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1.1.1 集合的含义与表示(一) 学案(人教A版必修1)

时间:2015-07-28


第一章

集合与函数概念

1.1.1 集合的含义与表示(一)
1.元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母表示. (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母表示. 2.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 3.集合相等:只有构成两个集合的元素是一样的,才说这两个集合是相等的. 4.元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A. (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A. 5.实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母 R、Q、Z、N、N*或 N+来表示. 集合的概念 【例 1】 考查下列每组对象能否构成一个集合: (1)著名的数学家; (2)某校 2007 年在校的所有高个子同学; (3)不超过 20 的非负数; (4)方程 x2-9=0 在实数范围内的解; (5)直角坐标平面内第一象限的一些点; (6) 3的近似值的全体.

规律方法 判断指定的对象能不能形成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象, 都能确定它是不是给定集合的元素,同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 变式迁移 1 下列给出的对象中,能构成集合的是( A.高个子的人 B.很大的数 C.聪明的人 ) D.小于 3 的实数

集合中元素的特性 【例 2】 已知集合 A 是由 a-2,2a2+5a,12 三个元素组成的,且-3∈A,求 a.

规律方法 对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考,特别关注元素在集合中的互异性.分类 讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想,我们一定要在以后的学习中熟练掌握. 变式迁移 2 已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,求实数 m 的值.

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元素与集合的关系 【例 3】 若所有形如 3a+ 2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合 A,判断 6-2 2是不是集合 A 中的元素.

1 变式迁移 3 集合 A 是由形如 m+ 3n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,判断 是不是集合 A 中的元素. 2- 3

课时作业 1.下列几组对象可以构成集合的是( A.充分接近 π 的实数的全体 C.某校高一所有聪明的同学 2.下列四个说法中正确的个数是( ) B.善良的人 D.某单位所有身高在 1.7 m 以上的人 )①集合 N 中最小数为 1;②若 a∈N,则-a? N;

③若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2;④所有小的正数组成一个集合. A.0
2

B.

1

C.2

D.3 )

3.由 a ,2-a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,则实数 a 的取值可以是( A.1 B.-2 C.6 D.2 )

4.已知集合 S 的三个元素 a、b、c 是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

x y z |xyz| 5.已知 x、y、z 为非零实数,代数式 + + + 的值所组成的集合是 M,则下列判断正确的是( |x| |y| |z| xyz A.0 ? M B.2∈M C.-4 ? M D.4∈M

)

6.用“∈”或“ ? ”填空 1 1 (1)-3______N;(2)3.14______Q;(3) ______Z;(4)- ______R;(5)1______N*;(6)0________N. 3 2 7.集合 A={1,2,3,5},当 x∈A 时,若 x-1 ? A,x+1? A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,则 A 中孤立 元素的个数为________. 8.由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号). ①不超过 π 的正整数;②高一数学课本中所有的难题;③中国的大城市;④平方后等于自身的数;⑤某校 高一(2)班中考试成绩在 500 分以上的学生. 三、解答题 9.已知集合 M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若 2∈M,求 x.

10.设 P、Q 为两个非空实数集合,P 中含有 0,2,5 三个元素,Q 中含有 1,2,6 三个元素,定义集合 P+Q
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中的元素是 a+b,其中 a∈P,b∈Q,则 P+Q 中元素的个数是多少? 【探究驿站】 1 11.设 A 为实数集,且满足条件:若 a∈A,则 ∈A (a≠1). 1-a 求证:(1)若 2∈A,则 A 中必还有另外两个元素; (2)集合 A 不可能是单元素集.

1.1.1

集合的含义与表示(二)

1.把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 3.不等式 x-7<3 的解集为{x|x<10}. 4.所有偶数的集合可表示为{x∈Z|x=2k,k∈Z}。 5.方程(x+1)(x-3)=0 的所有实数根组成的集合为{-1,3} 用列举法表示集合 【例 1】 用列举法表示下列集合:
?x+y=2 6 ? ? ? (1)已知集合 M=?x∈N|1+x∈Z?,求 M; (2)方程组? 的解集; ? ? ?x-y=0 ?

|a| b (3)由 + (a,b∈R)所确定的实数集合. a |b|

变式迁移 1 用列举法表示下列集合: (1)A={x||x|≤2,x∈Z}; (2)B={x|(x-1)2(x-2)=0};
? 6 ? (4)已知集合 C=?1+x∈Z|x∈N?,求 C. ? ?

(3)M={(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*};

用描述法表示集合 【例 2】 用描述法表示下列集合: (1)所有正偶数组成的集合; (2)方程 x2+2=0 的解的集合;
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(3)不等式 4x-6<5 的解集;

(4)函数 y=2x+3 的图象上的点集.

变式迁移 2 用描述法表示下列集合: (1)函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象上所有点的集合; (2)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合; (3)不等式 x-3>2 的解集.

列举法和描述法的灵活运用

【例 3】 用适当的方法表示下列集合: (1)比 5 大 3 的数; (2)方程 x2+y2-4x+6y+13=0 的解集; (3)二次函数 y=x2-10 图象上的所有点组成的集合.

变式迁移 3 用适当的方法表示下列集合: (1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; (2)由所有周长等于 10 cm 的三角形组成的集合; (3)从 1,2,3 这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合;
? ?y=x (4)二元二次方程组? 2 的解集. ?y=x ?

课时作业 1.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( A.{x|x 是不大于 9 的非负奇数}

)

B.{x|x≤9,x∈N} C.{x|1≤x≤9,x∈N} D.{x|0≤x≤9,x∈Z} ) C.{(x,y)|xy=0} D.{(x,y)|x=0,y=0}

2.在直角坐标系内,坐标轴上的点的集合可表示为( A.{(x,y)|x=0,y≠0} B.{(x,y)|x≠0,y=0}

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3. 下列语句: ①0 与{0}表示同一个集合; ②由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ③方程(x-1)2(x -2)2=0 的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.正确的是( A.只有①和④
? ?

)

B.只有②和③

C.只有② )

D.以上语句都不对

? ? 6 ? ? 4.已知集合 A=?a?5-a ∈N*?,则 A 为(

?

? ?

A.{2,3}

B.{1,2,3,4}

C.{1,2,3,6} )

D.{-1,2,3,4}

5.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={3,2},N={2,3} D.M={1,2},N={(1,2)} (2){1,2};

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}

? ?x+y=3 6 .下列可以作为方程组 ? 的解集的是 __________( 填序号 ) . (1){x = 1 , y = 2} ; ?x-y=-1 ?

(3){(1,2)}; (4){(x,y)|x=1 或 y=2};(5){(x,y)|x=1 且 y=2};

(6){(x,y)|(x-1)2+(y-2)2=0}.

7.已知 a∈Z,A={(x,y)|ax-y≤3}且(2,1)∈A,(1,-4)? A,则满足条件的 a 的值为________. 8.已知集合 M={x∈N|8-x∈N},则 M 中的元素最多有________个. 9.用另一种方法表示下列集合. (1){绝对值不大于 2 的整数}; (3){x|x=|x|,x<5 且 x∈Z}; (5){-3,-1,1,3,5}. (2){能被 3 整除,且小于 10 的正数}; (4){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*};

10.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合.

【探究驿站】 11.对于 a,b∈N+,现规定:
?a+b ?a与b的奇偶性相同? ? a*b=? . ? ?a×b ?a与b的奇偶性不同?

集合 M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+}(1)用列举法表示 a,b 奇偶性不同时 合 M;(2)当 a 与 b 的奇偶性相同时集合 M 中共有多少个元素?

的 集

1.1.2 集合间的基本关系
1.一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集 合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A?B(或 B?A),读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”). 2.如果集合 A 是集合 B 的子集(A?B),且集合 B 是集合 A 的子集(B?A),此时,集合 A 与集合 B 中的元
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素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. 3.如果集合 A?B,但存在元素 x∈B,且 x ? A,我们称集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A A). 4.不含任何元素的集合叫做空集,记作?. 5.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. 写出给定集合的子集 【例 1】 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题.由此猜想:含 n 个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子 集的个数及非空真子集的个数呢? 原集合 ? {a} {a,b} {a,b,c} 变式迁移 1 已知集合 M 满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},写出集合 M. 子集 子集的个数 B(或 B

集合基本关系的应用 【例 2】 (1)已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A.求实数 m 的取值范围; (2)本例(1)中,若将“B?A”改为“A?B”,其他条件不变,则实数 m 的取值范围是什么?

规律方法 (1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合. (2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证 端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非空 集合而丢解,因此分类讨论思想是必须的. 变式迁移 2 已知 A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx=1},若 B A,求实数 m 所构成的集合 M.

集合相等关系的应用 【例 3】 已知集合 A={2,x,y},B={2x,2,y2}且 A=B,求 x,y 的值.

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规律方法 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解. b ? ? 变式迁移 3 含有三个实数的集合可表示为?a,a,1?,也可表示为{a2,a+b,0},求 a,b.
? ?

课时作业 1.下列命题①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若? 则 A≠?.其中正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 ) A 时,

2.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使 A?B 成立的实数 a 的取值范围是( A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4} C.{a|3<a<4} ) D.B∈A
?

D .?

3.设 B={1,2},A={x|x?B},则 A 与 B 的关系是( A.A?B B.B?A C.A∈B
?

n ? ? 4.若集合 A={x|x=n,n∈N},集合 B=?x|x=2,n∈Z?,则 A 与 B 的关系是( A.A B B.A B C.A=B D.A∈B

)

5.在以下六个写法中:①{0}∈{0,1};②? ⑥{(0,0)}={0},其中错误写法的个数是( A.3 个 6.满足 B.4 个

{0};③{0,-1,1}?{-1,0,1};④0∈?;⑤Z={正整数}; ) D.6 个

C.5 个

A?{0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数是________.

7.设 M={x|x2-1=0},N={x|ax-1=0},若 N?M,则 a 的值为________. 8.若{x|2x-a=0,a∈N}?{x|-1<x<3},则 a 的所有取值组成的集合为________________. 9.设集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,求实数 a、b 的值.

10.已知集合 A={x|-2k+3<x<k-2},B={x|-k<x<k},若 A B,求实数 k 的取值范围.

【探究驿站】 1 n 1 p 1 11.已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= - ,n∈Z},P={x|x= + ,p∈Z},请探求集合 M、 6 2 3 2 6 N、P 之间的关系.

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1.1.3

集合的基本运算

1.并集 (1)定义: 一般地, ________________________的元素组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集, 记作________. (2)并集的符号语言表示为 A∪B=_____________________________________________ __. (3)并集的图形语言(即 Venn 图)表示为下图中的阴影部分: (4)性质:A∪B=_____,A∪A=____,A∪?=____,A∪B=A?_____,A____A∪B. 2.交集 (1)定义: 一般地, 由________________________元素组成的集合, 称为集合 A 与 B 的交集, 记作________. (2)交集的符号语言表示为 A∩B=___________________________________________ ____ (3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分: (4)性质:A∩B=______,A∩A=____,A∩?=____,A∩B=A?________,A∩B____A∪B,A∩B?A, A∩B?B.

1.若集合 A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合 A∪B 等于( ) A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0} 2.集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩B 等于( ) A . {x|x<1} B . {x| - 1≤x≤2} C . {x| - 1≤x≤1} D.{x|-1≤x<1} 3. 若集合 A={参加北京奥运会比赛的运动员}, 集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员}, 集合 C={参 加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( ) A.A?B B.B?C C.A∩B=C D.B∪C=A 4.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N 为( ) A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3, -1)} 5.设集合 A={5,2a},集合 B={a,b},若 A∩B={2},则 a+b 等于( ) A.1 B.2 C .3 D.4 6.集合 M={1,2,3,4,5},集合 N={1,3,5},则( ) A.N∈M B.M∪N=M C.M∩N=M D.M>N 7.设集合 A={-3,0,1},B={t2-t+1}.若 A∪B=A,则 t=________. 8.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a=________. 9.设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|-1<x≤4},C={x|-3<x<2}且集合 A∩(B∪C)={x|a≤x≤b},则 a =______,b=______. 10.已知方程 x2+px+q=0 的两个不相等实根分别为 α,β,集合 A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4}, A∩C=A,A∩B=?.求 p,q 的值.

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11.设集合 A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若 A∩B=B,求 a 的值.

12.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和 为( )A.0 B.2 C.3 D.6

第 2 课时

补集及综合应用

1.全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为________,通常记 作________. 2.补集 自然 语言 符号 语言 图形 语言 3.补集与全集的性质 (1)?UU=____;(2)?U?=____;(3)?U(?UA)=____;(4)A∪(?UA)=____;(5)A∩(?UA)=____. 对于一个集合 A, 由全集 U 中________________的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作________ ?UA=____________

1.已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA 等于( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 2.已知全集 U=R,集合 M={x|x2-4≤0},则?UM 等于( ) A.{x|-2<x<2} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|x<-2 或 x>2} D.{x|x≤-2 或 x≥2} 3.设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5},则 A∩(?UB)等于( ) A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3} 4.设全集 U 和集合 A、B、P 满足 A=?UB,B=?UP,则 A 与 P 的关系是( ) A.A=?UP B.A=P C.A P D.A 5.如图,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩?IS D.(M∩P)∪?IS 6.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7}是( ) A.A∪B B.A∩B C.?U(A∩B) D.?U(A∪B) 7.设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________.
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P

8 .设全集 U = {x|x<9 且 x ∈ N} , A = {2,4,6} , B = {0,1,2,3,4,5,6} ,则 ? UA = ________________ , ? UB = ________________,?BA=____________. 9.已知全集 U,A B,则?UA 与?UB 的关系是____________________. 10.设全集是数集 U={2,3,a2+2a-3},已知 A={b,2},?UA={5},求实数 a,b 的值.

11.已知集合 A={1,3,x},B={1,x2},设全集为 U,若 B∪(?UB)=A,求?UB.

12.已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={9},则 A 等于( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 13.学校开运动会,某班有 30 名学生,其中 20 人报名参加赛跑项目,11 人报名参加跳跃项目,两项都 没有报名的有 4 人,问两项都参加的有几人?

§ 1.1 习题课
1.若 A={x|x+1>0},B={x|x-3<0},则 A∩B 等于( ) A.{x|x>-1} B.{x|x<3} C.{x|-1<x<3} 2.已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5 或 x>5},则 M∪N 等于( A.{x|x<-5 或 x>-3} B.{x|-5<x<5} C.{x|-3<x<5} 3.设集合 A={x|x≤ 13},a= 11,那么( )
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D.{x|1<x<3} ) D.{x|x<-3 或 x>5}

A.a A B.a?A C.{a}?A D.{a} A 4.设全集 I={a,b,c,d,e},集合 M={a,b,c},N={b,d,e},那么(?IM)∩(?IN)等于( ) A.? B.{d} C.{b,e} D.{a,c} 5.设 A={x|x=4k+1,k∈Z},B={x|x=4k-3,k∈Z},则集合 A 与 B 的关系为____________. 6.设 A={x∈Z|-6≤x≤6},B={1,2,3},C={3,4,5,6},求: (1)A∪(B∩C); (2)A∩(?A(B∪C)). 一、选择题 1.设 P={x|x<4},Q={x|x2<4},则( ) A.P?Q B.Q?P C.P??RQ D.Q??RP 2.符合条件{a} P?{a,b,c}的集合 P 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2 * 2 * 3.设 M={x|x=a +1,a∈N },P={y|y=b -4b+5,b∈N },则下列关系正确的是( ) A.M=P B.M P C.P M D.M 与 P 没有公共元素 4.如图所示,M,P,S 是 V 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩S)∩(?SP) D.(M∩P)∪(?VS) 5.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使 A?B 成立的实数 a 的范围是( ) A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4} C.{a|3<a<4} D.? 二、填空题 6.已知集合 A={x|x≤2},B={x|x>a},如果 A∪B=R,那么 a 的取值范围是________. 7.集合 A={1,2,3,5},当 x∈A 时,若 x-1?A,x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,则 A 中孤立 元素的个数为____. 8.已知全集 U={3,7,a2-2a-3},A={7,|a-7|},?UA={5},则 a=________. 9.设 U=R,M={x|x≥1},N={x|0≤x<5},则(?UM)∪(?UN)=________________. 三、解答题 10.已知集合 A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求 A∩B; (2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围.

11.某班 50 名同学参加一次智力竞猜活动,对其中 A,B,C 三道知识题作答情况如下:答错 A 者 17 人, 答错 B 者 15 人,答错 C 者 11 人,答错 A,B 者 5 人,答错 A,C 者 3 人,答错 B,C 者 4 人,A,B,C 都答错的有 1 人,问 A,B,C 都答对的有多少人?

能力提升 12.对于 k∈A,如果 k-1?A 且 k+1?A,那么 k 是 A 的一个“孤立元”,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有几个?

3 1 13.设数集 M={x|m≤x≤m+ },N={x|n- ≤x≤n},且 M,N 都是集合 U={x|0≤x≤1}的子集,定义 b 4 3
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-a 为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合 M∩N 的长度的最小值.

1.2.1

函数的概念

设 A、 B 是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A. 其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 2.函数的三要素是定义域、值域和对应关系. 3.由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 则称这两个函数相同. 4.(1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]. (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b). (3)满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b]. (4)实数集 R 用区间表示为(-∞,+∞). (5)把满足 x≥a.,x>a,x≤b,x<b 的实数 x 集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b). 判断对应是否为函数 【例 1】 判断下列对应是否为函数: 2 (1)x ? ,x≠0,x∈R; (2)x ? y,这里 y2=x,x∈N,y∈R;(3)集合 A=R,B={-1,1},对应关系 x f:当 x 为有理数时,f(x)=-1;当 x 为无理数时,f(x)=1,该对应是不是从 A 到 B 的函数? 规律方法 判断函数的标准可以简记成:两个非空数集 A、B,一个对应关系 f,A 中任一对 B 中唯一(即 多对一或一对一). 变式迁移 1 判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数: (1)A=R,B=R,对任意的 x∈A,x→x ; (2)A={(x,y)|x,y∈R},B=R,对任意的(x,y)∈A, (x,y)→x+y; (3)A=B=N*,对任意的 x∈A,x→|x-3|. 已知解析式求函数的定义域
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2

【例 2】 求下列函数的定义域: 3 (1)y= ; 1- 1-x -x (2)y= 2 ; 2x -3x-2 (3)y= 2x+3- 1 1 + . 2-x x

规律方法

求函数定义域的原则:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数;(3)零

指数幂的底数不等于零等. 变式迁移 2 求下列函数的定义域: (1)f(x)= 6 ; x2-3x+2 (2)f(x)= 3x-1+ 1-2x+4; ?x+1?0 (3)f(x)= . |x|-x

两函数相同的判定 【例 3】 下列各题中两个函数是否表示同一函数: (1)f(x)=x,g(x)=( x)2; 求函数的值域 【例 4】 (1)已知函数 f(x)=x2-2x,定义域 A={0,1,2,3},求这个函数的值域; 1 (2)求函数 f(x)= 2 ,x∈R,在 x=0,1,2 处的函数值及该函数的值域. x +1 3 (2)f(x)=x,g(x)= x2; (3)f(t)=t,g(x)= x3; x2-4 (4)f(x)= ,g(x)=x+2. x-2

规律方法 (1)求函数的值域问题首先必须明确两点:一是值域的概念,即对于定义域 A 上的函数,其值 域是指集合 C={y|y=f(x),x∈A};二是函数的定义域和对应关系.对应关系相同,而定义域不同,其值 域肯定不同,如 f(x)=x2-2x,x∈[0,2]与 f(x)=x2-2x,x∈R. (2)求函数的值域没有固定的方法和模式,就目前阶段主要用观察法求值域,但函数的图象在求函数的值 域中也起着十分重要的作用. 变式迁移 4 (1)函数 f(x)= x-1(x≥1)的值域为________(用区间表示); 2 (2)函数 y= (1≤x≤2)的值域为______(用区间表示). x 课时作业 1.下列集合 A,B 及对应关系不能构成函数的是( A.A=B=R,f(x)=|x| C.A={1,2,3},B={4,5,6,7},f(x)=x+3 )

1 B.A=B=R,f(x)= x D.A={x|x>0},B={1},f(x)=x0

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x2-1 f?2? 2.设 f(x)= 2 ,则 等于( 1? x +1 f? ?2? 3.函数 y= ?x-1?0 |x|+x 的定义域是( B.(-∞,0)

)A.1

B.-1

3 C. 5

D.-

3 5

) C.(0,1)∪(1,+∞) ) B.y= x2-1 与 y=x-1 D.y=2x+1,x∈Z 与 y=2x-1,x∈Z D.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞)

A.(0,+∞)

4.下列各组函数表示同一函数的是( x2-9 A.y= 与 y=x+3 x-3 C.y=x0(x≠0)与 y=1(x≠0) 5.给出四个命题:

①函数就是定义域到值域的对应关系;②若函数的定义域只含有一个元素,则值域也只含有一个元素;③ 因 f(x)=5(x∈R),这个函数值不随 x 的变化而变化,所以 f(0)=5 也成立;④定义域和对应关系确定后, 函数值域也就确定了.以上命题正确的有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个

6.将集合{x|2≤x≤8}表示成区间为____________. 7.若 f(x)= 5x ,且 f(a)=2,则 a=________. x2+1

8.函数 y=x2-2 的定义域为{-1,0,1,2},则其值域为________. 9.求下列函数的定义域: (1)f(x)= 5-x ; |x|-3 (2)y= x2-1+ 1-x2 . x-1

x2 10.已知函数 f(x)= . 1+x2

1? ?1? (1)求 f(2)与 f? ?2?,f(3)与 f?3?;

1? (2)由(1)中求得结果,你能发现 f(x)与 f? ? x?有什么关系?并证明你的发现; 1? ?1? ? 1 ? (3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 010)+f? ?2?+f?3?+…+f?2 010?.

11.已知 f(x)的定义域为(0,1],求 g(x)=f(x+a)· f(x-a) (a≤0)的定义域.

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1.2.2
表示函数的方法常用的有:

函数的表示法(一)

(1)解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; (2)图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系; (3)列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 函数的表示法 b 【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人数 x 之间适合关系式 t=a.x+ , 当 x=2 时, x t=100;当 x=14 时,t=28,且参加此项任务的人数不能超过 20 人. (1)写出函数 t 的解析式; (2)用列表法表示此函数; (3)画出函数 t 的图象;

(4)根据(2)(3)分析:随着工作人数的增加,工作效率的变化情况.

函数解析式的求法 【例 2】 求下列函数的解析式.(1)已知 f( x+4)=x+8 x,求 f(x2);
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(2)已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]=4x-1,求 f(x).

规律方法 对于已知 f[g(x)]的表达式,求 f(x)的表达式的问题,解决这类问题的一般方法是换元法,即设 g(x)=t,解出用 t 表示 x 的表达式,代入求得 f(x)的表达式.在用换元法解这类题时,特别要注意正确确 定中间变量 t 的取值范围. 题目中已知函数 f(x)的函数类型,一般采用待定系数法,如第(2)小题,由于已知函数 f(x)是一次函数,故 可设 f(x)=a.x+b(a≠0). 变式迁移 2 (1)已知 f(2x+1)=x2+1,求 f(x)的解析式. (2)已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,求 f(x)的解析式.

课时作业
1.下图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( )

2.下列表格中的 x 与 y 能构成函数的是(

)

1-x2 1? 3.若 f(1-2x)= 2 (x≠0),那么 f? ?2?等于( x A.1 B.3 C.15

)

D.30 ) D.f(x)=2x-3

4.已知 f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则( A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2 C.f(x)=2x+3

5.为悼念四川汶川地震中遇难同胞,在全国哀悼日第一天,某校升旗仪式中,先把国旗匀速升至旗杆顶 部,停顿 3 秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部.能正确反映这一过程中,国旗上升的高度 h(米)与升旗
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时间 t(秒)的函数关系的大致图象是[设国旗的起始位置为 h=0(米)]

6.一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量 如图丙所示.(至少打开一个水口) 给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出 水.则一定能确定正确论断的序号是________. 7.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出. x f(x) 1 2 2 1 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

则 f[g(1)]的值为____________;当 g[f(x)]=2 时,x=__________.

1.2.2 函数的表示法(二)
1.分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的 交集是空集. (3)作分段函数图象时, 应分别作出每一段 的图象. 2.映射的概念 设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一 个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 3.映射与函数 由映射的定义可以看出, 映射是函数概念的推广, 函数是一种特殊的映射, 要注意构成函数的两个集合 A, B 必须是非空数集. 分段函数的求值问题 x+2 ?x≤-1?, ? ?2 【例 1】 已知函数 f(x)=?x ?-1<x<2?, ? ?2x ?x≥2?.

(1)求 f[f( 3)]的值; (2)若 f(a.)=3,求 a.的值.

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?2x-1 ?x≥0?, 变式迁移 1 设 f(x)=? 1 ?x ?x<0?,

1

若 f(a.)>a.,则实数 a.的取值范围是________.

分段函数的图象及应用

【例 2】 已知函数 f(x)=1+ (3)写出该函数的值域.

|x|-x (-2<x≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数;(2)画出该函数的图象; 2

规律方法 对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化 为分段函数,然后分段作出函数图象.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,因此画图时要 特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
? ?|x+1| ?x<1? 变式迁移 2 设函数 f(x)=? , 使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围是___________________. ?-x+3 ?x≥1? ?

映射概念及运用 【例 3】 判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射,哪些不是,为什么? (1)A={x|x 为正实数},B={y|y∈R[},f:x→y=±
?1, ? (2)A=R,B={0,1},对应关系 f:x,→y=? ?0, ?

x

x≥0; x<0;

1 (3)A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y= ; x (4)A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,64},对应关系 f:a→b= ? a ? 1?
2

规律方法 判断一个对应是不是映射,应该从两个角度去分析:(1)是否是“对于 A 中的 每一个元素”;
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(2)在 B 中是否“有唯一的元素与之对应”. 一个对应是映射必须是这两个方面都具备;一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射.说明一个 对应不是映射,只需举一个反例即可. 变式迁移 3 下列对应是否是从 A 到 B 的映射,能否构成函数? 1 (1)A=R,B=R,f:x ? y= ; x+1 1 1 ? ? (2)A={a.|a.=n,n∈N+},B=?b|b=n,n∈N+?,f:a.→b= ;
? ?

a

(3)A= ?0, ?? ? ,B=R,f:x→y2=x; (4)A={x|x 是平面 M 内的矩形},B={x|x 是平面 M 内的圆},f:作矩形的外接圆. 课时作业 1.下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是( ) B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数开方 D.A=R,B={正实数},f:A 中的数取绝对值 )

A.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方 C.A=Z,B=N ,f:a.→b=(a.+1)
* 2

2.设集合 A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( 1 A. f:x→y= x 2 1 B. f:x→y= x 3 C. 1 f:x→y= x 4 )

1 D. f:x→y= x 6

? ?x≥6? ?x-5 3.已知 f(x)=? (x∈N),那么 f(3)等于( ?f?x+2? ?x<6? ?

A.2

B.3

C.4

D.5 )

? ?x2 ?x≥0? ?x≥0? ? ?x 4.已知 f(x)=? ,g(x)=? 2 ,则当 x<0 时,f[g(x)]等于( ?x ?x<0? ?-x ?x<0? ? ?

A.-x

B.-x2

C.x

D.x2

0 ?x<0? ? ? 5.已知 f(x)=?π ?x=0? ,则 f(f(f(-1)))的值是__________. ? ?x+1 ?x>0?
?1,x≥0 ? 6.已知 f(x)=? ,则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是__________. ? ?0,x<0

7.若[x]表示不超过 x 的最大整数,画出 y=[x] (-3≤x<3)的图象.

8.已知函数 y=f(x)的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.

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?1, x∈[0,1], ? 9.已知函数 f(x)=? 求使等式 f[f(x)]=1 成立的实数 x 构成的集合. ?x-3, x?[0,1], ?

§ 1.2 习题课
1.下列图形中,不可能作为函数 y=f(x)图象的是( )

2.已知函数 f:A→B(A、B 为非空数集),定义域为 M,值域为 N,则 A、B、M、N 的关系是( ) A.M=A,N=B B.M?A,N=B C.M=A,N?B D.M?A,N?B 3.函数 y=f(x)的图象与直线 x=a 的交点( ) A.必有一个 B.一个或两个 C.至多一个 D.可能两个以上

4.已知函数 ,若 f(a)=3,则 a 的值为( ) A. 3 B.- 3 C.± 3 D.以上均不对 2 5.若 f(x)的定义域为[-1,4],则 f(x )的定义域为( ) A.[-1,2] B.[-2,2] C.[0,2] D.[-2,0] x 6.函数 y= 2 的定义域为 R,则实数 k 的取值范围为( ) kx +kx+1 A.k<0 或 k>4 B.0≤k<4 C.0<k<4 D.k≥4 或 k≤0

x 1 1.函数 f(x)= 2 ,则 f( )等于( x x +1 A.f(x) B.-f(x)

)

1 1 C. D. f?x? f?-x? 2.已知 f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则 f(x)的定义域为( ) A.[-2,2] B.[0,2] C.[-1,2] D.[- 3, 3] 3.已知集合 A={a,b},B={0,1},则下列对应不是从 A 到 B 的映射的是( )

4.与 y=|x|为相等函数的是(

) C. 3 D.y= x3

A.y=( x)2 B.y= x2 2x+1 5.函数 y= 的值域为( ) x-3

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4 4 A.(-∞, )∪( ,+∞) 3 3

B.(-∞,2)∪(2,+∞)

C.R

2 4 D.(-∞, )∪( ,+∞) 3 3

6.若集合 A={x|y= x-1},B={y|y=x2+2},则 A∩B 等于( ) A . [1 , + ∞) B . (1 ,+∞) C . [2 ,+∞) D.(0,+∞) 7. 设集合 A=B={(x, y)|x∈R, y∈R},点(x,y)在映射 f:A→B 的作用下 对应的点是(x-y,x+y),则 B 中 点 (3,2) 对 应 的 A 中 点 的 坐 标 为 ____________. 8.已知 f( x+1)=x+2 x,则 f(x)的解析式为___________________________________. 9.已知函数 ,则 f(f(-2))=______________________________. 10.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求 f(x).

11.已知

,若 f(1)+f(a+1)=5,求 a 的值.

1 12.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 f(x-a)+f(x+a)(0<a< ) 2 的定义域为( ) A.? B . [a,1 - a] C . [ - a,1 + a] D.[0,1] 13.已知函数 (1)求 f(-3),f[f(-3)]; (2)画出 y=f(x)的图象; 1 (3)若 f(a)= ,求 a 的值. 2

3.1

单调性与最大(小)值(一)

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1.定义域为 I 的函数 f(x)的增减性: 思考讨论 在增、减函数定义中,能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”?答案 不能 2. 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.设 x1,x2∈[a,b],如果 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? >0,则 f(x)在[a,b]上是单调递增函数,如果 <0,则 f(x) x1-x2 x1-x2

在[a,b]上是单调递减函数. 利用图象求单调区间 (2)f(x)=|x2+2x-3|.

【例 1】 求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3|x|;

规律方法 函数的单调区间可以是开的,也可以是闭的,也可以是半开半闭的,对于闭区间上的连续函数 来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也单调.因此,只要单调区间端点使 f(x)有意义,都可以使单 调区间包括端点.但要注意,不连续的单调区间必须分开写,不能用“∪”符号连接它们. ax2 变式迁移 1 写出函数 f(x)= +1(a≠0)的单调区间. |x|

利用定义证明函数的单调性 1 【例 2】 证明:函数 f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x

规律方法 证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义.其步骤为(1)取值(注意 x1、x2 的任意 性);(2)作差变形(目的是便于判断符号);(3)判断差的符号;(4)写出结论.
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1 变式迁移 2 利用单调性的定义证明函数 y=x- 在(0,+∞)上是增函数. x

函数单调性的应用 【例 3】 已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

规律方法 已知函数的单调性求参数的取值范围,要注意数形结合思想,采用逆向思维. 变式迁移 3 本例中,若将函数“在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”, 则 a 为何值?

课时作业
1.下列说法中正确的有( )①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数;②函数 1 1 y=x2 在 R 上是增函数;③函数 y=- 在定义域上是增函数;④y= 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x x A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

2.设(a,b),(c,d)都是函数 f(x)的单调增区间,且 x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小 关系是( ) B.f(x1)>f(x2) ) D.y=x2-4x-3 ) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定

A.f(x1)<f(x2)

3.下列函数在区间(2,+∞)上为减函数的为( A.y=2x-7 1 B.y=- x

C.y=-x2+4x+1

4.若函数 f(x)=x2+2(a-2)x+2 在区间[4,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是(
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A.a≤-2

B.a≥-2

C.a≥-6 )

D.a≤-6

5.设函数 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)

D.f(a2+1)<f(a)

1? 6.已知函数 f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足 f(x)<f ? ?2?的实数 x 的取值范围为________. 7.函数 f(x)=2x2-3|x|的单调递减区间是___________ . b 8.若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,函数 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是单调______函数. x x+2 9.证明:函数 y= 在(-1,+∞)上是减函数. x+1

x+a 10.设函数 f(x)= (a>b>0),求 f(x)的单调区间,并证明 f(x)在其单调区间上的单调性. x+b

11.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时,f(x)>0,试判断 f(x)在(0,+∞) 上的单调性.

1.3.1 单调性与最大(小)值(二)

1.函数的最大值、最小值的定义
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一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M); (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(最小值). 2.函数 f(x)=x2+2x+1 (x∈R)有最小值,无最大值.若 x∈[0,1],则 f(x)最大值为 4,最小值为 1. 1 3.函数 f(x)= 在定义域上无最值.(填“有”或“无”) x 利用单调性求函数最值 x2+2x+3 【例 1】 已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)), x (1)求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围.

规律方法 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不好作或作不出来时,单 调性几乎成为首选方法.另外 f(x)>a 恒成立,等价于 f(x)min>a,f(x)<a 恒成立,等价于 f(x)max<a. x 变式迁移 1 求函数 f(x)= 在区间[2,5]上的最大值与最小值; 若 f(x)<a 在[2,5]上恒成立, 求 a 取值范围. x-1

闭区间上二次函数的最值问题 【例 2】 函数 f(x)=x2-4x-4 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值.

规律方法

(1)含有参数的二次函数的值域与最值问题,主要考虑其顶点 (对称轴)与定义域区间的位置关

系,由此进行分类讨论. (2)二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系:①定义域区间在对称轴右侧;②定义域区间 在对称轴左侧;③定义域区间在对称轴的两侧.
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变式迁移 2 求 f(x)=x2-2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小值.

课时作业 1.函数 f(x)=2x2-6x+1 在区间[-1,1]上的最小值为( A.9 B.-3 7 C. 4 ) 11 D. 4 )

2.函数 f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值,最小值分别为( A.f(2),f(-2) 1? B.f? ?2?,f(-1) 1? ? 3? C.f? ?2?,f?-2?

1? D.f? ?2?,f(0) )

? ?2x+6, x∈[1,2], 3.函数 f(x)=? 则 f(x)的最大值与最小值分别为( ?x+7, x∈[-1,1? ?

A.10,6

B.10,8

C.8,6 ) 4 D. 3

D.以上都不对

1 4.函数 f(x)= 的最大值是( 1-x?1-x? 4 A. 5 5 B. 4 ) 3 C. 4

5.函数 y=|x-3|-|x+1|的( A.最小值是 0,最大值是 4 C.最小值是-4,最大值是 4
2

B.最小值是-4,最大值是 0 D.没有最大值也没有最小值

6.函数 y=-x +6x+9 在区间[a,b](a<b<3)有最大值 9,最小值-7,则 a=________,b=__________. 7.已知 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间[1,5]上的最小值为 f(5),则 a 的取值范围为________. 8.若定义运算 a⊙b=?
? ?b,a≥b ?a,a<b ?

,则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域是________.

9.已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

x2+2x+a 10.已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x
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1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

1.3.2

奇偶性(一)

1.阅读课本内容填写下表: 奇函数 f(x) 定义域的特点 图象特点 解析式的特点 关于原点对称 关于原点成中心对称图形 f(-x)=-f(x) 偶函数 g(x) 关于原点对称 关于 y 轴成轴对称图形 f(-x)=f(x)

2.(1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)等于 0. (2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数?举例说明. f(x)=0,x∈[-1,1]. 函数奇偶性的判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性: 2x2+2x (1)f(x)=x3+x5; (2)f(x)= ; x+1 规律方法 (3)f(x)= 1-x2+ x2-1; 4-x2 (4)f(x)= . |x+2|-2

(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为:①先求定义域,考查定义域是否关于原点对称;②

有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简,再找 f(-x)与 f(x)的关系;判断函数奇偶性可用的变形 形式:若 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)为奇函数;若 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)为偶函数. (2)奇(偶)函数的性质①f(x)为奇函数,定义域为 D,若 0∈D,则必有 f(0)=0;②在同一个关于原点对称的 定义域上,奇函数+奇函数=奇函数;偶函数+偶函数=偶函数;奇函数×奇函数=偶函数; (3)偶函数×偶函数=偶函数. 变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x2-|x|; (2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)= x-1+ 1-x.

分段函数奇偶性的证明
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?x2+2x+3 ? 【例 2】 已知函数 f(x)=? 2 ?-x +2x-3 ?

?x<0? ?x>0?

,判断 f(x)的奇偶性.

规律方法 (1)对于分段函数奇偶性的判断,须特别注意 x 与-x 所满足的对应关系,如 x>0 时,f(x)满足 f(x)=-x2+2x-3,-x<0 满足的不再是 f(x)=-x2+2x-3,而是 f(x)=x2+2x+3. (2)要对定义域内的自变量都要考察,如本例分为两种情况,如果本例只有(1)就说 f(-x)=-f(x),从而判 断它是奇函数是错误的、不完整的. (3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断. x-1 ?x>0? ? ? 变式迁移 2 判断函数 f(x)=?0 ?x=0? ? ?x+1 ?x<0? 抽象函数奇偶性的判断 【例 3】 已知函数 f(x),x∈R,若对任意实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数.

的奇偶性.

规律方法 抽象函数奇偶性的判定是根据定义,即寻求 f(x)与 f(-x)的关系,需根据这样的目标,认真分 析函数所满足的条件式的结构特征,灵活赋值. 变式迁移 3 函数 f(x), x∈R, 且 f(x)不恒为 0.若对于任意实数 x1, x2, 都有 f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)· f(x2). 求 证:f(x)为偶函数.

课时作业 1.已知函数 f(x)= A.是奇函数 函数又不是偶函数 2.奇函数 y=f(x) (x∈R)的图象必过点( A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a)) ) C.(-a,-f(a)) ) D.2 ) 1 (x≠0),则这个函数( x2 B.既是奇函数又是偶函数 ) C.是偶函数 D.既不是奇

?1?? D.? ?a,f?a??

3.函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a 等于( A.-2 B.-1 C.1

4.如图是一个由集合 A 到集合 B 的映射,这个映射表示的是(
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A.奇函数而非偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

B.偶函数而非奇函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 ) D.既是奇函数又是偶函数

5.若 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( A.奇函数 B.偶函数
2

C.非奇非偶函数

6.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 a=________,b=________. 7.下列四个结论:①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③既是奇函数,又 是偶函数的函数一定是 f(x)=0 (x∈R);④偶函数的图象关于 y 轴对称,其中正确的命题有________个. 8.已知 f(x)=ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=__________. 9.判断下列函数的奇偶性. x +2 ?x>0? ? ? 4 (2)f(x)=x +x;(3)f(x)=?0 ?x=0? ? ?-x2-2 ?x<0?
2

(1)f(x)= 2x-1+ 1-2x;



x3-x2 (4)f(x)= . x-1

10. 已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的不恒为零的函数, 且对定义域内的任意 x, y, f(x)都满足 f(x· y)=y· f(x) +x· f(y).(1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由.

1.3.2 奇偶性(二)
1.定义在 R 上的奇函数,必有 f(0)=0. 2.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值 M,则 f(x)在[-b,-a]上是增函数,且有最小值-M. 3.若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 4.下列论断正确的为________(填序号). (1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数; (2)如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称; (3)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数; (4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数为偶函数. 5.函数 f(x)=|x|的奇偶性为________,单调递增区间为________,单调递减区间为__________. 6.函数 f(x)=x|x|的奇偶性为__________,单调递增区间为____________. 奇、偶函数的图象的性质 【例 1】 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

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规律方法 利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称,画图 象时,一般先找出一些关键点的对称点,然后连点成线. 变式迁移 1 已知 y=f(x)和 y=g(x)都是定义在[-π,π]上的函数,y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,x∈ f?x? [0,π]上的图象如图所示,则不等式 <0 的解集为_____________. g?x? 利用奇偶性求函数解析式 【例 2】 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2+3x-1,求 f(x)的解析式.

规律方法 (1)在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间里.(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性把 f(-x)写成-f(x)或 f(x),从而解出 f(x). 变式迁移 2 已知 f(x)是偶函数,且当 x∈[-1,0]时,f(x)=x+1,试求函数 f(x)在 x∈[-1,1]上的表达式.

函数奇偶性与单调性的综合运用 【例 3】 设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范 围.

规律方法 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成 f(x1)>f(x2)或 f(x1)<f(x2)的形 式,再根据奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,同时不能漏 掉函数自身定义域对参数的影响. 变式迁移 3 设定义在[-2,2]上的偶函数 g(x),当 x≥0 时,g(x)单调递减,若 g(1-m)<g(m)成立,求 m 的 取值范围.

课时作业 1.对于定义在 R 上的任何奇函数 f(x)都有( A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 ) C.f(x)· [-f(-x)]≤0 D.f(x)· [-f(-x)]≥0
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3-x2 2.函数 f(x)= 的图象关于( x A.x 轴对称

) C.y 轴对称 D.直线 y=x 对称 )

B.原点对称

3.若奇函数 f(x)在[1,3]上为增函数,且有最小值 0,则它在[-3,-1]上( A.是减函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0 B.是增函数,有最小值 0 D.是增函数,有最大值 0

4. 设偶函数 f(x)的定义域为 R, 当 x∈[0, +∞)时, f(x)是增函数, 则 f(-2), f(π), f(-3)的大小关系是( A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) )

)

1? 5.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值范围是( 1 2? A.? ?3,3? 1 2? B.? ?3,3? 1 2? C.? ?2,3? 1 2? D.? ?2,3?

x+m 6.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)= 2 ,则常数 m、n 的值分别为________. x +nx+1 3? 2 7. 若 f(x)是偶函数, 其定义域为 R 且在[0, +∞)上是减函数, 则 f? ?-4?与 f(a -a+1)的大小关系是________. 8.已知函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x)=x2-x+2,求 f(x),g(x)的解析式.

ax+b ?1?=2. 9.函数 f(x)= 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f ?2? 5 1+x 证明 f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t-1)+f(t)<0.

(1)确定函数 f(x)的解析式;

(2)用定义

第一章 集合与函数概念
分类讨论思想在集合中的应用

章末复习课

分类讨论思想是高中的重要数学思想之一,分类讨论思想在与集合概念的结合问题上,主要是以集合作为 一个载体,与集合中元素结合加以考查,解决此类问题关键是要深刻理解集合概念,结合集合中元素的特 征解决问题. 1.由集合的互异性决定分类 【例 1】 设 A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知 A∩B={9},则实数 a=________.

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2.由空集引起的讨论 【例 2】 已知集合 A={x|-2≤x≤5},集合 B={x|p+1≤x≤2p-1},若 A∩B=B,求实数 p 的取值范 围. 数形结合思想在函数中的应用 数形结合是本章最重要的数学思想方法,通过画出函数的图象,使我们所要研究的问题更加清晰,有助于 提高解题的速度和正确率. 【例 3】 设函数 f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3), (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域.

变式迁移 3 当 m 为何值时,方程 x2-4|x|+5=m 有 4 个互不相等的实数根?

等价转化思想的应用 数学问题中, 已知条件是结论成立的保证. 但有的问题已知条件和结论之间距离比较大, 难以解出. 因此, 如何将已知条件经过转化,逐步向所求结论靠拢,是解题过程中经常要做的工作.变更条件就是利用与原 条件等价的条件去代替,使得原条件中隐含的因素显露出来,使各种关系明朗化,从而缩短已知条件和结 论之间的距离,找出它们之间的内在联系,以便应用数学规律、方法将问题解决. 【例 4】 对任意 x∈[1,+∞),不等式 x2+2x-a>0 恒成立.求实数 a 的取值范围.

变式迁移 4 已知函数 f(x)= mx2+mx+1的定义域为 R,求 m 的取值范围.

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课时作业 1.设集合 S={x||x-2|>3},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则 a 的取值范围是( ) A.-3<a<-1 B.-3≤a≤-1 C.a≤-3 或 a≥-1 D.a<-3 或 a>-1 2.若偶函数 f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( ) 3? 3? ? 3? ? 3? A.f? B.f(-1)<f? D.f(2)< f ? - ? <f(-1) ?-2?<f(-1)<f(2) ?-2?<f(2) C.f(2)<f(-1)<f?-2? ? 2? 3.如果奇函数 f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值为 3,那么 f(x)在区间[-5,-1]上是( ) A.增函数且最小值为 3 B.增函数且最大值为 3 C.减函数且最小值为-3 D.减函数且最大值为-3 4.定义在区间(-∞,+∞)的奇函数 f(x)为 增函 数,偶函 数 g(x) 在 区 间 [0,+∞) 的图 象 与 f(x) 的图 象重合,设 a<b<0,给出下列不等式: ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). 其中成立的是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 5.已知 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图所示,则函数 F(x)=f(x)· g(x)的图象可以是( )

6.设全集 U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},则实数 a 的值为________. 7.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=______. 8.有下列四个命题: |x| ①函数 f(x)= 为偶函数;②函数 y= x-1的值域为{y|y≥0}; |x-2| 1? ? ③已知集合 A={-1,3},B={x|ax-1=0,a∈R},若 A∪B=A,则 a 的取值集合为?-1,3?; ? ? ④集合 A={非负实数},B={实数},对应法则 f:“求平方根”,则 f 是 A 到 B 的映射. 写出所有正确命题的序号________. 9.设奇函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,若不等式 f(ax+6)+f(2-x2)<0 对于任意 x∈[2,4]都成 立,求实数 a 的取值范围.

ax2+1 10.设函数 f(x)= (a,b,c∈N)是奇函数,且 f(1)=2,f(2)<3. bx+c (1)求 a,b,c 的值;
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(2)试研究 x<0 时,f(x)的单调性,证明你的结论.

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