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2011年12月27日(二6、7)等比数列前n项和教案(公开课)

时间:2014-10-05


等比数列前 n 项和
--------2011 年公开课教案--------



校:

广西银行学校 公共基础课 数学 赵玉梅 基础教学部

专业类: 学 科:

执教者: 教学部:

1

课程名称 授课课时 使用教材 学情分析 2 课时 教学对象

§6-2-2 等比数列的前 n 项和
会计 1004 班 授课时间 2011 年 12 月 27 日星期二 6、 7节

人教版中职课程改革国家规划教材《数学》(基础模块)下册 1、知识层面:清楚研究数列的一般思路;掌握等差数列定义、通项公 式及前 n 项和公式;掌握等比数列定义和通项公式。 2、能力层面:知道倒序法推导等差数列前 n 项和公式,会运用数列的 基本计算方法,缺乏探究问题的能力。 3、情感层面:对数列感兴趣,但学习依赖性强,缺乏合作交流的能力。

教学目标

1、知识与技能目标:知道错位相减法推导等比数列的前 n 项和公式; 掌握等比数列的前 n 项和公式;会运用公式解决一些计算问题。 2、过程与方法目标:从探求公式的过程,培养学生建模意识,提高探 究问题的能力;从运用公式的过程,提高学生分析问题和解决问题的能力。 3、情感态度与价值观:培养学生的学习兴趣,树立严谨的治学态度, 锻造知难而进、善始善终的求真意志。

教学重点 教学难点

1、等比数列前 n 项和公式的推导; 2、等比数列前 n 项和公式的简单应用。 1、错位相减法计算 1 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 63 ; 2、错位相减法推导等比数列前 n 项和公式。

教学方法

1、问题探索法 教 法 2、启发式讲授法 3、启发式谈话法

学 法

1、自主探究 2、合作学习 3、实验法

教学准备

1、硬件准备:①教室布置采用鱼骨式,并按组内异质组间同质的原则 把全班分成 8 个学习小组,每组 8 人;②教学用具准备:微型称、小麦、 计算器、多媒体、激光鼠标演示器、黑板、粗线笔(黑笔若干,红笔 6 只) 、 80cm×90cm 白纸若干。 2、软件准备:①收集教学资源;②制作课件;③二次开发教材。
2

教 学 过 程
教学环节 一、 复习引入
(2 分钟)

教学内容

教师活动

学生活动

简要复习, 明确任务: 用 PPT 动画演示已有知识体系, 参与复习, 1、等差数列:定义、 布置本次课学习任务. 领 受学 习 通项公式、 前 n 项和公式; 任务. 2、等比数列:定义、 通项公式; 古印度宗师把自己发 讲述棋盘上的数学故事,用听 明的国际象棋献给国王, 觉、视觉、情节感染学生. 国王为了奖励宗师,慷慨 答应了宗师素要小麦的要 求:在棋盘第一格放 1 粒 小麦,第二格放 2 粒,第 三格放 4 粒,依次倍增, 直至第 64 格。 宗师的要求 是一个天文数字,国王永 远无法兑现承诺. 提出问题: 西萨需要多 少小麦? 围绕教学重点抛出核心问题, 以问题开启学生智慧,将讨论、辩 论乃至争论引入课堂. 在核心问题的“最近发展区” 聆听 故事,对 故事结果 提 出 质 疑.

二、 创设情境
(3 分钟)

三、 问题探究
(20 分钟)

思考讨论

1、 问题一

问题一:棋盘格子里 的麦粒数分别是多少?

1,21 ,2 2 ,23 ,?,263

发现 棋盘里的 从新设置三个递进问题. 麦粒数是 协 助 学 生 找 到 问 题 一 答 案 : 一个公比 1,21 ,2 2 ,23 ,?,263 , 引导学生分 为 2 的等 比数列. 析该数列的特点.
63

2、 问题二

问题二: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 =?
1 2

S64 ? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ?? 263



发现 引导学生 发现“错位相减 理解、欣 法”,讲授计算 赏错位相 减法. 过程.

2S 64 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 ②
由①-②得:S 64

? 2 64 ?1 ? 1.845?1019

3

教学环节 3、 问题三

教学内容

教师活动

学生活动

利用中 问 题 三 : 如 何 换 算 每个小组做实验,结果: 19 1.845?10 粒的计量单位? 职 生 好 动 的 1 克小麦约 26 粒,师生合作 优点, 安排学 完成单位换算过程. 解答:? 1 克 ? 26 粒 生做“称小 1 公斤 =1000 克 ? 26000 粒 麦,数小麦” 1.845?1019 成就了 ? S 64 ? (公斤) 实验, 26000 本次课的亮 ? 7.077?1014 (公斤) 点, 演示换算 ? 7077 (亿吨) 过程. 享受劳 中国 2011 年粮食产量是 5.7121 亿吨, 诠 释 7077 亿 激 7707 亿吨大约是中国去年粮食产量的 1239 吨,开阔学生视野. 动成果, 发学习热 倍!若要造一个宽四米,高四米的粮仓来储 情 存这些粮食,这个粮仓的长约三亿公里,可 绕地球赤道 7500 圈, 在日地之间打个来回。 知识链接:赤道周长为 40075.7 公 里,日地距离平均值为 14960 万公里。 反 思 公 比 1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 的计算过程。
1 2 3 63

4、 解决问题

四、 课题研究
(10 分钟)

S64 ? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ?? 263



1、 反思问题
2S 64 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 ②
64 19 由①-② :S 64 ? 2 ?1 ? 1.845?10 得

引导学生反思: 为什么①式两边乘 以 2?②式产生的必 要性是什么?

反思

2、 提出课题 3、 类比建模

如何计算公比为 q 的等比数列前 n 项 水到渠成提出课题 和?即 a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2 n?1

思考讨论

??
① ②

类比建立计算模型:

S64 ? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ?? 263
相 减

2S64 ?

21 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 64 由①-② :S64 ? 2 ?1

模 建 比 类

sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? ? ? ? a1qn?1
qsn ?
相 减



参与构 计算模型, 用课件动 建 计 算 模 【由于前 画演示模型的生成 型. 期做了大量 过程. 的铺设工 作,学生很 容易构建计 算模型】 引导学生建立

a1q ? a1q 2 ? ? ? ? ? a1q n?1 ? a1q n ②

n 由①-② (1 ? q) ? Sn ? a1 ? a1q

得:
4

教学环节 4、 推导公式

教学内容

教师活动

学生活动

(1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
( 1)当 q ? 1 时, S n ? na 1; ( 2)当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an ? q ? 1? q 1? q

引导学生对 对 q 进 行 分类讨论 q 进行文类讨 参与公式的 论, 推导公式. 推导.

公式特点:区别 q ? 1和q ? 1两种情况;当

q ? 1 时,若已知 a1 , q, n 用公式①求和;若
已知 a1 , q, an 用公式②求和. 例 1 是非判断题 :

9? ( 1 ? 1n ) ? 9? ?? 9? ? ? 9? ?0 公式应用 (1) 9 ? ? ? ? ? 1 ? 1 n个

五、

参 与 小 组 讨 小组讨论, 论,作出评价 尝试解答, 分析,明示结 听 取 教 师 果. 点评.

(18 分钟)

1 ? (1 ? 3 n ) 基础应用 (2) 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 1? 3
1 2 3 n

1、

(3) 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? (?2)

n ?1

1? (1 ? 2 n ) ? 1 ? (?2)
巡视指导, 参 小组合作, 与讨论, 讲解 尝试解决. 并用课件演 示解题过程. 小组合作,做课堂练习.

例 2 在等比数列中: (1)已知 a1 ? 4, q ? 3 求 S5 ; (2)已知 a1 ?
1 1 1 , q ? , an ? 求 Sn 2 2 256

巡视 参与 (1)求等比数列 1,2,4,…,从 指导, 讨论,及时 第 4 项到第 8 项的和. 评价, 用课 (2)计算求值: 件演示解
1 1 1 1 ( 2 ? ) ? ( 4 ? ) ? (6 ? ) ? ? ? ( 2 n ? n ) 2 4 8 2

【课堂练习】

题过程. 巡视指导, 感性判断 参与讨论,及时 理性分析 评价,讲 解 并 小组合作 尝试解决 用多媒体演示 最后听教 解题过程, 规范 师讲解. 解题步骤.
5

例 3 股市暴跌赵总,向李总借钱抄底,李 总满口答应,但提出以下条件:第一天借给赵 拓展应用 总 1 万元, 第二天借 2 万元, 第三天借 3 万元, 以后每天依次增加 1 万元,借钱的第一天起赵 (15 分钟) 总开始还钱,第一天还 1 分钱,第二天还 2 分 钱,第三天还 4 分钱,以后每天依次倍增,30 天后互不相欠。请问赵总该不该向李总借钱? 2、

教学环节

教学内容 例 4 意大利数学家斐波那契在 1202 年 发表《算盘全书》 ,书中有这样一道题: “今 有七老妇人共往罗马,每人有 7 骡,每骡负 7 袋, 每袋有 7 个面包,每个面包有 7 把小刀 随之,问列举之物全数几何?” 【课堂练习】 巡视指

教师活动

学生活动

读题、 暗示点拨、 小组合作 引导学生正确分 尝试解决 析题目,巡视指 导,最后讲评 . 小组合作,完成课堂练习

“远望巍巍塔七层,红光 导,参与小组 点点倍加增,共灯三百八十 讨论,及时评 一,问问塔尖几盏灯?”这首 价 , 系 统 讲 解,规范解题 中国古诗的答案是多少? 步骤. 3、 综合应用
(8 分钟)

知识整合: (1)等比数列通项公式:

an ? a1q n?1 (n ? z ? , q ? 0)
(2)等比数列前 n 项和公式:

(q ? 1) ?na1 , ? S n ? ? a1 ? a1q n a1 ? an ? q ? 1 ? q ? 1 ? q , (q ? 1) ?
① ②

引 导 学 生 及时整合 整 合 公 式 , 明 知识,做 示: 等比数列中 题时有法 可依,提 a1 , an , q, n, S n 五个量, 已知其 高解题的 中任意三个量, 正确率. 可以求出另外 两个量 .

例 5 在等比数列中,已知三个量,将未 引 导 学 生 师生合作 知量填入空格中: 正确选用公式, 完成本例 师生合作, 完成 n Sn an a1 q 本例 . ① ② 3 ③ 1 -2 2 5 4 48 81 63

a1
① ② ③ 3 3 1

q
-2 3 2

n
5 4 6

an
48 81 32

Sn
33 120 63

6

教学环节 七、 课堂小结
(2 分钟)

教学内容

教师活动

学生活动 回顾 本次课学 程,完善 构建知识 体系,为 学习数列 在经济中 的应用做 准备.

等 差 数 列

定义 通项 公式 前n项 和公式

an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数)

知 识 整 合
等 比 数 列

定义 通项 公式

引导 an ? a1 ? (n ?1)d (n ? 2) 学生回顾 本次课学 1 ? 程。将新 ?na1 ? 2 n(n ? 1)d sn ? ? 知识纳入 a1 ? an ? ?n 知识体系 2 ? 中,用多 an ? q(n ? 2, q ? 0, q为常数) 媒体展示 an?1 出全新知 n?1 an ? a1q (n ? 2, q ? 0 ) 识体系.

? na1
前n项 和公式

q ?1
q ?1

Sn ?

?

a1 (1 ? q n ) 1? q

?
八、 布置作业
(2 分钟)

a1 ? an q 1? q

q ?1
记录作业

1、必做题: 布置作业 ①教材 P24 练习第 2 题; ②一种计算机病毒通过邮件进行传播。 若把病毒制造 者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二 轮,以此类推。若每台计算机能感染 20 台计算机,不重 复的情况下, 五轮下来, 共有多少台计算机被感染病毒? 1 1 1 1 2、选做题:计算 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? ? ? 2n ? n 2 4 8 2 3、自主学习:101 远程教育网;百度资源库. §4.2 等比数列前 n 项和公式 一、公式推导 二、公式整合 三、公式特点 四、应用举例

板书设计

五、课堂练习 六、布置作业

教学反思

本次课按照呈现问题、探究问题、解决问题、总结规律和应用规律五个 阶段,层次分明,展开教学。学生在教师预设的思路中,一步步发现公式, 推导公式,进而应用公式解决实际问题。学生感受到创造的快乐,激发了学 习热情,提振了学习信心,达成既定的三维教学目标。 在本次课的教学过程中, “称小麦,数麦粒”实验虽然不是本次课的重点, 但却成就了本次课的亮点,它不但活跃了数学课堂气氛,同时也能强化学生 的团队合作意识。
7

8


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