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高一数学集合的基本运算

时间:2013-08-04


高一数学求函数值域的方法 值域 1.直接法:利用常见函数的值域来求 例 1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ? x ? 1)
y ? x? 1 x

② f ( x) ? 2 ? 4 ? x

③y?

x (分离常数法) x ?1



(配方法)
1 ? 9( x ? 0) x2

练习:1 y ? x 2 ?

2.二次函数在区间上的值域(最值): 例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1; ② y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [3,4] ;③ y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [0,1] ;

④ y ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? [0,5] 注:对于二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时,
2 ①当 a>0 时,则当 x ? ? b 时,其最小值 y min ? (4ac ? b ) ;

2a
2a

4a

2 ②当 a<0 时,则当 x ? ? b 时,其最大值 y max ? (4ac ? b ) .

4a

⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b]. ①若 x 0 ? [a,b],则 f ( x0 ) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大(小)值. ②若 x 0 ? [a,b],则[a,b]是在 f (x) 的单调区间内,只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数 的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; 3.判别式法(△法) : 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数 是否为 0 的讨论
王新敞
奎屯 新疆

例 3.求函数 y ?

x 2 ? 5x ? 6 的值域 x2 ? x ? 6
1

练习:2 y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

3、求函数 y= 4.换元法

x2 ? x ?1 值域 x2 ? x ?1

例 3.求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域 练习 4 求函数的值域 ① y ? x? 2? x ; 5.分段函数 例 4.求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域. 2、 .映射的概念 设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意元素,在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射,通常记为
f : A ? B ,f 表示对应法则

② y ? 2 ? 4x ? x 2

①看电影时,电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数 a,数轴上都有唯一的一点 A 与此相对应 ③坐标平面内任意一点 A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应
A 9 4 1 (1) A 1 -1 2 -2 3 -3 (3) 求平方 B 1 4 9 A 1 2 3 (4) 开平方 B 3 -3 2 -2 1 -1 A 求正弦 B

30 0 45 0 60 0 90 0
(2) 乘以2

1 2 2 32

2

1

B 1 2 3 4 5 6

说明: (3) (2) (4)这三个对应的共同特点是:对于左边集合 A 中的任何一个元素, 在右边集合 B 中都有唯一的元素和它对应

2

关键词: ①“A 到 B” :映射是 有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射,A 到 B 是求平方,B 到 A 则是开平方,因此映射是有序的; ②“任一” :就是说对集合 A 中任何一个元素,集合 B 中都有元素和它对应,这是映射 的存在性; ③“唯一” :对于集合 A 中的任何一个元素,集合 B 中都是唯一的元素和它对应,这是 映射的唯一性; ④“在集合 B 中” :也就是说 A 中元素的象必在集合 B 中,这是映射的封闭性. 指出:根据定义, (2) (3) (4)这三个对应都是集合 A 到集合 B 的映射;注意到其中 (2) (4)是一对一, (3)是 多对一 思考: (1)为什么不是集合 A 到集合 B 的映射? 一对一,多对一是映射但一对多显 然不是映射 Ⅱ、函数与映射的区别与联系 ① 函数是一种特殊的映射,而映射不一定是函数。核心在于:函数必须定 义在非空数集上,而映射可以定义在数集、点集或者由学号、人员等构成的集合 上。 ② 可以用映射刻画函数 设 A、B 是两个非空数集,f 是 A 到 B 的一个映射,那么映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函数。 例 1、在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是?为什么? 设 A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},对应关系是 f(x)=2x+1,x 属于 A 设 A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A 中的元素开平方’ 设 A=R,B=R,对应关系是 f(x)=x 的 3 次方,x 属于 A 设 A=R,B=R,对应关系是 f(x)=2x 的 2 次方+1,x 属于 A Ⅲ、像与原像 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B ,如果元素 a 和元素 b 对应,则元素 b 叫做 元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 1、集合 A=N,B={m|m= 象
2n ? 1 2x ? 1 ,n∈N},f:x→y= ,x∈A,y∈B.请计算在 f 作用下, 2n ? 1 2x ? 1

9 11 , 的原象分别是多少.( 5,6 ) 11 13

映射的成立条件简单的表述就是下面的两条: 1.定义域的遍历性:X 中的每个元素 x 在映射的值域中都有对应对象 2.对应的唯一性:定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应 映射的性质:

3

①任意性:映射中的两个集合 A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等; ②有序性:映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射; ③存在性:映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象; ④唯一性:映射中集合 A 的任一元素在集合 B 中的象是唯一的; ⑤封闭性:映射中集合 A 的任一元素的象都必须是 B 中的元素,不要求 B 中的每一个元 素都有原象,即 A 中元素的象集是 B 的子集 映射三要素:集合 A、B 以及对应法则 f ,缺一不可 例 1、设 A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从 A 到 B 的映射 例 2.若函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)??? x, y ? R? ,则下列各式不恒成立的(
A?????? f ( 0 ) ? 0 B? ? ? ? f?( ?3 ) 3f ( 1 ) ? 0?



1 1 C???? f ( ) ? f (1) 2 2

D? ? ? ? f?( ? x? f(? x ) )

例 3.已知集合 P ? {x 0 ? x ? 4} , Q ? { y 0 ? y ? 2} ,下列不表示从 P 到 Q 的映射是(
1 x 2 2 C????? f ??x ? y ? x : 3 A????? f ??x ? y ? : 1 B????? f ??x ? y ? x : 3
D????? f ??x ? y ? x :



例 4.如果函数 f ( x) ? ( x ? a)3 对任意 x ? R 都有 f (1? x ) ? ? f (1? x ),试求 f (2) ? f (? 2)的值. 函数的基本性质 (一)函数的单调性 1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 I :如果对于属于 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1 、 x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x) 在这个区间上是增 函数。 (2)减函数:如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ,当 x1 ? x2 时都 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数。 (3)单调性:如果函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 y ? f ( x) 在 这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y ? f ( x) 的单调区间。 2、单调性的判定方法 1 (1)定义法:1、证明:函数 f ( x) ? 在 (0, ??) 上是减函数。 x .2、 判断函数 f ( x) ? x3 ? 1 的单调性 3、判断函数 f ( x) ? x 的单调性。

4

(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断: 设 y ? f (x) , u ? g (x) , x ? [a, b] , u ? [m, n] 都是单调函数,则 y ? f [ g ( x)] 在 [a, b] 上也 是单调函数。 ①若 y ? f (x) 是 [m, n] 上的增函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在 [a, b] 上的函数 u ? g (x) 的单调性相同。 ②若 y ? f (x) 是[m, n] 上的减函数,则 y ? f [g (x )] 与定义在[a, b] 上的函数 u ? g (x) 的单调性相同。 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数 的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正” ) 3、函数单调性应注意的问题: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个 区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 增(或减)函数 1. 定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 a、b ,总有
f (a) ? f (b) ? 0 成立,则 f(x)必 a ?b

上是

定是( ) A. 先增后减的函数 B. 先减后增的函数 C. 在 R 上的增函数 D. 在 R 上的减函数 2. (重点 )若函数 y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f(m+1) >f(-m),则实数 m 的取值范围是 ( ) A.( - ,0)
1 2

B. (0,+∞)

C. (-1,0)

D. (-∞,-1)∪(0,+∞) D. f(a2+1)<f(a) D.?有无穷多个解 )[来源:

3. 已知函数 f(x)是 R 上的减函数,若 a∈R,则( ) A. f(a)>f(2a) B. f(a2)<f(a) C. f(a2+a)<f(a2) 4. 函数 y=f(x)是单调函数,则方程 f(x)=a( ) A.?至少有一个解 B.?至多有 一个解 C.?恰有一个解
a x

5. 若区间[1,+∞)是函数 y=(a-1)x2+1 与 y= 的递减区间,则 a 的取值范围为( 学科网] A. a>0 B. a>1 C. 0≤a≤1 D. 0<a<1
1 x

6. 已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f( )>f(1)的实数 x 的取值范围是(

)

A. (-∞,1) B. (1,+∞) C. (-∞,0)∪(0,1) D. (-∞,0)∪(1,+∞) 7. 设函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈R,都有(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]>0,则 f(-3)与 f(-π )的大小关系是 _________ . 8. (重点)已知函 数 y=8x2+ax+5 在[1,+∞)上是递增的,那么实数 a 的取值范围是
5

_________

.[来源:Zxxk.Com]

9. (重点)(1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减函数,求实数 a 的取值 范围; (2)已知 f(x)=x2+2(a-1)x+2 的单调递减区间是(-∞,3],求实数 a 的值. 10. 若 f(x)=x2-2ax+3,试讨论 f(x)在(-2,2)内的单调性. 11. 如果函数 f(x)的定义域为{x|x>0},且 f(x)为增函数,f(x·y)=f(x)+f(y). (1)求证:f( )=f(x)-f(y); (2)已知 f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求实数 a 的取值范围. 12. 设 f(x)为[0,+∞)上的减函数,求证:g(x) =f(x) +
1 在[0,+∞)上为减函数. x ?1
x y

6


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