12 学时) 1、教学内容:通过二次型和正定二次型的概念的讲解,全面讨论二次型化标准形的方 法和正定二次型的判定。 2、教学目的及要求:使学生掌握用非退化线性替换,化二次型为标准形及判断二次型 的正定性。 3、教学重点:以配方法和初等变换法化标准形和正定性的判别为重点。 4、教学难点:化标准形和正定性的判别为难点。 5、各章节教学时间分配进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1 二次型的矩阵表示(2 学时) (一) (二) 二次型及二次型矩阵 替换前后二次型矩阵的关系
6

§ 2 标准形(4 学时) (一) (二) 二次型的标准形 求标准形的方法

1)、配方法 2)、初等变换法 § 3 唯一性(2 学时) (一) (二) (三) 二次型的秩 实二次型的规范形 复二次型的规范形

§ 4 正定二次型(4 学时) (一) (二) (三) 正定二次型及其性质 正定性的判别 与正定二次型平行的几个类型

第六章 线性空间(14 学时) 1、教学内容:通过介绍基本概念,引出基变换和坐标变换,对线性空间和子空间进行 了详尽地分析。 2、教学目的及要求:以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念,让学生搞清线性 空间的基本结构,会进行一些基本运算。 3、教学重点:以线性空间维数和基的求解为重点。 4、教学难点:难点为对同构和直和的理解。 5、各章节教学时间分配进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1 集合、映射(2 学时) § 2 线性空间的定义及简单性质(2 学时) § 3 维数、基与坐标(2 学时) (一) (二) 线性相关性及几个结论 维数、基与坐标

§ 4 基变换与坐标变换(2 学时) (一) (二) 基变换与坐标变换 关于过渡矩阵的求法
7

§ 5 线性子空间(1 学时) (一) (二) 线性子空间及其判别 生成子空间

§ 6 子空间的交与和(2 学时) (一) (二) (三) 子空间的交与和定义 维数公式 子空间交与和的求法

§ 7 子空间的直和(1 学时) § 8 线性空间的同构(2 学时) (一)同构的概念 (二)同构的性质 第七章 线性变换(19 学时) 1、教学内容:引入线性变换后,研究线性变换与矩阵的关系,矩阵对角化的方法并引 入了线性变换的值域与核。 2、教学目的及要求:通过研究线性变换,要求学生在理解概念的基础上熟练掌握线性 变换在某基下的矩阵的求解。 3、教学重点:以线性变换在不同基下矩阵的关系,矩阵的对角化及不变子空间为重点。 4、教学难点:线性变换在不同基下对应不同的矩阵,线性变换的值域与核,线性空间 按特征值分解成不变子空间的直和,为本章难点。 5、各章节教学时间分配进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1 线性变换定义(1 学时) § 2 线性变换的运算(2 学时) (一) (二) 运算及运算规律 线性变换多项式

§ 3 线性变换矩阵(学时) (一) 线性变换在一组基下的矩阵

1) 线性变换与其在一组基下矩阵的关系 2) 坐标变换公式 (二)线性变换在不同基下的矩阵
8

1) 线性变换在不同基下的矩阵的关系 2) 相似矩阵的性质 § 4 特征值、特征向量的定义 (一) (二) 特征值、特征向量的求法 特征多项式的性质

§ 5 对角矩阵(2 学时) (一) (二) 某组基下的矩阵为对角阵的线性变换 相似对角阵及所对应基的求法

§ 6 线性变换的值域与核(2 学时) (一) (二) 值域与核的定义及其性质 值域与核的求法

§ 7 不变子空间(2 学时) (一) (二) (三) 不变子空间举例 不变子空间与线性变换矩阵化简的关系 V 的分解

§ 8 Jordan 标准形介绍(1 学时) § 9 最小多项式(2 学时) (一)最小多项式及其基本性质 (二)最小多项式的求法 (三)利用最小多项式判别一个矩阵是否可对角化 第八章 λ-矩阵(9 学时) 1、教学内容:讨论复数域上任意矩阵的相似标准形推导过程以及λ-矩阵的有关理论。 2、教学目的及要求:掌握λ一矩阵的标准形唯一性和矩阵相似的条件。 3、教学重点:化λ一矩阵成标准形及求不变因子。 4、教学难点:Jordan 标准形的理论推导为难点。 5、各章节教学时间分配进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1λ一矩阵(1 学时) § 2λ一矩阵在初等变换下的标准形(1 学时) § 3 不变因子(2 学时)
9

(一) (二) (三) (四)

行列式因子 标准形的唯一性 不变因子 λ一矩阵可逆、等价的充要条件

§ 4 矩阵相似的条件(1 学时) § 5 初等因子(2 学时) (一)不变因子与初等因子的关系 (二)初等因子的求法 § 6 Jordan 标准形的推导(2 学时) 第九章 欧几里得空间(12 学时) 1、教学内容:在线性空间引入内积,得到欧几里待空间,进而对欧几里得空间的结构 及变换进行了讲解。 2、教学目的及要求:使学生掌握欧氏空间的度量性质,正交变换和对称变换。 3、教学重点:以内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形为重点。 4、教学难点:标准正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形为难点。 5、各章节教学时间分配进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1 定义与基本性质(2 学时) (一) (二) 一些概念 度量矩阵

§ 2 标准正交基(2 学时) (一) (二) 标准正交基的存在性及求法 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵

§ 3 同构(1 学时) § 4 正交变换(1 学时) § 5 正交空间(1 学时) (一) (二) 正交子空间的性质 正交补

§ 6 对称矩阵的标准形(2 学时) (一) 实对称矩阵与对称变换
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(二) (三)

用正交矩阵化实对称矩阵为对角形 二次型的化简及二次曲面分类

§ 7 向量到子空间的距离,最小二乘法(2 学时) § 8 酉空间介绍(1 学时) 第十章 双线性函数(12 学时) 1、教学内容:引入对偶空间,研究双线性函数和对称双线性函数在基下的度量矩阵。 2、教学目的及要求:使学生了解双线性出函数及有关问题。 3、教学重点:以对偶空间、双线性函数及度量矩阵为重点。 4、教学难点:难点为对非退化及对偶空间的理解。 5、各章节教学时间分配进度安排: 6、主要教学环节的组织: § 1 线性函数(1 学时) § 2 对偶空间(2 学时) (一) (二) (三) 对偶空间,对偶基 两组基的对偶基之间关系 线性空间与其对偶空间的关系

§ 3 双线性函数(2 学时) (一) (二) 双线性函数及度量矩阵 非退化双线性函数

§ 4 对称双线性函数(2 学时) (一) (二) (三) 对称双线性函数 二次齐次函数 反对称双线函数

第十一章 代数基本概念介绍(7 学时) 1、教学内容:在引入群定义、性质后,又介绍子群和群的同构,并简要介绍了环和域。 2、教学目的及要求:使学生对群、环、域有初步了解,为近世代数的学习打基础。 3、教学重点:重点掌握群的定义和性质。 4、教学难点:Gayley 定理为难点。 5、各章节教学时间分配进度安排: 6、主要教学环节的组织:
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§ 1 群的定义与例子(1 学时) § 2 群的简单性质,子群(1 学时) § 3 同构(1 学时) (一) (二) 同构概念 Caylay 定理

§ 4 环与域(2 学时)

三、教学参考书
1、张禾瑞、郝炳新的《高等代数》 , 2、复旦大学的《高等代数》 、 3、因孝贵等编的《高等代数》 。

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