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江苏省江阴市山观高级中学2016届高考数学一轮复习 函数 第10课时 函数模型及其应用教学案

时间:2016-03-27

第 10 课时

函数模型及其应用

基础过关 1.抽象概括:研究实际问题中量,确定变量之间的主、被动关系,并用 x、y 分别表示问题 中的变量; 2.建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型一般都是 函数的解析式; 3.求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求 得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是: 实际问题 抽象概括 函数模型

运用函数的性质 实际问题的 解 典型例题 还原说 明 函数模型的 解

例 1. 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD,CB 上分别截取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求出最大面积.? 解: 设四边形 EFGH 的面积为 S,? 则 S△AEH=S△CFG= x , S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x),? ∴S=ab-2[ x + (a-x)(b-x)]? =-2x +(a+b)x=-2(x2

1 2

2

1 2

1 2

2

1 2

a ? b 2 ( a ? b) 2 ) + ,? 8 4

由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.? 又 0<b<a,∴0<b< 则当 x= 若
a?b a?b ,若 ≤b,即 a≤3b 时,? 2 4

a?b ( a ? b) 2 时,S 有最大值 ;? 8 4

a?b >b,即 a>3b 时,? 4

S(x)在(0,b]上是增函数,? 此时当 x=b 时,S 有最大值为? -2(ba ? b 2 ( a ? b) 2 2 )+ =ab-b ,? 8 4 a?b 时,? 4

综上可知,当 a≤3b 时,x= 四边形面积 Smax=
( a ? b) 2 ,? 8

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当 a>3b 时,x=b 时,四边形面积 Smax=ab-b .? 变式训练 1:某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个, 现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售 量就减少 10 个, 问他将售价每个定为多少元时, 才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值. 解:设每个提价为 x 元(x≥0),利润为 y 元,每天销售总额为(10+x)(100-10x)元, 进货总额为 8(100-10x)元,? 显然 100-10x>0,即 x<10,? 2 则 y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4) +360 (0≤x<10).? 当 x=4 时,y 取得最大值,此时销售单价应为 14 元,最大利润为 360 元.? 例 2. 据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴 的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值;? (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来;? (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.? 解:(1)由图象可知: 当 t=4 时,v=3×4=12,? ∴s= ×4×12=24.? (2)当 0≤t≤10 时,s= ·t·3t= t ,? 当 10<t≤20 时,s= ×10×30+30(t-10)=30t-150;? 当 20<t≤35 时,s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t-20)×2(t-20)=-t +70t-550.
?3 2 t ? ?0,10?, ?2 t , ? ? t ? ?10,20?, 综上可知 s= ?30t ? 150, ?? t 2 ? 70t ? 550, t ? ?20,35? . ? ? ?

2

1 2

1 2

3 2

2

1 2 1 2

1 2

2

(3)∵t∈[0,10]时,smax= ×10 =150<650.? t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650.? 2 ∴当 t∈(20,35]时,令-t +70t-550=650.? 解得 t1=30,t2=40,∵20<t≤35,? ∴t=30,所以沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.? 变式训练 2:某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台, 需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入 函数为 R(x)=5xx2 (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2

3 2

2

(1)把利润表示为年产量的函数;? (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大??
-2-

(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?? 解:(1)当 x≤5 时,产品能售出 x 百台;? 当 x>5 时,只能售出 5 百台,? 故利润函数为 L(x)=R(x)-C(x)?
x2 ? (5 x ? ) ? (0.5 ? 0.25 x) ? 2 =? ? 2 ?(5 ? 5 ? 5 ) ? (0.5 ? 0.25 x) ? 2 ? (0 ? x ? 5) ( x ? 5) x2 ? ?4.75 x ? ? 0.5 ?? 2 ?12 ? 0.25 x ?
x2 -0.5,? 2

(0 ? x ? 5), ( x ? 5).

(2)当 0≤x≤5 时,L(x)=4.75x-

当 x=4.75 时,L(x)max=10.781 25 万元.? 当 x>5 时,L(x)=12-0.25x 为减函数,? 此时 L(x)<10.75(万元).∴生产 475 台时利润最大.? (3)由 ?
?0 ? x ? 5, ? x ? 5, ? 或? x2 4 . 75 x ? ? 0 . 5 ? 0 , ?12 ? 0.25 x ? 0. ? 2 ?

得 x≥4.75- 21.562 5 =0.1(百台)或 x<48(百台).? ∴产品年产量在 10 台至 4 800 台时,工厂不亏本.? 例 3. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水 超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户该月 用水量分别为 5x,3x 吨.? (1)求 y 关于 x 的函数;? (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.? 解:(1)当甲的用水量不超过 4 吨时,即 5x≤4,乙的用水量也不超过 4 吨, y=(5x+3x)×1.8=14.4x;? 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时,? 即 3x≤4 且 5x>4,? y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.? 当乙的用水量超过 4 吨时,? 即 3x>4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6,?
? ?14.4 x ? 所以 y= ? ?20.4 x ? 4.8 ? ? ?24 x ? 9.6 ?
4 5 4 5 4 3

4 (0 ? x ? ) 5 4 4 ( ? x ? ). 5 3 4 (x ? ) 3

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增,? 当 x∈[0, ]时,y≤f( )<26.4;? 当 x∈( , ]时,y≤f( )<26.4;? 当 x∈( ,+∞)时,令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5,? 所以甲户用水量为 5x=7.5 吨,?
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4 5

4 3

4 3

付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);? 乙户用水量为 3x=4.5 吨,? 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元). 变式训练 3:1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日”,提出了“人类对生育的选择将决定世 界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.? (1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少?? (2)我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿,若将人口平均增长率控制在 1%以内,我国人口在 2008 年底至多有多少亿?? 以下数据供计算时使用: 数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数 lgN 数N 对数 lgN 0.004 3 3.000 0.477 1 0.006 5 5.000 0.699 0 0.007 3 12.48 1.096 2 0.117 3 13.11 1.117 6 0.301 0 13.78 1.139 2

解:(1)设每年人口平均增长率为 x,n 年前的人口数为 y,? n 则 y·(1+x) =60,则当 n=40 时,y=30,? 40 40 即 30(1+x) =60,∴(1+x) =2, 两边取对数,则 40lg(1+x)=lg2,? 则 lg(1+x)=
lg 2 =0.007 525,? 40

∴1+x≈1.017,得 x=1.7%. 10 (2)依题意,y≤12.48(1+1%) ?,? 得 lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,? ∴y≤13.78,故人口至多有 13.78 亿. 答 每年人口平均增长率为 1.7%,2008 年人口至多有 13.78 亿. 小结归纳 解决函数应用问题应着重注意以下几点: 1.阅读理解、整理数据:通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数据之间的关系, 数据的单位等等; 2.建立函数模型:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立函数模 型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,不要忘记考察函数的定义域; 3.求解函数模型:主要是计算函数的特殊值,研究函数的单调性,求函数的值域、最大(小) 值等,注意发挥函数图象的作用. 4.还原评价:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科又要符合实际背景,因于解 出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论,作出回答.

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