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高考数学常见题型解法归纳反馈训练第93讲极坐标系与参数方程问题的处理(含答案)

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第 93 讲 极坐标系与参数方程问题的处理 【知识要点】 一、在平面内取一个定点 O 为极点,引一条射线 OX 为叫做极轴,再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向(通常取逆时针方向) ,这样就建立了一个极坐标系 .对于平面内的点 M ,设 | OM |? ? , ? ? ?XOM ,称 ? 、 ? 为点 M 的极径、极角,有序数对 ( ? ,? ) 就叫做 M 的极坐标. 二、直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任 意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ,则由三角函数的定义可以得到: ? ? x ? ? cos ? (求 ? y ? ? sin ? ?? 2 ? x2 ? y 2 ? 点的直角坐标的公式) ,? y (求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量). tan ? ? ? x ? 表示过原点且倾斜角为 ? 的直线 , ? =? 表示过原点且倾斜角为 ? 的向上的射 ? =? (? ? R) (? ? 0) 线. 三、参数方程的定义:一般地,在平面直角坐标中,如果曲线 C 上任一点 M 的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 í ì ì ? x = f (t ) ? x = f (t ) ,反过来,对于 t 的每个允许值,由函数式 í 所确定的点 M ( x, y ) 都在曲线 C 上, y = g ( t ) y = g ( t ) ? ? ? ? ì ? x = f (t ) 叫做曲线 C 的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 是参变数,简称参数.相对于参数方程 ? y = g (t ) ? 那么方程 í 而言,直接给出点的坐标间关系的叫普通方程. 四、常见曲线的参数方程: (1)圆 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2 的参数方程为 ? ? x ? x0 ? r cos? ( ? 为参数) ; ? y ? y 0 ? r sin ? (2)椭圆 ? x ? a cos? x2 y2 ? 2 ? 1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ; 2 a b ? y ? b sin ? x2 y2 ? ? 1 的参数方程 a2 b2 2 (3)双曲线 ? x ? a sec? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b tan? ? x ? 2 pt 2 (4)抛物线 y ? 2 px 参数方程 ? ; ( t 为参数) ? y ? 2 pt 1 (5)过定点 P( x0 , y0 ) 、倾斜角为 ? 的直线的参数方程 ? ? x ? x0 ? t cos ? ( t 为参数).当动点 A 在定点 ? y ? y 0 ? t sin ? P( x0 , y0 ) 上方时, t ? 0, 且t ?| PA| . 当动点 B 在定点 P( x0 , y0 ) 下方时, t ? 0, 且t ? ? | PB| . 【方法讲评】 方法一 解题步骤 转化法 先把已知条件都化成直角坐标,再利用解析几何的知识解答. ? x ? 2+t , 【例 1】 【2017 课标 3,理科 22】在直角坐标系 xoy 中,直线 l1 的参数方程为 ? (t 为参数), ? y ? kt , ? x ? ?2 ? m, ? (m为参数) 直线 l2 的参数方程为 ? .设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. m y? , ? k ? (1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ (cosθ +sinθ )? 2 =0,M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径. 【点评】本题就是转化法解答极坐标与参数方程问题的典型例子.第 2 问直接把条件化成直角坐标再解 答,比较直接,解题效率也比较高. 【反馈检测 1】在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? x ? 2cos ? ? 1, ( ? 为参数) .以平 ? y ? 2sin ? 面直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? . 2 (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C1 和 C2 公共弦的长度. 方法二 解题步骤 用极坐标解决解析几何问题 把已知条件化成极坐标,再利用极坐标的知识解答. 【例 2】 【2017 课标 II,理 22】在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? 4 . (1) M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 | OM | ? | OP |? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐 标方程; (2)设点 A 的极坐标为 (2, ? 3 ) ,点 B 在曲线 C2 上,求 △OAB 面积的最大值. (2)设点 B 的极坐标为 ? ? ,? ? ? ? >0? ,由题设知 OA =2,? B B B =4cos? , S? 1 ?? ? OA ? ? B ? sin ?AOB ? 4 cos ? ? sin ? ? ? ? 2 3? ? ?? 3 ? ? 2 sin ? 2? ? ? ? ? 2? 3 3? 2 ? 当 ? =- ? 12 时,S 取得最大值 2+ 3 ,所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3 . 【点评】(1)本题的两问,如果用直角坐标来解答,思路难找,计算量大,解题效率低. 如果用极坐标 来解答,问题就简单了很多. (2)怎么联想到利用极坐标解答呢?因为已知里面有信息,譬如,第 1 问中, | OM | 就是点 M 的极径, | OP | 就是点 P 的极径,并且点 M , P 的极角相同,所以用极

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