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烟台市2016届高三第一次模拟考试(数学理)

时间:2016-03-24

2016 年高三诊断性测试

数学(理)
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔.要字 迹工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知集合 A ? x 0 ? x ? 3 ,B ? x y ? A.

?

?

?

x2 ? 1 ,则集合 A ? ?CR B? 为
D. ?1,3?

?

?0,1?

B.

? 0,1?

C. ?1,3?

2.复数 z 满足 A. 1 ? i 3. 集合 A ?

z ? i (i 为虚数单位) ,则 z ? z ?i 1? i B. 1 ? i C. 2
2

D.

1? i 2

?? x, y ? x
B.

? y 2 ? 16 , B ?

?

?? x, y ? x ? y ? 4 ? 0, ? x, y ? ? A? 表示的平面区域分别为
3? ? 2 4?
D.

?1 , ?2 .若在区域 ?1 内任取一点 P ? x, y ? ,则点 P 落在区域 ?2 中的概率为
A.

? ?2 4?

? ?2 4?

C.

3? ? 2 4?

4.不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? 6 的解集为 A.

? ??, ?2?

B.

? 4, ???

C.

? ??, ?2? ? ? 4, ???

D.

? ?2, 4?

5. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 与 其 外 接 球 的 体 积 之 比 为

3? A. 1:

B.

3:?

C. 1 : 3 3?

D. 1 :3?

6.已知 ?ABC 外接圆圆心为 O,半径为 1, 2 AO ? AB ? AC且 OA ? AB ,则向量 BA 在向量

uuu r

uu u r uuu r

uur

uu u r

uur

uuu r BC 方向的投影为

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

7.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: y ? f ? x ?1? 的图象关于 ?1,0 ? 点对称,且当 x ? 0 时恒有

f ? x ? 2? ? f ? x ? ,当 x ? ?0, 2? 时, f ? x ? ? ex ?1 ,则 f ? 2016? ? f ? ?2015? ?
A. 1 ? e B. e ? 1 C. ?1 ? e D. e ? 1 8.执行如图所示的程序框图,若输出的 S ? 18 ,则判断框内应填入的条件 是 A. k ? ?? B. k ? ?? C. k ? ?? D. k ? ?? 9.将 f ? x ? ? sin 2x 的图象右移 ? ? 0 ? ? ?

? ?

??

? 个单位后得到 g ? x ? 的图象. 2?

若对于满足 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 2的x1 , x2 , 有 x1 ? x2 的最小值为 值为 A.

? , 则? 的 3

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

10. 已 知 f ? x ? 为 定 义 在 ? 0, ??? 上 的 单 调 递 增 函 数 , 对 任 意 x ? ? 0, ??? , 都 满 足

f? x? 3 ,则函数 y ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? f ? ? x ? 为f ? x ?的导函数? 的零点所在区 ??l o g 2 ? ? f? x ?
间是 A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

C. ?1 , 2?

D.

3? ? 2,

二、填空题:本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 11.已知 100 名学生某月零用钱消费支出情况的频率分布直方图如右图所示, 则这 100 名学生中, 该月零用钱消费支出超过 150 元的人数是 12.已知 a ? 数为

?

?

0

? a? sin xdx ,则二项式 ?1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系 ? x?

5

?y ? x ? 13.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4, 且 z ? 2 x ? y 的最小值 ?y ? k ?
为 ?6 ,则 k ? 14.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,两曲线的一个公 2 a b

共交点为 P,且 PF ? 5 ,则该双曲线的离心率为

15.设函数 f ? x ? ? ?

? x?0 2 ? 1gx , f x ? 2bf ? x ? ? 1有 8 个不同的零点, ,若函数 y ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? x ? 2 x , x ? 0 ? ?

则实数 b 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步 骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ?? ? ? ? 2sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 3? 4? ? 4? ?
? ? ?? 上的最值; , ? 12 2 ? ?
B2 n s ? i A,

(1)求函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?

s i (2) 设 ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 满足 c ? 3 ,f ?C ? ? 1 , 且n
求 a、b 的值.

17. (本小题满分 12 分)山东中学联盟 设函数 f ? x ? ?

? 1 ? 2 1 ? ? ? x ? 0 ? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1,an ? f ? ? , n ? N , 且n ? 2 . 3 x ? an ?1 ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对 n ? N ,设 Sn ? 值范围.
?

3t 1 1 1 1 ,若 S n ? 恒成立,求实数 t 的取 ? ? ? ??? ? 4n a1a2 a2 a3 a3a4 an an?1

18. (本小题满分 12 分)山东省中学联盟 某集成电路由 2 个不同的电子元件组成.每个电子元件出现故障的概率分别为 ,

1 1 .两个电子元 6 10

件能否正常工作相互独立,只有两个电子元件都正常工作该集成电路才能正常工作. (1)求该集成电路不能正常工作的概率; (2)如果该集成电路能正常工作,则出售该集成电路可获利 40 元;如果该集成电路不能正常 工作,则每件亏损 80 元(即获利-80 元).已知一包装箱中有 4 块集成电路,记该箱集成电路获 利 X 元,求 X 的分布列,并求出均值 E ? X ? .

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,该几何体是由一个直三棱柱 ADE ? BCF 和一个正四棱锥 P ? ABCD 组合而成, AD ? AF,AE ? AD ? 2 . (1)证明:平面 PAD ? 平面 ABFE; (2) 求正四棱锥 P ? ABCD 的高 h, 使得二面角 C ? AF ? P 的余弦值



2 2 . 3

20. (本小题满分 13 分)山东省中学联盟 已知函数 f ? x ? ? eax (其中 e=2.71828…) , g ? x? ?

f ? x? . x

(1)若 g ? x ? 在?1, ??? 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ?

1 时,求函数 g ? x ? 在?m, m ?1? ? m ? 0? 上的最小值. 2

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:
2

x2 ? y 2 ? 1 , 点 M ? x0 , y0 ? 是 椭 圆 C 上 一 点 , 圆 4
2

M : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r 2 .
(1)若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点,求圆 M 的方程; (2)从原点 O 向圆 M : ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ?
2 2

4 作两条切线分别与椭圆 C 交于 P,Q 两点(P,Q 5

不在坐标轴上) ,设 OP,OQ 的斜率分别为 k1 , k2 . ①试问 k1k2 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由; ②求 OP ? OQ 的最大值.


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