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2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.8立体几何中的向量方法二——求空间角和距离课件理

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§8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 内容索引 基础知识 题型分类 自主学习 深度剖析 课时作业 基础知识 自主学习 知识梳理 1.两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 l1与l2所成的角θ π (0, 2 ] |a· b| cos θ= |a||b| a与b的夹角β 范围 求法 [0,π] a· b cos β= |a||b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为 |a· n| θ,a与n的夹角为β,则sin θ=|cos β|= |a||n| . 3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l → → 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB,CD〉 . (2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量, 则二面角的大小θ满足|cos θ|= |cos〈n1,n2〉| ,二面角的平面角大小 是向量n1与n2的夹角(或其补角). 知识拓展 利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 → 设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则|AB|= |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2 . (2)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到 → → |AB · n| . 平面α的距离为 |BO|= |n| 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的 角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) π π (4)两异面直线夹角的范围是(0,2],直线与平面所成角的范围是[0,2], 二面角的范围是[ 0,π].( √ ) (5)若二面角α-a-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则 二面角α-a-β的大小是π-θ.( × ) 考点自测 1.(2017· 烟台质检)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的二面角为 A.45° C.45°或135° m· n 1 2 cos〈m,n〉= = = , |m||n| 1× 2 2 答案 解析 B.135° D.90° 即〈m,n〉=45°. ∴两平面所成的二面角为45°或180°-45°=135°. 2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m, 1 n〉=- ,则l与α所成的角为 答案 解析 2 A.30° B.60° C.120° D.150° 1 设 l 与 α 所成角为 θ,∵cos〈m,n〉=-2, 1 ∴sin θ=|cos〈m,n〉|=2, ∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.故选A. 3.(2016· 郑州模拟 ) 如图,在空间直角坐标系中有直三 棱柱 ABC - A1B1C1 , CA= CC1 = 2CB ,则直线 BC1 与直 线AB1所成角的余弦值为 5 A. 5 5 B. 3 答案 解析 5 C. 6 5 D. 4 设 CA =2 ,则C(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(0,0,1) ,C1(0,2,0) , B1(0,2,1) ,可得向 → → → → 量 AB1=(-2,2,1), 〉

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