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点、直线、平面之间的位置关系单元测试

时间:2014-03-15

点、直线、平面之间的位置关系单元测试
撰稿:赵代立 责编:丁会敏 (时间:90 分钟,满分:100 分)

单元测试 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)
1.若直线 不平行于平面 ,则下列结论成立的是( ) A. 内所有的直线都与 异面; B. 内不存在与 平行的直线; C. 内所有的直线都与 相交; D.直线 与平面 有公共点.

2. (2010 湖北)用 、 、 表示三条不同的直线, 表示平面,给出下列命题: ①若 ∥ , ∥ ,则 ∥ ;②若 ⊥ , ⊥ ,则 ⊥ ; ③若 ∥ , ∥ ,则 ∥ ;④若 ⊥ , ⊥ ,则 ∥ . 其中真命题的序号是 ( ) A.①② B.②③ C.①④

D.③④

3.空间四边形 ABCD 中,若 角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

,则 AC 与 BD 所成

4. 给出下列命题: (1)直线 与平面 (2)直线 与平面 (3)异面直线 不平行,则 与平面 不垂直,则 与平面 内的所有直线都不平行; 内的所有直线都不垂直;

不垂直,则过 的任何平面与 都不垂直;

(4)若直线 和 共面,直线 和 共面,则 和 共面. 其中错误命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( )条 A.3 B. 4 C. 6 D. 8 6.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB、CD 在原正方体中的位置关系是( )

A.平行

B.相交且垂直

C.异面直线

D.相交成 60°角

7.点 P 为△ABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC,则点 O 是△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

8.如图长方体中,

,则二面角 C1—BD—C 的大小为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9. (2010 广东六校,模拟)设 m,n 是两条不同的直线, 给定下列四个命 题,其中为真命题的是



是两个不重合的平面,

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

10.平面 A.

与平面

平行的条件可以是( ) 平行; ,且 B.直线 D. 内的任何直线都与 平

内有无穷多条直线与 ,直线

C.直线 行

11.

是异面直线,下面四个命题: ①过 至少有一个平面平行于 ; ②过 至少有一个平面垂直于 ; ③至多有一条直线与 都垂直;④至少有一个平面与 都平行.

其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

12.在下列四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.已知直线 //平面 ,平面 //平面 ,则 与 的位置关系为_______________.

14.已知直线 ⊥直线 b,

//平面

,则 与

的位置关系为_______________.

15.如图,ABC 是直角三角形, 个直角三角形.

ACB=

,PA

平面 ABC,此图形中有________

16. 断: ①

是两个不同的平面,

是平面



之外的两条不同直线,给出四个论







以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: _________.

三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 9 分,共 36 分)
17. (2010 东北四校联考, 模拟) 如图, 三棱柱 △ABC 是边长为 2 的正三角形,点 P 在 (1)证明:P 为 (2)若 中点; ,求三棱锥 的体积. 上,且 . 中, 侧棱 底面 ABC,

18. (2011 湖北理 18) 如图,已知正三棱柱 的中点,动点 (Ⅰ)当 (Ⅱ)设二面角 在侧棱 上,且不与点 重合. ; 的大小为 ,求

的各棱长都是 4, 是

时,求证:

的最小值.

19. (2010 北京西城一模)在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD, E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD =2. (Ⅰ)求证:BE∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PBD; (Ⅲ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, 45°. λ ,试确定λ 的值,使得二面角 Q-BD-P 为

20.如图,已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,

E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 (1)求证:不论 为何值,总有平面 BEF⊥ABC;

.

(2)当

为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

参考答案 一、选择题
1.D 2. C 解析:由公理 4 知①是真命题.在空间 是假命题. 由 直的性质定理, 故选 C. 3.D 4.D 5.C 6.D 展开图复原可构造等边三角形. 7.B 提示:可证 Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,∴OA=OB=OC,所以点 O 是三角 形 ABC 的外心. (1)(2)(4)错误,(3)正确. , ,不能判定 a、b 的关系,故③是假命题.④是直线与平面垂 , ,直线 a、c 的关系不确定,故②

8.A 提示:取 BD 中点 O,连结 C1O,CO,∠C1OC 即为所求二面角的平面角.

9. B 解析:由直线与平面垂直的判定定理和性质定理可知②和③正确.①中 m 还可能在 内, 或者是平面 的一条斜线;④中 m、n 还有可能异面.故选 B. 10.D 11.C ①④正确. 12.A 由线面垂直得线线垂直.

二、填空题
13.平行或在平面内; 14. 平行或在平面内; 15.4 Rt△PAB,Rt△PAC,Rt△PBC,Rt△ABC. 16.若②③④则①

三、解答题
17.解析: (1)证明:取 AB 中点 Q,∴ CQ⊥AB. 又∵ AB⊥CP, ∴ AB⊥平面 CPQ, ∴ AB⊥PQ, ∴ P为 的中点.

(2) 连结 ∴ ∴

, 取 AC 中点 R 连结 , ,

、 BR, 则 BR⊥平面

, 由已知



∴ ∴ 由 AC=2,得 ∵ , , .











18.解:过 E 作

于 N,连结 EF. ,由直棱柱的性质知, . ,且 ,NF 为 EF 在侧面 =1, 底面 ABC, 内的射影,

(I)如图 1,连结 NF、 底面 ABC⊥侧面 又底面 所以 在 侧面 侧面 中,

则由 又 故

,得 . .



由三垂线定理知 (II)如图 2,连结 AF,过 N 作 由(I)知 所以 设 侧面

于 M,连结 ME. ,根据三垂线定理得 ,

是二面角 C—AF—E 的平面角,即

在 在

中,





,∴



故当

,即当

时,

达到最小值;

,此时 F 与 19.解析:(Ⅰ)取 PD 的中点 F,连结 EF,AF,

重合.

因为 E 为 PC 中点,所以 EF∥CD,且 EF=

CD=1,

在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=1, 所以 EF∥AB,EF=AB,四边形 ABEF 为平行四边形, 所以 BE∥AF, 又∵ BE 平面 PAD,AF 平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (Ⅱ)平面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,所以 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD. 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0), P(0,0,1). (1,1,0), 所以 (-1,1,0),

=0,BC⊥DB,

又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥BC, 所以 BC⊥平面 PBD. (Ⅲ)平面 PBD 的法向量为 (0,2,-1), =(-1,1,0), λ ,λ ∈(0,1)

所以 Q(0,2λ ,1-λ ), 设平面 QBD 的法向量为 n=(a,b,c), (1,1,0), (0,2λ ,1-λ ),

由 n·

0,n·

0,得



所以



所以 ∵ ,∴ .



20.证明:(1)因为 AB⊥平面 BCD, 所以 AB⊥CD. 因为 CD⊥BC,且 所以 CD⊥平面 ABC. ,

又因为 所以不论

, 为何值,恒有 EF∥CD,

所以 EF⊥平面 ABC, 又 EF 平面 BEF, 所以不论 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC.

(2)由(1)知,BE⊥EF. 又平面 BEF⊥平面 ACD, 所以 BE⊥平面 ACD, 所以 BE⊥AC. 因为 BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, 所以 所以 , . ,



,得



所以

.

故当

时,平面 BEF⊥平面 ACD.


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