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高中数学第4讲(必修1)函数的值域与最值

时间:2012-04-14


第 4讲
函数的值域与最值

理解函数的单调性、 理解函数的单调性、值域和最 值的概念; 值的概念 ; 掌握求函数的值域和最 值的常用方法与变形手段. 值的常用方法与变形手段.

1.函数y=3x(-1≤x≤3,且x∈Z)的值 1.函数 =3x 1≤x≤3, 函数y . 域是 {-3,0,3,6,9} 由-1≤x≤3,且x∈Z?x=-1,0,1,2,3, 1≤x≤3, 代入y=3x 得所求值域为{ 3,0,3,6,9}. 代入y=3x,得所求值域为{-3,0,3,6,9}. 1 2.函数f(x)= 2.函数 函数f (x 的值域是( 2 (x∈R)的值域是( B ) 1+ x A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] B.( C.[ D.[0,1] 1 函数f (x ),所以 x 所以1+ 函数f(x)= 1 + x 2 (x∈R),所以1+x2≥1, 所以原函数的值域是(0,1] 所以原函数的值域是(0,1].

3.函数f(x)=x2-2x(x∈[0,4])的最大值 3.函数 )=x 函数f 0,4] 是 8 ,最小值是 -1 . f(x)=(x-1)2-1. )=(x 当x=1时,f(x)min=-1; =1时 当x=4时,f(x)max=42-2×4=8. =4时 f(x 1 4.函数f(x)= x + (x≤-1/2)的值域是 (-∞,-2]. 4.函数 函数f (x 1/2)的值域是 ∞,x 1 x 当x=-1时, + 取最大值-2. 取最大值x

5. 已 知 x≥0 , y≥0 , 且 x+2y=1 , 则 3 2x+3y2的最小值为 4 .

因为x+2y=1, ≥0, ≥0, 因为x+2y=1,x≥0,y≥0, 所以0≤2y≤1?0≤y 所以0≤2y≤1?0≤y≤ 2x+3y2=2-4y+3y2=3(y- 2 )2+ 2 , +3y =2=3(y
1 , 2

3 3 1 所以当y 所以当y= 时, 2 1 2 2 2 3 2) (2x+3y min=3( - ) + = . (2x+3y 3 4 2 3

1.函数的值域与最值 1.函数的值域与最值 (1)函数的值域是① 函数值 的集合,它是由定义 函数的值域是① 的集合, 域和对应法则共同确定的, 域和对应法则共同确定的 , 所以求值域时应 注意函数的② 注意函数的② 定义域 . (2)函数的最值. 函数的最值. 设函数y 设函数 y=f(x) 的定义域为 I , 如果存在实数 M 满 的定义域为I 如果存在实数M 对于任意的x 都有f )≤M 足 : (ⅰ) 对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M;(ⅱ) 存 )=M 在 x0∈I, 使 得 f(x0)=M, 则 称 M 是 函 数 y=f(x) 的 ③ 最大值 .类似地可定义f(x)的最小值. 类似地可定义f 的最小值.

2.基本初等函数的值域 (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为④ 一次函数y kx+ 的值域为④ (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域: 二次函数y bx+ 的值域: 4ac ? b 2 ,+∞) ; a>0 值域为⑤ 当a>0时,值域为⑤ [
4a 4a

R.

当a<0时,值域为⑥ (-∞, a<0 值域为⑥ . k (3)反比例函数y= (k≠0)的值域为⑦ {y|y≠0} . 反比例函数y 的值域为⑦ xx (4) 指 数 函 数 y=a (a>0 且 a≠ 1 ) 的 值 域 为 ⑧ (0,+∞) .

4ac 4ac ? b 2 ] 4a

(5)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的值域为 对数函数y R. ⑨ (6) 正 、 余 弦 函 数 y=sinx(x∈R) 、 =sinx [ y=cosx(x∈R)的值域为⑩ -1,1] ;正切 =cosx 的值域为⑩ 1,1] π =tanx 函 数 y=tanx(x≠kπ+ ,k∈Z) 的 值 域 2 为 11 R .

3.求函数的值域(最值)常用的方法 3.求函数的值域(最值) 求函数的值域 (1)二次函数用配方法 (1)二次函数用配方法. 二次函数用配方法. (2)单调性法 (2)单调性法. 单调性法. (3)复合函数的值域由中间变量的范围确定. 复合函数的值域由中间变量的范围确定. 此外还有换元法、数形结合法、 此外还有换元法、数形结合法、基本不等式 法等. 法等. (4)导数法(选修内容). 导数法(选修内容) 4. 若 f(x) 为闭区间 [ a,b ] 上的连续函数 , 则 为闭区间[ 上的连续函数, f(x)在[a,b]上一定有最大、最小值. 上一定有最大、最小值.

典例精讲
题型一 值域与最值的关系 例1 已知函数 y=f(x) 的值域为集合 D , 已知函数y 的值域为集合D
函数y 函数y=f(x)的最大值、最小值分别为M、 的最大值、最小值分别为M N,则M、N、D的关系是( ) 的关系是( D A.D=[N A.D=[N,M] C.D ? C.D? [N,M] B.M B.M>D>N D.M D.M、N∈D

不妨设f )=3 不妨设 f(x)=3x(-1≤x≤3 , 且 x∈Z) , 可知D={可知D={-3,0,3,6,9},M=9,N=-3,可 错误, 知,A、B、C错误,选D. 函数的值域是函数值的集合, 点评 1. 函数的值域是函数值的集合 , 函数的最值是该集合中的元素. 函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数 当函数y =[N 时 , D=[N , M] , 其 中 N=f(x)min , M=f(x)max.

题型二 函数值域的求法
求函数f )=lg(1- 的值域. 例2 求函数f(x)=lg(1-x2)的值域. 由1-x2>0,得f(x)的定义域为{x|的定义域为{ 1<x<1} , 且 f(x) 为 偶 函 数 , 故 可 考 虑 0≤x<1时的情况,此时,f(x)为减函数, 时的情况,此时, 为减函数, )≤f )=1 所以f 的值域为{ 故f(x)≤f(0)=1,所以f(x)的值域为{y|y≤1}.

点评
1. 函数的值域由定义域和对应法则一并确 故应特别注意定义域对其值域的制约. 定,故应特别注意定义域对其值域的制约. 2.求值域的常用方法有: 求值域的常用方法有: 1°观察法:一看定义域;二看函数性质; 观察法:一看定义域;二看函数性质; 三列举. 三列举. 2°函数单调性法(见例2). 函数单调性法(见例2

3°转换法. 转换法. ①转换为基本函数(或条件基本函数), 转换为基本函数(或条件基本函数), 如 y= Ax2+Bx+C=0. Bx+
k ax + b 与 y= cx + d x
a1 x 2 + b1 x + c1 的关系,y= 的关系,y= a x 2 + b x + c 与 2 2 2

②转换为几何问题,数形结合. 转换为几何问题,数形结合. ③转换为三角函数问题,利用三角函数的 转换为三角函数问题, 有界性. 有界性. 4°不等式法. 不等式法. 5°导数法. 导数法.

变式 求下列函数的值域: 求下列函数的值域:
(1) y=2x2-4x+1; =2x (2) y=log 1 (3) y=
2 +1 2x ?1
x

2

4 ? x2

;

.

这些都是求复合函数的值域, 分析 这些都是求复合函数的值域 , 可通过中间变量的取值范围结合简 单函数的值域来求. 单函数的值域来求.

(1)因为 (1)因为t=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3, 因为t +1=(x 3≥所以2 所以2t≥2-3= (2)因为 t (2)因为0<t= 因为0< (3)y= (3)y=
2x ? 1 + 2 2x ? 1

1 1 ,所以该函数的值域为 ,所以该函数的值域为[ ,+∞). 所以该函数的值域为[ ,+∞). 8 8

≤2,所以 所以log 1 4 ? x 2 ≤2,所以log t≥log
2

1 2=2=-1, 2

故该函数的值域为[ 1,+∞). 故该函数的值域为[-1,+∞). =1+
2 2x ?1

.

该函数定义域为{ ≠0, 该函数定义域为{x|x≠0,x∈R}, 所以所以-1<2x-1<0或2x-1>0, 1<0或 从而y 从而y<-1或y>1, 1)∪ 1,+∞) 所以该函数的值域为( 所以该函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

题型三 函数的值域与最值的综合问题
已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). 例2 已知函数f )=x ax+ (1)若函数f(x)的最小值为0,求a的值; 若函数f 的最小值为0 的值; ( 2 ) 若函数 f(x)≥0 对任意 x∈R 都恒成立 , 若函数f )≥0 对任意x 都恒成立, 求函数g )=2 的最小值. 求函数g(a)=2-a|a+3|的最小值.

因为f )=(x +2a+6(1)因为f(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2, =0,所以2 +6- =0, 且f(x)min=0,所以2a+6-4a2=0, (2)因为f(x)≥0,由△≤0知,2a2-a+3≤0, 因为f )≥0,由 ,2a +3≤0, 所以g )=2- +3|=2- +3)=所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-a2-3a+2 所以当a 所以当a=-1时,g(a)min=4.
3 2 17 -(a+ ) + (a∈[- 3 , -1]), (a 4 2 2

3 所以a 所以a=-1或a= . 2

3 解得- 解得- ≤a≤ -1. 2

点评
1. 因为二次函数 f(x) 在 R 上连续 , 所以 因为二次函数f 上连续, f(x) 的 最 小 值 为 0 , 即 f(x) 的 值 域 为 f(x) [0,+∞). ,+∞). 2.由于函数的最值不过是函数值域中的 一个元素而已, 一个元素而已,故求值域的方法都适 用于求函数的最值. 用于求函数的最值.

方法提炼
1.配方法:主要适用于二次函数或利用换元 配方法: 技巧转化为二次函数, 技巧转化为二次函数,要特别注意自变量 和新变量的范围. 和新变量的范围. 2.均值不等式法:利用基本不等式或均值不等 均值不等式法: 式求最值时,一定要注意等号成立的条件. 式求最值时,一定要注意等号成立的条件. 3.函数单调性法. 函数单调性法. 4.导数法. 导数法. 5.数形结合法:常用于条件及要求最值的表 数形结合法: 达式有明显的几何意义. 达式有明显的几何意义.

课后再做好复习巩固. 课后再做好复习巩固. 谢谢! 谢谢!

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