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陕西省西安一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

时间:2017-03-06


陕西省西安一中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理科)
一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,本大题共 10 小 题,每小题 5 分,共 50 分) x 2 1.已知全集 U=R,集合 A={x|2 >1},B={x|x +3﹣4<0},则 A∩B 等于( ) A. (0,1) B. (1,+∞) C. (﹣4,1) D. (﹣∞,﹣4) 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. x 0 解答: 解:由 A 中的不等式变形得:2 >1=2 ,得到 x>0,即 A=(0,+∞) ; 由 B 中的不等式变形得: (x﹣1) (x+4)<0, 解得:﹣4<x<1,即 B=(﹣4,1) , 则 A∩B=(0,1) . 故选:A. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.已知复数 z 满足 z= A. B.﹣ (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数的虚部是( C. D.﹣ )

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部即可得出. 解答: 解:复数 z 满足 z= = = = ,

则 z 的共轭复数为

,其虚部为



故选:D 点评:本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部等基础知识,属于基础题.

3.若向量 , 满足| |=1,| |= A. B.

,且 ⊥ C.

,则 与 的夹角为( D.

)

考点:数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算.

专题:平面向量及应用. 分析:由题意可得 >的值 即可求得< 解答: 解:由题意可得 =0. 解得 cos< 再由< >=﹣ . >= , =0,即 1+1× >的值. =0,即 =0,∴1+1× ×cos< > ×cos< >=0,由此求得 cos<

>∈[0,π],可得<

故选 C. 点评:本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量夹角公式的应用,属于基础题. 4.二项式 A.5 展开式中的常数项是( B.﹣5 C.10 ) D.﹣10

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. 分析:求出展开式的通项公式,利用展开式的通项公式进行求常数项. 解答: 解:展开式的通项公式为 , 由 5﹣5r=0,解得 r=1 即展开式中的常数项为 .

故选:D. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,要求熟练掌握二项式定理的通项公式. 5.下列说法中,正确的是( ) 2 2 A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 2 2 B.命题“?x∈R,x ﹣x>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x≤0” C.命题“p∨q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 考点:命题的真假判断与应用. 2 分析:A 先写出逆命题再利用不等式性质判断;B 中“?x∈R,x ﹣x>0”为特称命题,否定时 为全称命题; C 命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题,只要有一个为真即可; D 应为必要不充分条件. 2 2 2 2 解答: A“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是“若 a<b,则 am <bm ”,m=0 时不正确;

B 中“?x∈R,x ﹣x>0”为特称命题,否定时为全称命题,结论正确; C 命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题,只要有一个为真即可,错误; D 应为必要不充分条件. 故选 B. 点评:本题考查命题真假的判断,问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特 称命题、命题的否定、充要条件等,考查面较广. 6.点(a,b)在直线 x+2y=3 上移动,则 2 +4 的最小值是( ) A.8 B.6 C. D. 考点:基本不等式. 专题:计算题. 分析:由题意可得,a+2b=3,然后由基本不等式可求 2 +4 解答: 解:由题意可得,a+2b=3 ∵2 +4
a a b b a b a b

2

,即可求解

=2

=4

(当且仅当 a=2b 即 a=

时取等号)

故 2 +4 的最小值 4 故选 C 点评:本题主要考查了基本不等式的简单应用,属于基础试题 7.执行如图的程序框图,如果输入 p=5,则输出的 S=( )

A.

B.

C.

D.

考点:程序框图. 专题:综合题;图表型;转化思想;综合法.

分析:观察框图,属于循环结构中的直到型,S 的初值为 0,第一次执行循环体后加进去 2
﹣1

,第二次执行循环体后加入 2 , . .第 n 次执行循环体后加入 2 ,由此明确其运算过程, 解答: 解:由图可以看出,循环体被执行五次,第 n 次执行,对 S 作的运算就是加进去 2
﹣n

﹣2

﹣n

故 S=2 +2 +…+2 =

﹣1

﹣2

﹣5

=

故选 C 点评: 本题考查程序框图循环结构, 求解本题的关键是从图中解决两个问题一个是循环的次 数,一个是做了什么运算,明白这两点,即可根据运算规则算了所求的数据,此类型的题是 近几年 2015 届高考中比较热的一种题型,以框图给出题面,用数列或是函数等别的知识进 行计算,对此类型题要多加注意. 8.如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f(x)=sinx(x∈(0,π) )及直线 x=a(a∈(0, π) )与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为 ,则 a 的值是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点:几何概型. 专题:计算题. 分析:由题意可得,是与面积有关的几何概率,分别求出构成试验的全部区域是矩形 OACB a a 的面积,构成事件 A 的区域即为阴影部分面积为∫0 sinxdx=﹣cosx|0 =1﹣cosa,代入几何概 率的计算公式可求 解答: 解:由题意可得,是与面积有关的几何概率 构成试验的全部区域是矩形 OACB,面积为:a× 记“向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分”为事件 A,则构成事件 A 的区域即为 阴影部分 a a 面积为∫0 sinxdx=﹣cosx|0 =1﹣cosa 由几何概率的计算公式可得 P(A)= a= 故选 B

点评: 本题是与面积有关的几何概率的计算, 求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面 积,考查了利用积分计算不规则图象的面积. 9.在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的 共有( ) A.36 个 B.24 个 C.18 个 D.6 个 考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题;分类讨论. 1 3 分析:各位数字之和为奇数的有两类:一是两个偶数一个奇数:有 C3 A3 种结果,所取得 3 三个都是奇数:有 A3 种结果,根据分类计数原理得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题, 各位数字之和为奇数的有两类: 1 3 ①两个偶数一个奇数:有 C3 A3 =18 个; 3 ②三个都是奇数:有 A3 =6 个. ∴根据分类计数原理知共有 18+6=24 个. 故选 B. 点评:本题考查分类计数问题,是一个数字之和是奇数还是偶数的问题,数字问题是排列组 合与计数原理的主角,经常出现,并且常出常新.

10.已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 为( A. ) B. C.

2

的一个焦点重合,则该双曲线的离心率

D.3

考点:双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题:计算题;压轴题. 分析:先求出抛物线 y =8x 的焦点坐标,由此得到双曲线 出 a 的值,进而得到该双曲线的离心率. 2 解答: 解:∵抛物线 y =8x 的焦点是(2,0) , 2 ∴c=2,a =4﹣1=3, ∴e= .
2

的一个焦点,从而求

故选 B. 点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要抛物线的性质进行求解. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.一位同学种了甲、乙两种树苗各 1 株,分别观察了 9 次、10 次后,得到树苗高度的数 据的茎叶图如图 (单位:厘米) ,则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是 52.

考点:茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题:概率与统计. 分析:根据茎叶图,可以得到树苗的高度的数据,按照从小到大排列,根据中位数的定义, 即可得到甲和乙的中位数,从而得到答案. 解答: 解:根据茎叶图可得, 观察甲树苗 9 次得到的树苗高度分别为:19,20,21,23,24,31,32,33,37, 观察乙树苗 10 次得到的树苗高度分别为:10,10,14,24,26,30,44,46,46,47, ∴甲树苗高度的中位数为 24,乙树苗高度的中位数为 =28,

∴甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和为 24+28=52. 故答案为:52. 点评:本题考查了统计中的茎叶图,众数、中位数、平均数等基本概念.众数是指在这组数 据中出现次数最多的一个数,中位数是指将数据从小到大排列,处于中间位置的数,如果中 间位置有两个数,则取这两个数的平均值,属于基础题. 12.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b =123. 考点:类比推理;等差数列的通项公式. 专题:规律型. 分析:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,所求值为数列中的第十项.根据数 列的递推规律求解. 解答: 解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…, 其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项. 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为 123, 10 10 即 a +b =123, . 故答案为:123. 点评: 本题考查归纳推理, 实际上主要为数列的应用题. 要充分寻找数值、 数字的变化特征, 构造出数列,从特殊到一般,进行归纳推理.
2 2 3 3 4 4 5 5 10 10

13.设函数

,则 f(x)≤2 时 x 的取值范围是[0,+∞) .

考点:对数函数的单调性与特殊点;分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据分段函数的表达式,解不等式即可,注意要对 x 进行分类讨论. 解答: 解:由分段函数可知,若 x≤1, 由 f(x)≤2 得, 2
1﹣x

≤2,即 1﹣x≤1,

∴x≥0,此时 0≤x≤1, 若 x>1, 由 f(x)≤2 得 1﹣log2x≤2, 即 log2x≥﹣1,即 x ,

此时 x>1, 综上:x≥0, 故答案为:[0,+∞) . 点评:本题主要考查分段函数的应用,利用分段函数的表达式讨论 x 的取值范围,解不等式 即可.

14.若实数 x,y 满足

且 z=2x+y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 .

考点:简单线性规划的应用. 专题:数形结合. 分析:先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直 线 z=2x+y 过可行域内的点 A 时,从而得到 b 值即可. 解答: 解:由约束条件作出可行域(如图) , 当平行直线系 y=﹣2x+z 经过可行域内的点 A( , z 取得最小值,即 2× + 故答案为: . =3,解之得 b= . )时,

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思 想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出 可行域、求出关键点、定出最优解. 三、 (极坐标系与参数方程)选做题(共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分) 15. (极坐标与参数方程选讲选做题) 极坐标系下曲线 ρ=4sinθ 表示圆, 则点 圆心的距离为 . 到

考点:点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式. 专题:计算题.

分析:利用极坐标与直角坐标的互化公式可得圆心的直角坐标,再把点 A 的坐标化为直角 坐标,利用两点间的距离公式即可得出. 解答: 解:由曲线 ρ=4sinθ 化为 ρ =4ρsinθ, 2 2 2 2 ∴x +y =4y,化为 x +(y﹣2) =4,可得圆心 C(0,2) . 由点 ∴A ∴|AC|= ,可得 . = . =2 ,yA= =2,
2

故答案为: . 点评:本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、两点间的距离公式,属于基础题. 四、 (几何证明选讲) (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 16.已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B, PB=1,则圆 O 的半径 R= .

考点:相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题:计算题;压轴题. 分析:连接 AB,根据弦切角定理及三角形相似的判定,我们易得△ PBA~△ ABC,再由相 似三角形的性质,我们可以建立未知量与已知量之间的关系式,解方程即可求解. 解答: 解:依题意,我们知道△ PBA~△ ABC, 由相似三角形的对应边成比例性质我们有 ,





故答案为: . 点评:在平面几何中,我们要求线段的长度,关键是寻找未知量与已知量之间的关系,寻找 相似三角形和全等三角形是常用的方法, 根据相似三角形的性质, 很容易得到已知量与未知 量之间的关系,解方程即可求解. 五、 (不等式选讲)选做题(共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 17. (不等式选讲选做题)若关于 x 的不等式 取取值范围是(﹣∞,0)∪ . 存在实数解,则实数 a 的

考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题:不等式的解法及应用.

分析:令 f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|,则 f(x)=

,如图所示.由于关于 x

的不等式

存在实数解? <f(x)max,解出即可.

解答: 解:令 f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|,

则 f(x)=

,如图所示.

∵关于 x 的不等式 ∴ <f(x)max=3, 解得 ,

存在实数解,

故 a 的取值范围是(﹣∞,0)∪ 故答案为(﹣∞,0)∪ .



点评: 本题考查了含绝对值的不等式的恒成立问题的等价转化、 数形结合等基础知识与基本 技能方法,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 2 18.已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x﹣2. (I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)当 时,求函数 f(x)的最大值,最小值.

考点:三角函数的周期性及其求法;三角函数中的恒等变换应用. 专题:计算题;综合题.

分析: (I)化简函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x﹣2.为一个角的一个三角函数的形式, 然后求函数 f(x)的最小正周期; (II) 小值. 解答: 解: (I) ∴f(x)的最小正周期为 π; (II) .∵ ∴ ∴ ∴当 . 时,函数 f(x)的最大值为 1,最小值 . ,∴ , . ,推出 ,再求函数 f(x)的最大值,最

2

2

点评:本题考查三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用,考查计算能力, 是基础题. 19.已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Sn. 考点:数列的求和;等差数列的性质. 专题:计算题. 分析: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项,a1=1,知 2a2=a1+ (a3﹣1)=a3,由此能求出数列{an}的通项公式. . (Ⅱ)由 bn=2n﹣1+an,知
2 n﹣1

(2n﹣1+2

n﹣1



=[1+3+5+…+(2n﹣1)]+(1+2+2 +…+2 ) ,由等差数列和等比数列的求和公式能求出 Sn. 解答: 解: (I)设等比数列{an}的公比为 q, ∵a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项,a1=1, ∴2a2=a1+(a3﹣1)=a3, ∴ =2,
n﹣1



=2

, (n∈N ) .

*

(Ⅱ)∵bn=2n﹣1+an, ∴ =[1+3+5+…+(2n﹣1)]+(1+2+2 +…+2 = +
2 n﹣1

(2n﹣1+2 )

n﹣1



=n +2 ﹣1. 点评:本题考查等差数列的通项公式的求法和数列求和的应用,解题时要认真审题,仔细解 答,熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式的灵活运用. 20. 如图, 直三棱柱 ABC﹣A′B′C′, ∠BAC=90°, AB=AC=λAA′, 点 M, N 分别为 A′B 和 B′C′ 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 A′ACC′; (Ⅱ)若二面角 A′﹣MN﹣C 为直二面角,求 λ 的值.

2

n

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合 题. 专题:计算题;证明题;转化思想. 分析: (I)法一,连接 AB′、AC′,说明三棱柱 ABC﹣A′B′C′为直三棱柱,推出 MN∥AC′, 然后证明 MN∥平面 A′ACC′; 法二,取 A′B′的中点 P,连接 MP、NP,推出 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′,然后 通过平面与平面平行证 MN∥平面 A′ACC′. (II) 以 A 为坐标原点, 分别以直线 AB、 AC、 AA′为 x, y, z 轴, 建立直角坐标系, 设 AA′=1, 推出 A,B,C,A′,B′,C′坐标求出 M,N,设 =(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量, 通过 ,取 ,设 =(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,



,取

,利用二面角 A'﹣MN﹣C 为直二面角,所以

,解 λ. 解答: (I)证明:连接 AB′、AC′, 由已知∠BAC=90°,AB=AC, 三棱柱 ABC﹣A′B′C′为直三棱柱, 所以 M 为 AB′中点, 又因为 N 为 B′C′的中点, 所以 MN∥AC′, 又 MN?平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′;

法二:取 A′B′的中点 P,连接 MP、NP, M、N 分别为 A′B、B′C′的中点, 所以 MP∥AA′,NP∥A′C′, 所以 MP∥平面 A′ACC′,PN∥平面 A′ACC′, 又 MP∩NP=P,因此平面 MPN∥平面 A′ACC′, 而 MN?平面 MPN, 因此 MN∥平面 A′ACC′. (II)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB、AC、AA′为 x,y,z 轴,建立直角坐标系,如图, 设 AA′=1,则 AB=AC=λ,于是 A(0,0,0) ,B(λ,0,0) ,C(0,λ,0) ,A′(0,0,1) , B′(λ,0,1) ,C′(0,λ,1) . 所以 M( ) ,N( ) ,

设 =(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量,



,得



可取



设 =(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,



,得



可取



因为二面角 A'﹣MN﹣C 为直二面角, 所以 ,
2

即﹣3+(﹣1)×(﹣1)+λ =0, 解得 λ= .

点评: 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定, 借助空间直角坐标系求平面 的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、 运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行 来证明. 21.某市为响应国家节能减排建设的号召,唤起人们从自己身边的小事做起,开展了以“再 小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动,其中有两则公益广告: (一)80 部手机,一年就会增加一吨二氧化氮的排放. (二)人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时,却不得不呼吸汽车排放的尾气. 活动组织者为了解是市民对这两则广告的宣传效果,随机对 10﹣60 岁的人群抽查了 n 人, 并就两个问题对选取的市民进行提问, 其抽样人数频率分布直方图如图所示, 宣传效果调查 结果如表所示. 宣传效果调查表 广告一 广告二 回答正 确人数 占本组 人数频率 回答正 确人数 占本组 人数频率 [10,20) 90 0.5 45 a [20,30) 225 0.75 k 0.8 [30,40) b 0.9 252 0.6 [40,50) 160 c 120 d [50,60] 10 e f g (1)分别写出 n,a,b,c,d 的值. (2)若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率,规定正确回答广告一的 内容得 30 元,广告二的内容得 60 元.组织者随机请一家庭的两成员(大人 45 岁,孩子 17 岁) ,指定大人回答广告一的内容,孩子回答广告二的内容,求该家庭获得奖金数 ξ 的分布 列及期望.

考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (1)利用频率分布直方图和统计表求解.

(2)由题意知,大人正确回答广告一内容的概率为 P(A)= ,孩子正确回答广告二的内 容的概率为 P(B)= ,ξ 可能取值为 0,30,60,90,分别求出相应的概率,由此能求出 该家庭获得奖金数 ξ 的分布列及期望. 解答: 解: (1)由题意知,[10,20)岁中抽查人数为 90÷0.5=180 人, [10,20)岁中抽查人数的频率为 0.015×10=0.15, ∴n=180÷0.15=1200. ∴a= c d= = ,b=(252÷0.6)×0.9=378. , = .

(2)由题意知,大人正确回答广告一内容的概率为 P(A)= , 孩子正确回答广告二的内容的概率为 P(B)= , 则 ξ 可能取值为 0,30,60,90, P(ξ=0)=(1﹣ ) (1﹣ )= , P(ξ=30)= P(ξ=60)=(1﹣ ) P(ξ=90)= = . = = , ,

∴ξ 的分布列为: ξ P ∴Eξ=

0

30

60

90

=35.

点评:本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 解题时要认真审题,注意概率知识的灵活运用. 22.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,其左、右焦点分别为 F1,F2,短轴长 为 2 .点 P 在椭圆 C 上,且满足△ PF1F2 的周长为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点(﹣1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,试问在 x 轴上是否存在一个 定点 M,使得 由. ? 恒为定值?若存在,求出该定值及点 M 的坐标;若不存在,请说明理

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (I)由题意知:

,由此能求出椭圆 C 方程.

(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,0) .设直线 l 的方程为:y=k(x+1) (k 存在) 联立 ,得: (4k +3)x +8k x+4k ﹣12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、
2 2 2 2

向量的数量积结合已知条件推导出存在

,使得



解答: 解: (I)由题意知:



解得



∴椭圆 C 方程为: (II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,0) . 设直线 l 的方程为:y=k(x+1) (k 存在) 联立 ,得: (4k +3)x +8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2

则 又

= 而

=

=

=

=

为定值.

只需 解得: ,从而

, = .

当 k 不存在时, 此时,当 故:存在 时, ,使得 . =

点评:本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的点的判断与求法,解题时要认真审题,注 意向量的数量积的合理运用. 23.已知函数 f(x)=x+ +b(x≠0) ,其中 a,b∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2) )处的切线方程为 y=3x+1,求函数 f(x)的解析式; (2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)若对于任意的 a∈[ ,2],不等式{an}在 n 上恒成立,求 Sn 的取值范围.

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最 小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的几何意义即可求得; (2)利用判断函数的单调性,注意对 a 分类讨论; (3)由题意得 解答: 解: (1)f′(x)=1﹣ 即可得出结论. ,由导数的几何意义得 f′(2)=3,于是 a=﹣8,

由切点 P(2,f(2) )在直线 y=3x+1 上可得﹣2+b=7, 解得 b=9,所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=x﹣ +9.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)f′(x)=1﹣ ,

当 a1=1 时,显然 f′(x)>0(x≠0) ,这时 f(x)在(﹣∞,0) ,{bn}内是增函数; 当 a>0 时,令 f′(x)=0,解得 x+± ; 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞ ) ﹣ (﹣ ,0) (0, ) ( ,+∞) f′(x) + 0 ﹣ ﹣ 0 +

f(x) ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以 f(x)在(﹣∞,﹣ ) , ( ,+∞)内是增函数,在(﹣ ,0) , (0, 减函数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (3)由(2)知,f(x)在 b1=1 上的最大值为 f( )与 f(1)中的较大者, 对于任意的 R,不等式 f(x) ,g(x)在 h(x)=kx+b 上恒成立, 当且仅当 即 ,

)内是

对任意的 x∈R 成立,从而得满足条件的 b 的取值范围是 f(x)≥h(x)≥g(x)﹣﹣﹣﹣ 点评:本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性,求函数最值等知识,考 查学生的运算求解能力,属于难题.


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