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山东省菏泽第一中学2013年1月份阶段考试试题(数学文)

时间:2013-01-16


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实现资源互补、达到共同发展、进步

菏泽一中阶段性教学效果检测(2013 年 1 月)

数学(文)试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。

“a ? 1” “N ? M ” 1、设 M ? {1,2} 是 的( ,N ? {a2} ,则
A.充分不必要条件 2、复数 z ? B.必要不充分条件 C.充要条件

) D.既不充分又不必要条件 ( ) D.第四象限

1 ? 2i (i为虚数单位) 在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 ) C.第三象限

A.第一象限

3、函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x 的零点有(

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 85 ? 且 A 到 C 的距离为 2km, B 船在灯塔 C 西偏北 25 ? 且 B 到 C 的 距离为 3km ,则 A, B 两船的距离为( A. 2 3 km 5.已知 f ( x) ? A. ? B. 3 2 km ) C. 15 km ) D. 13 km

2

1 ? cos x, 则 f (? ) ? f ?( ) ? ( x 2 3
B.

?

?

C. ?

1

?

D. ?

3

?

6、 已知命题 p : ?x ? (??,0),2 x ? 3x ;命题 q:?x ? R, f ( x) ? x3 ? x 2 ? 6 的极大值为 6.则下 面选项中真命题是( )

(?p) ? (?q) A.

(?p) ? (?q) B.

C. p ? (?q)

D. p ? q

7.在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列,则 B ? ( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

8、已知正三角形 ABC 的顶点 A((1,1), B(1,3), ,顶点 C 在第一象限,若点 ( x, y ) 在 ?ABC 内 部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是( A. (1 ? 3, 2) B. (0,2) ) C. ( 3 ? 1, 2) D. (0,1 ? 3)

9、. 已知平面内一点 P 及 ?ABC ,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与 ?ABC 的位置关系是 ( ) A.点 P 在线段 AB 上
1

B.点 P 在线段 BC 上
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实现资源互补、达到共同发展、进步 D.点 P 在 ?ABC 外部

C.点 P 在线段 AC 上

?log2 x, x ? 0 ? 10、若函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( 1 ? ? 2
( ? ?, ?1 ) ? ( 1, ? ?) (? 1,0) ? (0,1 ) B. A.

)

(? 1,0) ? ( 1, ? ?) D. (? ?, ?1 ) ? (0,1 ) C.

11. 已知对数函数

是增函数,则函数

的图象大致是(



12、定义方程 f ( x) ? f ' ( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x) 的“新驻点” ,若函数

g ( x) ? x, h( x) ? ln(x ? 1),? ( x) ? x 3 ? 1 的“新驻点”分别为 ?,?,? ,则 ?,?,? 的大小
关系为 ( ) B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? 第? 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 D. ? ? ? ? ? A. ? ? ? ? ?

5? 5? , cos ) ,则角 ? 的最小正值为 6 6 ? ? 1 14.在区间 [ ? , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2
13.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin 15.已知 x ? 0, y ? 0,lg 2 ? lg8 ? lg 2 ,则
x y

. . .

1 1 的最小值是 ? x 3y

16、 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 2 2

2 2 侧(左)视图

俯 视 图

正(主)视 图 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。
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17、 (本小题满分 12 分) 在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且 b ? c ? bc ? a
2 2 2

(1)求∠A; (2)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围。
2 2

(18) (本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1, 2,3, 4 , (Ⅰ)从袋中随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n ,求 n<m ? 2 的概率。

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD, AB//DC , △ PAD 是 等 边 三 角 形 , 已 知 BD=2AD=8 ,

AB ? 2DC ? 4 5 .
2 (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

20(本小题满分 12 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) 当年产 量 不 足 80 千 件 时 , C ( x ) ?

1 2 x ? 1 0x (万元) ; 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 时 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ? 1450 (万元) ,每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生 x

产的商品能全部售完。 (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

21.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } , {cn } 满足条件: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1, c n ? (1)求证数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式;
3

1 . (2n ? 1)(2n ? 3)

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(2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ?

1 * 对任意 n ?N 都成立的正整数 m 的最小值 am

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a ) x . 3 2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,求 f ( x) 在区间[0,1]上的最大值。

数学参考答案
1—5 ADBDD 6—10 BCACA 11—12 BA

5? 13. 3
15. 4

14.

1 3
16.

2? ?

2 3 3

17 、解:①由余弦定理 知
2


2

cosA
2



b ?c ?a 2bc



1 2


∴ ?
3



A

??????4 分 ②由正弦定理得:

a b c ? ? ?2 sin A sin B sin C

∴ b = 2sinB , c = 2sinC
2 2
2 2

??????6 分

∴b +c =4(sin B+sin C)=2(1-cos2B+1-cos2C)

2? -B) 3 4? =4-2cos2B-2cos( -2B) 3
=4-2cos2B-2cos2(
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=4-2cos2B-2(- 1 cos2B- 3 sin2B) 2 2 = 4 - cos2B +

3 sin2B =
4 + 2sin(2B -

? ) 6
10 分

?

?????

又∵ 0 <∠ B < ∴? -

?
6

2? 3

< 2B

? 7? < 6 6
∴ ?1<2sin(2B- ∴3<b +c ≤6
2 2

? )≤2 6
??????12 分

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21、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ an?1 ? 2an ? 1 ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,∵ a1 ? 1 , a1 ? 1 ? 2 ? 0 …………2 分 ∴数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 . ∴ an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ∴ an ? 2 n ? 1 (Ⅱ)∵ c n ?
1 1 1 1 ? ( ? ) ………6 分 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
5 5 7 1 1 ? ) 2n ? 1 2n ? 3

…………4 分

∴ Tn ? 1 ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ?
2 3

?

1 1 1 n n . ( ? )? ? 2 3 2n ? 3 3 ? (2n ? 3) 6n ? 9

…………8 分

2 9 ∵ Tn?1 ? n ? 1 ? 6n ? 9 ? 6n ? 15n ? 9 ? 1 ? ? 1 ,又 Tn ? 0 , 2 2 Tn 6n ? 15 n 6n ? 15n 6n ? 15n

∴ Tn ? Tn?1 , n ?N*,即数列 {Tn } 是递增数列. ∴当 n ? 1 时, Tn 取得最小值 要使得 Tn ?

1 .……10 分 15

1 1 1 ? m 对任意 n ? N* 都成立,结合(Ⅰ)的结果,只需 ,由此得 15 2 ? 1 am
…………12 分

m ? 4 .∴正整数 m 的最小值是 5.

22、 解: (Ⅰ)因为 f ' ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? (a2 ? a) ? ( x ? a)[x ? (a ? 1)] ?????2 分 令 f ' ( x) ? 0, 得x1 ? (a ? 1), x2 ? a ,所以 f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(? ?,a)
+ Z

a
0 极大值

(a, a ? 1)


a ?1
0 极小值

(a ? 1,??)
+ Z

f ( x)
??4 分 所以 a ? 1

??????????5 分

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(由 f ' (1) ? 0 得出 a ? 0 ,或 a ? 1 ,在有单调性验证也可以(标准略) ) (Ⅱ)因为 f ' ( x) ? ( x ? 2a ? 1) 2 ? 1
2

????????6 分

4

因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, 所以 f ' ( x ) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? ? k 无实数解 ????????7 分 2 4
所以 k ? ? 1
4

只要 f ' ( x) 的最小值大于 k (Ⅲ)因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对 x ?[0,1] 成立

????????8 分

所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值 f (1) ? a ?

2

1 6

????????9 分

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增 在 x ? (a,1)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 所以当 x ? a 时, f ( x) 取得最大值 f (a ) ?

1 3 1 2 a ? a ??????10 分 3 2

当 a ? 0 时,在 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减 所以当 x ? 0 , f ( x) 取得最大值 f (0) ? 0 ????????11 分

当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增 又 f (0) ? 0, f (1) ? a 2 ? 1 ,
6

当 ?1 ? a ? 当?

6 6

时, f ( x) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ?

2

1 6

6 ? a ? 0 时, 6
6

f ( x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0

当 a ? ? 6 时, f ( x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0.????14 分 综上所述, 当 a ? 1或 ? 1 ? a ? ? 6 时, f ( x) 取得最大值 f (1) ? a 2 ? 1 6 6 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 取得最大值 f (a ) ? 1 a 3 ? 1 a 2
3 2

当 a ? ? 6 时, f ( x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6 当?

6 ? a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6
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