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2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质_图文

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新课标导学 数 学 选修2-1 ·人教A版 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 1 2 自主预习学案 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案 凉水塔的纵切面是双曲线,双曲线是非常优美的曲线, 也是我们的生产生活经常用到的曲线,因此,我们有必要 探究其有怎样的特性. 1.双曲线的简单几何性质 标准方程 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0) y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0) 图象 焦点 F1(- c,0)___ ,F F1(0,-c)__ ,______ F2(0,c ) ____ ________ ____ ____ ______ _____________ __ 2(c,0) 标准方程 焦距 范围 对称性 顶点 轴 离心率 渐近线 x2 y 2 a2-b2=1(a>0,b>0) y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0) |F1F2 |=2c ____ ________ ______ x__ ≥__ a __ ____ x____ ≤-__ a __或____ y≤- a y__ ≥__ a __ ____ ____ ____或____ 坐标轴 ;对称中心:________ 原点 对称轴:__________ A1(- a,0)______ ,A2(a,__ 0)_____ ____ A , A2(0__ ,______ a) ________ ____ ________ __ ____ _ 1(0,-a) 2a 1A2 __,长:____ 1B2 __, 实轴:线段__A ____ ____;虚轴:线段__B ____ 2b____;半实轴长:__a b __ 长:____ ____,半虚轴长:____ c (1,+∞) a e=______ ∈________________ a b y = ± y= ± ____ ______ __________ bx ____ ax ____ 2.等轴双曲线 x2-y2=a2 实轴和虚轴等长的双曲线,标准方程为______________. x2 2 1.双曲线 4 -y =1 的实轴长为 A.4 C. 3 B.2 D.1 ( A ) x2 y2 x2 2 [解析] ∵双曲线a2-b2=1 的实轴长为 2a, ∴双曲线 4 -y =1 的实轴长为 2a =4. y2 2 2.(江西九江一中 2017-2018 期末)双曲线 4 -x =1 的离心率 e= 5 A. 2 5 C.2 B. 3 D. 5 ( A ) y2 2 [解析] 双曲线 4 -x =1 中,a=2,b=1,则 c= 12+22= 5,则双曲线的 5 c 离心率 e=a= 2 ,故选 A. 5 3.中心在坐标原点,离心率为3的双曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方 程为 5 A.y=± 4x 4 C.y=± 3x 4 B.y=± 5x 3 D.y=± 4x ( D ) x2 y2 x2 y2 4.若双曲线 4 - 5 =1 与椭圆a2+16=1 有共同的焦点,且 a>0,则 a 的值为 ( A ) A.5 C. 15 B. 7 D. 17 3 x2 2 3 5.已知双曲线a2-y =1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=______. x2 2 1 [解析] 双曲线a2-y =1(a>0)的渐近线方程为 y=± ax, 3x+y=0?y=- 3 1 3 x,∵a>0,则-a=- 3,a= 3 . 互动探究学案 命题方向1 ?已知双曲线的方程,研究其几何性质 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点 坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草 图. [思路分析] 将双曲线方程化成标准方程,求出a、b、c 的值,然后依据各几何量的定义作答. 典例 1 [规范解答] 2 2 x y 将 9y2-4x2=-36 变形为 9 - 4 =1, x2 y2 即32-22=1,∴a=3,b=2,c= 13, 因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4, 13 c 离心率 e=a= 3 , 2 b 渐近线方程 y=± ax=± 3x. 作草图如图: 『规律总结』 1.已知双曲线方程讨论其几何性质,应 先将方程化为标准形式,找出对应的a、b,利用c2=a2+b2 求出c,再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离 心率、渐近线方程. 2.画双曲线图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、 2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点,然后根据双曲线的 变化趋势,就可画出双曲线的草图. 〔跟踪练习 1〕 x2 y2 求双曲线 3 - 4 =1 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标. [解析] 由题意知 a2=3,b2=4, 所以 c2=a2+b2=3+4=7,解得 a= 3,b=2,c= 7. 因此,双曲线的实轴长 2a=2 3,虚轴长 2b=4. 顶点坐标为(- 3,0)、( 3,0), 焦点坐标为(- 7,0)、( 7,0). 命题方向2 ?由双曲线的性质求双曲线的方程 典例 2 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,实轴长与虚轴长之比为 ,且 经过点 P( 6,2),求双曲线方程; 5 (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为3,且经过点 M(-3,2 3),求双曲线 方程; (3)若双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0,且两顶点间的距离是 6,求双曲线方 程. [规范解答] y2 x2 a 2 (1)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0).由题意知b=3.又∵双 4 6 曲线过点 P( 6,2),∴a2-b2=1, ?a 2 4 ? 2 ?b=3 ?a = 3.

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