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第10章 圆锥曲线双曲线及其性质(理科)

时间:2017-09-22

第2节
题型 116 双曲线的定义与标准方程
2

双曲线及其性质

1.(2013 江西理 14)抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,其准线与双曲线 交于 A, B 两点,若 △ ABF 为等边三角形,则 p ? 2.(2013 陕西理 11) 双曲线 .

x2 y 2 ? ?1相 3 3

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 ,则 m 等于 4 16 m

.

3. (2013 广东理 7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ?3,0? ,离心率等于 双曲线 C 的方程是( ).

3 ,在 2

x2 y 2 A. ? ?1 4 5

x2 y 2 ? ?1 B. 4 5

x2 y 2 ? ?1 C. 2 5

x2 y 2 D. ? ?1 2 5

4.(2014 天津理 5)已知双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : a 2 b2
).

y = 2 x + 10 ,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为(
x2 y 2 =1 A. 5 20
C.

x2 y 2 =1 B. 20 5
D.

3x 2 3 y 2 =1 25 100

3x 2 3 y 2 =1 100 25 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1的 25 9 ? k 25 ? k 9
D.离心率相等

5. (2014 广东理 4) 若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线 ( ). A.焦距相等 B.实半轴长相等

C. 虚半轴长相等

6.(2014 北京理 11)设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 方程为________;渐近线方程为________. 7.(2015 福建理 3)若双曲线 E : 上,且 PF 1 ? 3 ,则 PF2 ? ( A.11 7.解析 B.9

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的 4

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线 E 9 16
). C .5 D.3

由双曲线定义得 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 ,即 3 ? PF2 ? 6 ,得 PF2 ? 9 .故选 B.

8.(2015 广东理 7)已知双曲线 C : 则双曲线 C 的方程为( A. ).

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,且其右焦点为 F2 ? 5,0? , 2 4 a b

x2 y 2 ? ?1 4 3

B.

x2 y 2 ? ?1 9 16

C.

x2 y 2 ? ?1 16 9

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

8. 解析

因为所求双曲线的右焦点为 F2 ? 5,0? , 且离心率为 e ?

c 5 ? , 所以 c ? 5 ,a ? 4 , a 4

所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? 9 ,所以所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 .故选 C. 16 9

9.(2015 天津理 6)已知双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ,且 a 2 b2
).

?

?

双曲线的一个焦点在抛物线 y ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 21 28

x2 y 2 ? ?1 B. 28 21

x2 y 2 ? ?1 C. 3 4

x2 y 2 ? ?1 D. 4 3

x2 y 2 b 9.解析 双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0,b ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? x , a b a
由点 2,3 在渐近线上,所以 双曲线的一个焦点在抛物线 y
2

?

?

b 3 ? , a 2

? 4 7 x 准线方程 x ? ? 7 上,

x2 y 2 ? ? 1 .故选 D. 所以 c ? 7 ,由此可解得 a ? 2 , b ? 3 ,所以双曲线方程为 4 3
10.(2016 江苏 3)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 10. 2 10 解析

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 7 3



c ? a2 ? b2 ? 10 ,故焦距为 2c ? 2 10 . x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的 11. (2016 全国乙理 5)已知方程 2 m ? n 3m 2 ? n 距离为 4 ,则 n 的取值范围是( ).
A. ? ?1,3? B. ?1, 3

?

?

C. ? 0,3?

D. 0, 3

?

?

11. A

解析



x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 ? m 2 ? n ?? 3m 2 ? n ? ? 0 , 2 2 m ? n 3m ? n

得 ?m

2

? n ? 3m2 ,所以焦距 2c ? 2 m2 ? n ? 3m2 ? n ? 4 m ? 4 ,得 m ? ?1 ,
x2 y 2 ? =1? b ? 0 ? ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为 4 b2

因此 ?1 ? n ? 3 .故选 A. 12.(2016 天津理 6)已知双曲线

半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A , B ,C , D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b , 则双曲线的方程为( ).

x2 3 y2 ? =1 A. 4 4
12. D 解析

x2 4 y2 ? =1 B. 4 3

x2 y2 ? =1 C. 4 4

x2 y2 ? =1 D. 4 12

根据对称性,不妨设 A 在第一象限, A ? xA , yA ? ,

? x2 ? y 2 ? 4 ? ? 16 b b 4 4 b? 2 ? ? ,得 b ? 12 . 联立 ? ,得 A ? , ? ? .所以 x A y A ? 2 b 2 2 b ?4 2 2 ? b ?4 b ?4 2? ?y ? x ? 2

x2 y2 ? =1 .故选 D. 故双曲线的方程为 4 12
13. (2016 北京理 13)双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线为正方形 OABC 的边 a 2 b2

OA , OC 所 在 的 直 线 , 点 B 为 该 双 曲 线 的 焦 点 . 若 正 方 形 O A B C的 边 长 为 2 , 则

a ? _______________.

13. 2 解析

可得双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ? x ,所以 a ? b .再由正方形 OABC 的边

长为 2 ,得其对角线的长 OB ? 2 2 ,所以 a2 ? b2 ? (2 2)2 ,解得 a ? 2 . 14.(2017 北京理 9)若双曲线 x 2 ?

y2 ? 1的离心率为 3 ,则实数 m ? _________. m

14. 解析 由题知

1? m ? 3 ,则 m ? 2 . 1

15.(2017 天津理 5)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 2 . a 2 b2
. )

若经过点 F 和点 P(0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线, 则双曲线的方程为 (

A.

x2 y 2 ? ?1 4 4

B.

x2 y 2 ? ?1 8 8

C.

x2 y 2 ? ?1 4 8

D.

x2 y 2 ? ?1 8 4

15.解析 由题意得 a ? b ,

4 ? ?1 ,所以 c ? 4 .又因为 c2 ? a2 ? b2 ? 16 ,所以 a 2 ? 8 , ?c

b2 ? 8 ,则双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 .故选 B. 8 8
x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线方程为 a 2 b2
).

16.(2017 全国 3 卷理科 5)已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 1 有公共焦点,则 C 的方程为( y? x ,且与椭圆 ? 12 3 2
A.

x2 y 2 ? ?1 8 10

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 5 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3
① ②

16.解析 因为双曲线的一条渐近线方程为 y ? 又因为椭圆

b 5 5 x ,则 ? a 2 2

x2 y 2 ? ? 1 与双曲线有公共焦点,易知 c ? 3 ,则 a 2 ? b2 ? c 2 ? 9 12 3 x2 y 2 ? ? 1 .故选B. 4 5

由①,②,解得 a ? 2, b ? 5 ,则双曲线 C 的方程为
题型 117 双曲线的渐近线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 1.(2013 江苏 3)双曲线 16 9
2

.

y 2. (2013 四川理 6)抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ? ? 1 的渐近线的距离是( 3
2
2



A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D. 3

3. (2013 福建理 3)双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到渐近线的距离等于( 4
D.

).

2 A. 5

4 B. 5

C.

2 5 5

4 5 5

4.(2014 新课标 1 理 4)已知 F 是双曲线 C : x2 ? my2 ? 3m ? m ? 0? 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. ). C.

3

B. 3

3m

D. 3m

5.(2014 山东理 10)已知 a ? 0, b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 C2 的方程为 a 2 b2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 , C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 a b 2
A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0

).

D. 2 x ? y ? 0

6.(2014 北京理 11)设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 方程为________;渐近线方程为________.

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的 4

7.(2015 安徽理 4)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( A. x ?
2

).

y2 ?1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C.

y2 ? x2 ? 1 4

D. y ?
2

x2 ?1 4

7. 解析 由题可得选项 A,C 的渐近线方程都为 y ? ?2 x ,但选项 A 的焦点在 x 轴上. 故选 C.

8.(2015 北京理 10)已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a2

a?

.

x2 x 2 8. 解析 依题意,双曲线 2 ? y ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? , a a
则?

1 3 ? ? 3 ,得 a ? . a 3
2 2

9. (2015 江苏 12) 在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点. 若 点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 9. 解析 找到 P 到直线 x ?
2 2



y ? 1 ? 0 的最小距离(或取不到) ,该值即为实数 c 的最大值. y ? 0 ,易知 x ? y ? 1 ? 0 与 x ? y ? 0 平行,

由双曲线 x ? y ? 1 的渐近线为 x ?

因此该两平行线间的距离即为最小距离(且无法达到) ,故实数 c 的最大值为

d?

1 2 ? . 2 2
2

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两 10.(2015 四川理 5)过双曲线 x ? 3

条渐近线于 A, B 两点,则 AB ? (

).

]

A.

4 3 3

B. 2 3

C. 6

D. 4 3

10. 解析

由题意可得 a ? 1 , b ? 3 ,故 c ? 2 .

所以渐近线的方程为 y ? ? 3x .将 x ? 2 代入渐近线方程,得 y ? ?2 3 . 则 AB ? 4 3 .故选 D.

11.(2015 浙江理 9)双曲线

x2 ? y 2 ? 1的焦距是 2

,渐近线方程是



11. 解析

因为 c ? 2 ? 1 ? 3 ,所以焦距是 2 3 ,渐近线方程为 y ? ?

2 x. 2

12.(2015 重庆理 10)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,右顶点为 A ,过 a 2 b2

F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B , C 两点,过 B , C 分别作 AC , AB 的垂线,两垂线交
于点 D .若 D 到直线 BC 的距离小于 a ? a2 ? b2 , 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( ). B.

A. ? ?1,0? ? ? 0,1?

? ??, ?1? ? ?1, ???

0 ? 0,2 C. ? 2,
12. 解析

?

? ?

?

D.

? ??,- 2 ? ? ?
y

2,+?

?

根据题意知点 D 一定在 x 轴上,所以点到直线 BC 的距离为 DF ,由图知

B

O

A

F C

D

x

BF ? AF ?DF ,

2

b4 ? a2

?

a 2 ? b2 ? a ?DF ,又因为 DF ? a ? a 2 ? b 2 ,

?

所以 DF ?

a2

?

2 ? a ? a 2 ? b2 ,解出 b ? 1 ,所以 ?1 ? b ? 1 , a 2 ? b2 ? a a a2

b4

?

根据实际情况 b ? 0 ,所以

b ? ? ?1, 0 ? ? ? 0,1? .故选 A. a

y2 ? 1 ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 l b2 ? 过 F2 且与双曲线交于 A , B 两点.若 l 的倾斜角为 , △F1 AB 是等边三角形,求双曲线的 2
13.(2016 上海理 21(1) )双曲线 x 2 ? 渐近线方程; 13.解析 (1)由已知 F1 由题意

??

b2 ? 1,0

? F?

2

b2 ? 1,0

?

,不妨取 x ?

2 b2 ? 1 ,则 y ? b ,

F1F2 ? 3 F2 A ,又 F1F2 ? 2 b2 ? 1 , F2 A ? b2 ,
4

所以 2 b2 ? 1 ? 3b2 ,即 3b

? 4b2 ? 4 ? ? 3b2 ? 2 ?? b2 ? 2 ? ? 0 ,解得 b ? 2 ,
x2 ? y 2 ? 1 的右准线与它的两条渐 3


因此渐近线方程为 y ? ? 2 x . 14.(2017 江苏 08)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

近线分别交于点 P, Q ,其焦点是 F1 , F2 ,则四边形 F1PF2Q 的面积是 14. 解析 双曲线的渐近线方程为 y ? ?

?3 3? 3 3 x ,而右准线为 x ? ,所以 P ? , ?, 2 3 ?2 2 ?

?3 ?1 3? 3? Q? ,? ? ? 2 ? 2 3 .故填 2 3 . ? ,从而 S F1PF2Q ? ? ? 4 ? 2 2 2 2 ? ? ? ?
15.(2017 山东理 14).在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的右支与 a2 b2

2 焦点为 F 的抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 交于 A, B 两点,若 AF ? BF ? 4 OF ,则该双曲线的渐

近线方程为

.

15. 解析 设 A? xA , yB ? , B ? xB , yB ? ,由题意得

| AF | ? | BF |? y A ?

p p p ? yB ? ? 4 ? ? y A ? yB ? p . 2 2 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 pb2 ? a 2 y 2 ? 2 pb2 y ? a 2b 2 ? 0 ,所以 y A ? yB ? 2 ? p ? a ? 2b , 又 ? a 2 b2 a ? x 2 ? 2 py ?
从而双曲线的渐近线方程为 y ? ?

2 x. 2

题型 118

双曲线离心率的值及取值范围

x2 y 2 1. (2013 湖南理 14) 设 F1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上 a b

C 的离心率为___. 一点,若 PF 1 F2 的最小内角为 30 ,则 1 ? PF 2 ? 6a, 且 △PF
?

2.(2013 浙江理 9)如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分 4

别是 C1 , C2 在第二.四象限的公共点.若四边形 AF 1BF 2 为矩 形,则 C2 的离心率是 A.

2
3 2

B.

3
6 2

C.

D.

3 .( 2013 湖 北 理 5 ) 已 知 0 ? ? ?

x y2 π ? ?1 与 , 则 双 曲 线 C1 : 2 4 c o 2s? s i n ?

2

y x2 ? ? 1 的( C2 : sin 2 ? sin 2 ? tan2 ?
A. 实轴长相等

2

). C.焦距相等 D.离心率相等

B.虚轴长相等

4.(2014 重庆理 8)设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,双曲 a 2 b2
9 ab , 则该双曲线的离心率为 ( 4
) .

线上存在一点 P 使得 PF1 ? PF2 ? 3b, PF1 ? PF2 ? A.

4 3

B.

5 3

C.

9 4

D. 3

5.(2014 湖北理 9)已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且

?F1 PF2 ?
A.

π ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 3
B.

).

4 3 3

2 3 3

C.3

D.2

6.(2014 浙江理 14)设直线 x ? 3 y ? m ? 0 ? m ? 0? 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 两条 a 2 b2

渐 近 线 分 别 交 于 点 A, B , 若 点 P ? m,0? 满 足 PA ? PB , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 是 __________. 7.(2015 湖北理 8)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加

m (m ? 0) 个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则(

) .

A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 7.解析 由题意, e1 ? e2 ?
2 2

B. 当 a ? b 时,e1 ? e2 ; 当 a ? b 时,e1 ? e2 D. 当 a ? b 时,e1 ? e2 ; 当 a ? b 时,e1 ? e2

a 2 ? b2 (a ? m)2 ? (b ? m)2 b b ? m m(b ? a) ? ?( ? ) , 2 2 a (a ? m) a a ? m a(a ? m)

当 a ? b 时, e1

2

? e22 ? 0 , e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e12 ? e22 ? 0 , e1 ? e2 .故选 D.

命题意图 考查双曲线的有关概念、性质及比较实数大小的基本方法

8.(2015 湖南理 13)设 F 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的一个焦点,若 C 上存在点 P ,使线 a 2 b2
.

段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为

8. 解析 根据对称性,不妨设 F (c,0) ,短轴端点为 (0, b) ,从而可知点 ( ?c,2b) 在双曲线

上,所以

c 2 4b 2 c ? 2 ?1? e ? ? 5 . 2 a b a

9.(2015 全国 II 理 11)已知 A, B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上, △ ABC 为 等腰三角形,且顶角为 120? ,则的离心率为( A. 5 B. 2 C. ) .

3

D.

2

9. 解析 设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,如图所示, a 2 b2
y

M

A O

B

N

x

? 由 AB ? BM , ?ABM ? 120 ,则过点 M 作 MN ? x 轴,垂足为 N ,

在 Rt△ BMN 中, BN ? a , MN ? 3a ,故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) ,

代入双曲线方程可得 a ? b ? a ? c ,即有 c ? 2a ,所以 e ?
2 2 2 2

2

2

c ? 2 .故选 D. a

命题意图

在圆锥曲线的考查中,双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义

和性质可以求解.本题中要充分利用顶角为 120? 的等腰三角形的性质来求解. 10.(2015 山东理 15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的渐近 a 2 b2

A, B . 若△ OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 线与抛物线 C2 : x2 ? 2 py ? p ? 0? 交于点 O ,
的 离心率为 10.解析 . 由题意,可设 OA 所在直线方程为 y ?

b b x ,则 OB 所在直线方程为 y ? ? x , a a

b ? ? 2 pb 2 pb 2 ? p? ?y ? x , 2 ? ,而抛物线的焦点 F ? 联立 ? ,解得 A ? 0, ? 为 △ ABC 的垂心, a ? a ? ? 2? ? a ? x 2 ? 2 py ?
2 pb2 p 2 ? b ? a2 2 ? ?1 ,所以 b ? 5 , ? ?1 ,所以 ? ? ? ? a2 4 ? a ? 2 pb ? 0 a

所以 kOB ? kAF

所以 e ?
2

c 2 a 2 ? b2 b2 9 3 ? ? 1 ? ? ,所以 e ? . 2 2 2 2 a a a 4
x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? ,若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, a 2 b2
,则 E 的离心率是_______.

11. (2016 山东理 13) 已知双曲线 E :

AB , CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2 AB ? 3 BC
11. 2 解析

由题意, BC ? 2c ,又因为 2 AB ? 3 BC ,则 AB ? 3c ,于是点 ? c,

? 3c ? ? ? 2?

x2 y 2 c 2 9c 2 2 2 2 在双曲线 E 上,代入方程 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 2 ? 1 ,再由 a + b = c 得 E 的离心率为 a 4b a b
e? c ?2. a
x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上, a 2 b2
).

12.(2016 全国甲理 11)已知 F1 , F2 是双曲线 E:

1 MF1 与 x 轴垂直, sin ?MF2 F1 ? ,则 E 的离心率为( 3

A. 2

B.

3 2

C. 3

D.2

12.

A











e?

F1F2 c 2c ? ? a 2a MF2 ? MF1







?M

1

o F 9 F , 0 2 ?

s ? i

1 2 2x M F3 , ?F x? .故选 A. , M nM 1 1 F ?, F2 F1F2 x ? 2 2x ,所以 e ? 2 3x ? x 3

13. ( 2016 四 川 理 19 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 首 项 为 1 , Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 ,

Sn?1 ? qSn ? 1 ,其中 a ? 0 , n ? N* .
(1)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 an 的通项公式; (2)设双曲线 x 2 ?

y2 4n ? 3n 5 e 的离心率为 ,且 ,证明: e ? ? 1 e ? e ? ??? ? e ? 2 n 1 2 n 2 3 3n?1 . an

13.解析 (1)由已知得, Sn+ 1 = qSn + 1 , Sn+ 2 = qSn+ 1 + 1 ,两式相减得到 an+ 2 = qan+ 1 ,

n …1 .又由 S2 = qS1 + 1 得到 a2 = qa1 ,故 an+ 1 = qan 对所有 n …1 都成立.
所以,数列 ?an ? 是首项为1 ,公比为 q 的等比数列.从而 an =qn- 1 . 由 2a2 ,a3 ,a2 +2 成等差数列, 可得 2a3 =3a2 + 2 , 即 2q2= 3 q+ 2 又q> , 则 (2q+1 )( q -2

0 . )=

0 ,所以 q=2 .所以 an = 2n- 1 (n ? N* ) .

(2)由(1)可知, an = q n- 1 . 所以双曲线 x 2 由 e2 = 因为 1+q

y2 2 2( n- 1) . = 1 的离心率 en = 1 + an = 1 + q 2 an
5 4 ,解得 q = . 3 3
,所以 1+q
2( k ?1)

1+ q2 =
2(k- 1)

> q(

2 k- 1)

? q k ?1 ? k ? N* ? .

于是 e1 ? e2 ? ??? ? en ? 1 ? q ? ??? ? q

n ?1

4 ?3 qn ? 1 ? ,故 e1 ? e2 ? ??? ? e3 ? . 3n?1 q ?1
n n

14. ( 2107 全国 2 卷理科 9 )若双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线被圆 a 2 b2
).

? x ? 2?

2

? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为(

A.2

B. 3 取渐近线 y ?

C. 2

D.

2 3 3

14 . 解 析

b 0? 到 直 线 的 距 离 为 x , 化 成 一 般 式 bx ? ay ? 0 , 圆 心 ? 2 , a

3?

2b a ? b2
2

,得 c2 ? 4a 2 , e 2 ? 4 , e ? 2 .故选 A.

15.(2017 全国 1 卷理科 15)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 A ,以 A 为 a 2 b2

圆心,b 为半径作圆 A , 圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ,N 两点.若 ?MAN ? 60? , 则 C 的离心率为________. 15. 解析 如图所示, OA ? a , AN ? AM ? b .因为 ?MAN ? 60? ,所以 AP ?
3 b, 2

OP ?

3 2 2 ? OA ? PA ? a 2 ? b 2 ,从而 tan ? ? OP 4

AP

3 b b 2 .又因为 tan ? ? ,所以 3 a a 2 ? b2 4

3 b 2 b 2 ? ,解得 a2 ? 3b2 ,则 e ? 1 ? b ? 1 ? 1 ? 2 3 . a 3 a2 3 3 a 2 ? b2 4

y

b y= x a M P N θ

O

A

x

题型 119

双曲线的焦点三角形

A 在 C 上,若 1.(2014 大纲理 9)已知双曲线 C 的离心率为 2 ,焦点为 F 1 , F2 ,点

F1 A ? 2 F2 A ,则 cos ?AF2 F1 ? (
A.

).

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3


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