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河北省唐山市滦南一中2008—2009学年度第一学期高三数学期末考试.doc

时间:2017-03-31

河北省唐山市滦南一中 2008—2009 学年度第一学期高三年级期末考试

数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡 上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试卷上。 3.考试结束后,监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B) 如果事件 A 在依次实验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k

S=4 ?R

2

其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V 球= ?R

4 3

3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求。 1.函数 y ?

2 x ?1 ? 8 的定义域为
B. [4,??) D. (4,+∞)
2





A. [3,??) C. (3,+∞)

2.曲线 y ? ( x ? 2) 在x ? 1处的切线在 y 轴上的截距为





A.-1

B.-3

C.1

D.3

3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 B ? ABC 的面积为 A.

?
3

, a ? 3 , c ? 2 ,则△
( )

3 2

B.1

C.

3 2

D. 3 ( )

4.函数 y ? 1 ? e x 的反函数的图象大致是

5.已知 ? ? (0, ? ), cos? ? ?

4 ?? ? , 则 sin ?? ? ? 等于 5 4? ? 7 2 10
C. ?





A.

2 10

B. ?

2 10

D.

7 2 10
( )

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? ? f ( x),则f (8) 的值 A.-1 B.0 C.1 D.2

7.已知正方形 ABCD 的边长不 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c, 则 | a ? b ? c |? A.0 B.3 C. 2 D. 2 2





8.已知双曲线

? x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的两条渐近线的夹角为 , 则a ? 2 3 2 a
B. 6 C.





A.

6 3

6 或 6 3

D.

2 3 或2 3 3

9.球 O 的内接三棱锥 P—ABC 底面的三个顶点 A、B、C 在球 O 的同一个大圆上,如果 AB=AC=5, BC=8, 点 P 在平面 ABC 上的射影恰是球心 O, 则此三棱锥的体积为 ( )

A.

50 3

B.25

C.

100 3

D.16

10. 过抛物线 y 2 ? 4 px( p ? 0) 的准线与 x 轴的交点 M 作直线 l, 则 “l 的斜率等于 1” 是 “直 线 l 与抛物线只有一个公共点”的 A.充要条件 C.必要不充分条件 ( B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) )

11.定义在(0,+ ? )的函数 f ( x) ? (ax2 ? bx)(ax?2 ? bx?1 )(ab ? 0),则f ( x) A.有最大值 (a ? b) 2 ,没有最小值 B.有最小值 (a ? b) 2 ,没有最大值 C.有最大值 (a ? b) 2 ,有最小值 (a ? b) 2 D.没有最值 12.数列 ?an ? 中, a1 ? A.1 ? ( )

1 2

n

1 3 , a n ? a n ?1 ? n ?1 , n ? N ? , 则a n ? 2 2 1 n 1 n B. 1 ? ( ? ) C. ( ) 2 2

( D. ( ? )



1 2

n ?1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上,不要在答题卡上填涂。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填写在题中的横线上。
0

? 1 ? ? 13.已知 ? ?x? ? 的展开式中二项式系数之和为 64,则展开式中常数项是 x? ?
7 0 2 1

n

0

.

14.甲、乙、丙三名同学从 A、B、C、D 四门选修课程中各任选两门,则三人的选法不完全 相同的选法种数共有 种.(用数字作答)
0

15.过坐标原点截圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 所得弦长为 2 3 的直线方程为 16.设 l、m、n 的三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,现给出四个命题: ①若 l // n且m // n, 则l // m; ②若 l // ?且m // ? , 则l // m;

.

③若 n // ?且n // ? , 则? // ? ;

④若 ? // ?且? // ? , 则? // ? ;

其中正确命题的序号是 . (把正确命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙 3 人积压自进行 1 次实验,一次实验各自成功的概率分 别是 0.4,0.5,0.6 (Ⅰ)求 3 个人各自进行 1 次实验都没有成功的概率; (Ⅱ)求甲独立进行 3 次实验至少有两次成功的概率.

18.已知等比数列 {a n }中, a 2 ? (Ⅰ)求通项 an;

9 243 , a5 ? 4 32

2 (Ⅱ)令 bn ? log2 an , 求数列 {bn }的前 n 项和 Sn.

19. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ?2 3 sin 2 x ? sin 2x ? 3. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数 y ? f ( x)在区间 [0, ? ] 上的图象.

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中 AB=1,AA1=2,N 是 A1D 的中点,M∈ BB1,异面直线 MN、A1A 互相垂直. (Ⅰ)试确定点 M 的位置,并加以证明; (Ⅱ)求二面角 A—MN—A1 的大小.

2

0

0

7

0

2

1

0

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2ax2 ? bx( x ? R)在(??,?1) 上单调递增,在(- 1,2)上单调 递减,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为 . (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 F,又点 A、B 在椭圆上,且 AF ? 2FB ,求直线 AB 的斜率 k 的值.

2 3

参考答案
一、选择题 A 卷:BACDB B 卷:BDACD 二、填空题 13.15 14.210

DCABD BDCAB

BA BA

15. y ? 0或4 x ? 3 y ? 0 16.①④ 三、解答题: 17.文 解: (Ⅰ)3 人各自进行 1 次实验都没有成功的概率

P ? (1 ? 0.4) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.12 ??????????6 分
(Ⅱ)甲独立进行 3 次实验至少有两次成功的概率
2 P ? 0.43 ? C3 ? 0.42 ? 0.6 ? 0.352??????????12 分

17.理 解: (注:考试中计算此题可以使用分数,以下的解答用的是小数) (Ⅰ)同文(Ⅰ) (Ⅱ) ? ? 0,1,2,3 的概率分别为

P(? ? 0) ? 0.63 ? 0.216,
1 P(? ? 1) ? C3 ? 0.4 ? 0.62 ? 0.432, 2 P(? ? 2) ? C3 ? 0.4 2 ? 0.6 ? 0.288,

P(? ? 3) ? 0.43 ? 0.064.
随机变量 ? 的概率分布为

?
P

0 0.216

1 0.432

2 0.288

3 0.064 ??????8 分

? 的数学期望为 E ? =0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2.????10 分

(或利用 E ? =np=3×0.4=1.2)

? 的方差为
D ? =(0-1.2)2×0.216+(1-1.2)2×0.432+(2-1.2)2×0.288+(3-1.2)2×0.064 =0.72.??????????12 分 (或利用 D ? =npq=3×0.4×0.6=0.72) 18.文 解: (Ⅰ)设数列 {a n }的公比为q, 则q ?
3

a5 27 ? . a2 8

所以 q ?

3 . ????????3 分 2
n?2

所以 an ? a2 q

9 ? 3? ? ?? ? 4 ? 2?

n ?1

? 3? ? ? ? . ??????????6 分 ? 2?

n

(Ⅱ) bn ? 2 log 2 a n ? 2n log 2
n

3 ? 2(log 2 3 ? 1)n. ??????9 分 2

S n ? 2(log2 3 ? 1)? k ? 2(log2 3 ? 1)
k ?1

n(n ? 1) ? (log2 3 ? 1)n(n ? 1). 2
??????12 分

18.理 解: (Ⅰ) f ( x) ?

?? ? 3 (1 ? 2 sin 2 x) ? sin 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin? 2 x ? ?. 3? ?
????4 分

所以, f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)列表: x 0

2? ? ? ,最小值为-2.??????????6 分 2

? 12
2

? 3
0

7? 12
-2

5? 6
0

?
3

f ( x)

3

???????12 分 (19·文)同 18·理. (19·理)解: (Ⅰ)取 A1A 的中点 P,连 PM、PN,则 PN//AD,

? A1 A ? AD,? A1 A ? PN, 又A1 A ? MN ,? A1 A ? 平面PMN,? A1 A ? PM ,
? PM // .AB, 故点M为BB1的中点 . ??????????6 分

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 ?A1 MN ? ?AMN, 作AO ? MN于点O, 连A1O, 则A1O , 则

A1O ? MN , 所以?A1OA 就是所求二面角的平面角.?????????8 分
显然 A1 N ? AN ? MN

5 , A1 M ? AM ? 2. 2 30 , 在△A1OA 中由余弦定理得 5

利用等面积法求得 A1O=AO=

cos∠A1OA=

A1O 2 ? AO2 ? A1 A2 2 ?? . 2 A1O ? AO 3

所以二面角的大小为 arccos (? ). ?????????????????12 分 (20·文)同 19 理. (20·理) (I)证明:当 q>0 时,由 a1>0,知 an>0,所以 Sn>0;??????2 分 当-1<q<0 时,因为 a1>0,1-q>0,1-qn>0,所以 S n ?

2 3

a1 (1 ? q n ) ? 0. 1? q

综上,当 q>-1 且 q≠0 时,Sn>0 总成立.????????5 分 (II)解:an+1=anq,an+2=anq2,所以 bn=an+1-kan+2=an(q-kq2). Tn=b1+b2+?+bn=(a1+a2+?+an)(q-kq2)=Sn(q-kq2).????????9 分 依题意,由 Tn>kSn,得 Sn(q-kq2)>kSn. ∵Sn>0,∴可得 q-kq2>k, 即 k(1+q2)<q,k<

q . 1? q2 q 1 1 ? (? ,0) ? (0, ]. 2 2 2 1? q

∵ q ? (?1,0) ? (0,??),?

∴k 的取值范围是 ( ?? ,? ] . ????????12 分 (21·文)解:f′(x)=3x2+4ax-b.????????????2 分 设 f′(x)=0 的二根为 x1,x2,由已知得 x1=-1,x2≥2,??????????????????4 分

1 2

?3 ? 4a ? b ? 0, ? 4a ? 4a ? ?2 ?? 1 ? x 2 ? ? , ?1 ? 故? 即? 3 3 ??????????7 分 2 ? x 2 ? 2, ?(4a ? 6) ? 0, ? ? 2 ? ?? ? 16a ? 12b ? 0, 3 解得 a ? ? . 4 3 故 a 的取值范围是 ( ?? ,? ] ????????????????12 分 4
(21·理)解: (I)设椭圆方程

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0). a2 b2

由 2c=4 得 c=2,又

c 2 ? . a 3

故 a=3,b2=a2-c2=5,

∴所求的椭圆方程

y2 x2 ? ? 1 .????????????????5 分 9 5

(II)点 F 的坐标为(0,2) ,设直线 AB 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1)、B(x2,y2).

? y ? kx ? 2 ? 由 ? y2 x2 得(9+5k2)x2+20kx-25=0,????????????8 分 ?1 ? ? 5 ?9
显然△>0 成立, 根据韦达定理得

20 k , 9 ? 5k 2 25 x1 x 2 ? ? . 9 ? 5k 2 x1 ? x 2 ? ?

① ②

? AF ? (?x1 ,2 ? y1 ), FB ? ( x2 , y2 ? 2), AF ? 2FB ,
? x1 ? ?2 x2 ,代入①、②得
20 k 9 ? 5k 2 25 2 2 x2 ? 9 ? 5k 2 20 k 2 25 ) ? , 由③、④得 2( 2 9 ? 5k 9 ? 5k 2 x2 ?
③ ④

1 3 ?k 2 ? ,k ? ? . ????????????????14 分 3 3
(22.文)同 21 理,其中 3 分、6 分、8 分、12 分依次更改为 5 分、8 分、10 分、14 分. (22.理) (1)证明:令 1 ? 原不等式 ? 1 ?

1 1 ? t , x ? 0, 则t ? 1, x ? . x t ?1

1 ? ln t ? t ? 1. ??????????2 分 t

令 f (t ) ? t ? 1 ? ln t ,

1 ? f ?(t ) ? 1 ? , t ? (1, ?), t

? f ?(t ) ? 0, f (t ) 单调递增,? f (t ) ? f (1) ? 0 ,
? t ? 1 ? ln t. ??????????????????5 分

令 g (t ) ? ln t ? 1 ? , ? g ?(t ) ?

1 t

1 1 t ?1 ? ? 2 , t ? (1, ?) , t t2 t

? g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增,? g (t ) ? g (1) ? 0 ,
1 ? ln t ? 1 ? . ????????????????8 分 t 1 x ?1 1 ? ? ln ? . ????????????9 分 x ?1 x x
(Ⅱ)令 x ? 1,2,?, n ? 1 ,上式也成立 将各式相加

1 1 1 2 3 n 1 1 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? 1? ? ??? . ?????11 分 2 3 n 1 2 n ?1 2 3 n ?1 1 1 1 1 1 1 . 即 ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? ? 2 3 n 2 3 n ?1
n ?1 1 1 ? ln n ? . ??????????????????????????14 分 ? ? i ?2 i j ?1 j n


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