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2017届高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程应用能力提升 文

时间:2016-07-25


第 8 节 函数与方程

【选题明细表】 知识点、方法 函数零点的判断及所在区间 函数零点的个数问题 函数零点的应用 题号 1,2,3,5,7 4,11,13,14 6,8,9,10,12,15,16

基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2015 高考安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A ) (A)y=cos x (B)y=sin x 2 (C)y=ln x (D)y=x +1 解析:y=cos x 是偶函数,且存在零点; y=sin x 是奇函数; y=ln x 既不是奇函数又不是偶函数; 2 y=x +1 是偶函数,但不存在零点. 故选 A. x 2 2.(2015 重庆模拟)已知函数 f(x)=e -x +8x,则在下列区间中 f(x)必有零点的是( B ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) -2 2 解析:根据零点存在性定理,看所给区间的端点值是否异号,f(-2)=e -(-2) +8×(-2)<0, -1 2 f(-1)=e -(-1) +8×(-1)<0,f(0)=1, 所以 f(-1)f(0)<0, 那么函数在区间(-1,0)内必有零点. 2 3.二次函数 f(x)=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x y -3 6
2

-2 m

-1 -4

0 -6 A )

1 -6

2 -4

3 n

4 6

可以判断方程 ax +bx+c=0 的两根所在的区间是( (A)(-3,-1)和(2,4) (B)(-3,-1)和(-1,1) (C)(-1,1)和(1,2) (D)(-1,3)和(4,+∞)

解析:由表格可得二次函数 f(x)的对称轴为 x= ,a>0,再根据 f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0, 可得 f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4), 2 即方程 ax +bx+c=0 的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4). 4.(2016 潍坊模拟)已知函数 f(x)=( ) -sin x,则 f(x)在[0,2π ]上的零点个数为( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:零点就是使得函数值为 0 的 x 值. 由( ) -sin x=0? ( ) =sin x,
x x x

1

在同一坐标系中作出 y=( ) ,y=sin x 在[0,2π ]上的图像如图,可以看出交点个数为 2.

x

5.(2015 荆门模拟)方程 lg x=8-2x 的根 x∈(k,k+1),k∈Z,则 k 等于( B ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:令 f(x)=lg x+2x-8, 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,且在(0,+∞)上连续, 因为 f(1)=-6<0,f(2)=lg 2-4<0, f(3)=lg 3-2<0,f(4)=lg 4>0, 所以 f(3)f(4)<0, 函数零点所在的区间是(3,4),所以 k=3. 6.已知函数 f(x)= 取值范围为( C ) (A)(-∞,0] (B)[0,1) (C)(-∞,1) (D)[0,+∞) 解析: 若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的

函数 f(x)= 的图像如图所示,当 a<1 时,函数 y=f(x)的图像与函数 y=x+a 的图像有两个交 点,即方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根. 2 7.(2015 洛阳模拟)函数 f(x)=log2(x -3x)-2 的零点是 . 2 解析:由 f(x)=0 得 log2(x -3x)=2, 2 x -3x-4=0, 解得 x=-1 或 x=4. 答案:-1 或 4 2 8.若二次函数 f(x)=x -2ax+4 在(1,+∞)内有两个零点,则实数 a 的取值范围为 解析:据二次函数图像应满足

.

2



解得 2<a< .

答案:(2, )

9.(2016 吉林实验中学模拟)若 f(x)=2sin(2x- )-m 在 x∈[0, ]内有两个不同的零点,则 m 的取值范围是 .

解析:因为函数 f(x)=2sin(2x- )-m 在区间[0, ]上递增,在[ , ]上递减,根据题意结合零点

存在性定理可知 f(x)max=f( )=2-m>0,且 f(0)=2sin(- )-m=-1-m≤0,且 f( )=2sin(π

- )-m=1-m≤0,解得 1≤m<2. 答案:[1,2) 2 10.设函数 f(x)=ax +bx+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的零点; (2)若对任意 b∈R,函数 f(x)恒有两个不同零点,求实数 a 的取值 范围. 解:(1)当 a=1,b=-2 时, 2 f(x)=x -2x-3, 令 f(x)=0,得 x=3 或 x=-1. 所以函数 f(x)的零点为 3 或-1. 2 (2)依题意,f(x)=ax +bx+b-1=0 有两个不同实根, 2 所以 b -4a(b-1)>0 恒成立, 2 即对于任意 b∈R,b -4ab+4a>0 恒成立, 2 2 所以有(-4a) -4×(4a)<0? a -a<0, 解得 0<a<1, 因此实数 a 的取值范围是(0,1). 11.判断函数 f(x)=1+4x+x - x 在区间(-1,1)内零点的个数,并说明 理由. 解:因为 f(-1)=1-4+1+ =- <0,
2 3

3

f(1)=1+4+1- = >0, 所以 f(x)在区间(-1,1)内有零点. 2 又 f′(x)=4+2x-2x =-2(x+1)(x-2), 当-1<x<1 时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(-1,1)内单调递增, 因此,f(x)在(-1,1)内有且仅有一个零点. 能力提升练(时间:15 分钟) 12.(2015 淮南模拟)设函数 f(x)= 若关于 x 的方程 a[f(x)] -f(x)=0 恰有三个不
2

同的实数解,则实数 a 的取值范围为( B ) (A)(0,1] (B)[1,+∞) (C)[0,1] (D)(1,+∞) 2 解析:当 a=0 时, a[f(x)] -f(x)=0,即 f(x)=0, 不可能有三个不同的实数解,所以 a≠0; 2 由 a[f(x)] -f(x)=0 得 f(x)=0 或 f(x)= ,f(x)=0 时只有 x=1,

所以 f(x)= 应有两个实根.

结合函数 f(x)=

的图像可知,0< ≤1,a≥1.

13.函数 f(x)=( ) (A)2 (B)4

|x-1|

+2cos π x(-2≤x≤4)的所有零点之和等于( C ) (D)8

(C)6
|x-1|

解析:由 f(x)=( )

+2cos π x=0,

得( )

|x-1|

=-2cos π x,

令 g(x)=( )

|x-1|

(-2≤x≤4),

h(x)=-2cos π x(-2≤x≤4),

又因为 g(x)=( )

|x-1|

=

4

在同一坐标系中分别作出函数 g(x)=( ) (如图), 由图像可知,函数 g(x)=( )
|x-1|

|x-1|

(-2≤x≤4)和 h(x)=-2cos π x(-2≤x≤4)的图像

的图像关于 x=1 对称,

又 x=1 也是函数 h(x)=-2cos π x(-2≤x≤4)的对称轴,所以函数 g(x)=( )

|x-1|

(-2≤x≤4)和

h(x)=-2cos π x(-2≤x≤4)的交点也关于 x=1 对称,且两函数共有 6 个交点,所以所有零点之 和为 6. x 14.函数 f(x)=e ·|ln x|-1 的零点个数为 . 解析:

由 f(x)=0, x 即 e ·|ln x|-1=0, 得|ln x|= =( ) .
x

如图,分别作出函数 g(x)=|ln x|,h(x)=( ) 的图像,由图可知,两函数图像有两个交点,即函 数 f(x)有两个零点. 答案:2 x x 15.已知函数 f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. x x 解:f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点, x 2 x 即方程(2 ) +m·2 +1=0 仅有一个实根, x 2 设 2 =t(t>0),则 t +mt+1=0 仅有一个正实根. 2 当Δ =0 时,m -4=0,解得 m=2 或 m=-2, 而 m=-2 时,t=1; m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), x 所以 2 =1,x=0 符合题意.

x

5

当Δ >0,即 m>2 或 m<-2 时, 2 t +mt+1=0 有两正根或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. 所以这种情况不符合题意. 综上可知,m 的取值范围为{-2},f(x)有唯一零点,该零点为 0. 16.(2015 郑州模拟)已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0, 2 +∞)时,f(x)=x -2x. (1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围. 解:(1)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞). 因为 y=f(x)是奇函数, 2 2 所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x) -2(-x)]=-x -2x, 所以 f(x)= (2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x -2x=(x-1) -1,最小值为-1; 2 2 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x -2x=1-(x+1) ,最大值为 1. 所以据此可作出函数 y=f(x)的图像(如图所示),根据图像,若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解, 则 a 的取值范围是(-1,1).
2 2

精彩 5 分钟 1.(2016 淮南模拟)已知函数 f(x)=2|xsin x|,则函数 f(x)在区间 [-2π ,2π ]上的零点个数为( C ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解题关键:本题关键是判断函数奇偶性. 解析:函数 f(x)=2|xsin x|是偶函数, 在[0,2π ],y=sin x 的零点有 0,π ,2π ,y=x 的零点有 0, 因此,f(x)=2|xsin x|的零点有三个. 所以,函数 f(x)在区间[-2π ,2π ]上的零点个数是 5. 2.(2015 吉林模拟)已知函数 f(x)满足 f(x+1)=2

,且 f(x)是偶函数,当 x∈[-1,0]

时,f(x)=x ,若在区间[-1,3]内,函数 g(x)=f(x)-loga(x+2)有 4 个零点,则实数 a 的取值范围 是 . 解题关键:关键是画出 f(x)的图像,利用数形结合方法求参数范围. 解析:因为 f(x+1)=,

6

所以 f(x+2)=-

=f(x),

函数 f(x)周期为 2. 因此在区间[-1,3]内,要使函数 g(x)=f(x)-loga(x+2)有 4 个零点,需满足 loga(3+2)≤1 且 a>1,所以 a≥5.

答案:[5,+∞)

7


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