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高考数学常见题型解法归纳反馈训练第93讲极坐标系与参数方程问题的处理(含答案)

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第 93 讲 极坐标系与参数方程问题的处理 【知识要点】 一、在平面内取一个定点 O 为极点,引一条射线 OX 为叫做极轴,再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向(通常取逆时针方向) ,这样就建立了一个极坐标系 .对于平面内的点 M ,设 | OM |? ? , ? ? ?XOM ,称 ? 、 ? 为点 M 的极径、极角,有序数对 ( ? ,? ) 就叫做 M 的极坐标. 二、直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任 意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ,则由三角函数的定义可以得到: ? ? x ? ? cos ? (求 ? y ? ? sin ? ?? 2 ? x2 ? y 2 ? 点的直角坐标的公式) ,? y (求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量). tan ? ? ? x ? 表示过原点且倾斜角为 ? 的直线 , ? =? 表示过原点且倾斜角为 ? 的向上的射 ? =? (? ? R) (? ? 0) 线. 三、参数方程的定义:一般地,在平面直角坐标中,如果曲线 C 上任一点 M 的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 í ì ì ? x = f (t ) ? x = f (t ) ,反过来,对于 t 的每个允许值,由函数式 í 所确定的点 M ( x, y ) 都在曲线 C 上, y = g ( t ) y = g ( t ) ? ? ? ? ì ? x = f (t ) 叫做曲线 C 的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 是参变数,简称参数.相对于参数方程 ? y = g (t ) ? 那么方程 í 而言,直接给出点的坐标间关系的叫普通方程. 四、常见曲线的参数方程: (1)圆 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2 的参数方程为 ? ? x ? x0 ? r cos? ( ? 为参数) ; ? y ? y 0 ? r sin ? (2)椭圆 ? x ? a cos? x2 y2 ? 2 ? 1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ; 2 a b ? y ? b sin ? x2 y2 ? ? 1 的参数方程 a2 b2 2 (3)双曲线 ? x ? a sec? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b tan? ? x ? 2 pt 2 (4)抛物线 y ? 2 px 参数方程 ? ; ( t 为参数) ? y ? 2 pt 1 (5)过定点 P( x0 , y0 ) 、倾斜角为 ? 的直线的参数方程 ? ? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数).当动点 A 在定点 ? y ? y 0 ? t sin ? P( x0 , y0 ) 上方时, t ? 0, 且t ?| PA| . 当动点 B 在定点 P( x0 , y0 ) 下方时, t ? 0, 且t ? ? | PB| . 【方法讲评】 方法一 解题步骤 转化法 先把已知条件都化成直角坐标,再利用解析几何的知识解答. ? x ? 2+t , 【例 1】 【2017 课标 3,理科 22】在直角坐标系 xoy 中,直线 l1 的参数方程为 ? (t 为参数), ? y ? kt , ? x ? ?2 ? m, ? (m为参数) 直线 l2 的参数方程为 ? .设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. m y? , ? k ? (1)写出 C 的普通方程; (2

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