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江西省红色七校2019届高三第一次联考数学(文)试题(解析版)

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江西省红色七校 2019 届高三第一次联考数学(文)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)
1.已知集合 A. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 A,根据交集的定义写出 【详解】集合 集合 则 故选:B. 【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题,是基础题目. 2.设 A. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出. 【详解】 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.已知数列 A. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 为等差数列,若 B. ,则 C. 1 的值为 D. . 是虚数单位 ,则 B. () C. D. , . 即可. , ,集合 B. , C. D.

由等差数列的性质得 【详解】 数列

从而

,由此能求出 , .

的值.

为等差数列, ,解得 , .

故选:D. 【点睛】本题考查正切值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用. 4.已知平面向量 A. 【答案】D 【解析】 【分析】 由共线向量可知 【详解】 , ,解得 故可得 故选:D. 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示,属基础题. 5.已知双曲线 A. 【答案】D 【解析】 试题分析:由已知 ,故选 D. 考点:双曲线的几何性质. ,即 ,所以 , ,所以渐近线方程为 B. 的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为 C. D. ,可得 y 值,进而可得向量 的坐标,由向量的运算可得结果. ,且 , ,


B.

,且

,则 C. D.

6.设 , 是非零向量,“ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】A 【解析】

”是“

”的( ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

,由已知得 是 ,此时 ,故“ ”是“

,即



.而当

时,

还可能

”的充分而不必要条件,故选 A.

考点:充分必要条件、向量共线.

7.设

是定义在 上的周期为 的周期函数,如图表示该函数在区间 __________.

上的图象,则

【答案】2 【解析】 分析:由题意结合函数的周期性和函数的图象整理计算即可求得结果. 详解:由题意可得: f(2018)=f(2018﹣673× 3)=f(﹣1)=2, f(2019)=f(2019﹣673× 3)=f(0)=0, 则 故选:D. 点睛:本题考查了函数的周期性,函数的图象表示法等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力, 属于中等题. 8.若函数 A. 【答案】C 【解析】 B. 在区间 上为增函数,则实数 的取值范围是 C. D. .

【分析】 求 讨论 ,根据题意可知 的取值,从而判断 ; 是否在 在 上恒成立,可设 时,容易求出 ,法一: ,显然满足

上恒成立:

时,得到关于 m 的不等式组,这样求出 m 的范围,和前面求出的 m 范围求并集即可,

法二:分离参数,求出 m 的范围即可. 【详解】 由已知条件知 设 法一: 若 则需: , 综上得 , ; 在 , ; 恒成立, 若 ,即 解得 时, ,则 在 ,即 ,或 ; ; 恒成立; 上恒成立; ,满足 , 在 上恒成立;

实数 m 的取值范围是 法二:问题转化为 而函数 故

故选:C. 【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系,熟练掌握二次函数的图象,以及判别式 和二次函数取值的关系. 9. 已知某运动员每次投篮命中的概率都是 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次 命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6 ,7 ,8 ,9 ,0 表示不命中;再以每三个随机数作为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907, 966, 191, 925, 271, 932, 812,458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989.据此估计,该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为 ( ) A. 0.25 【答案】D 【解析】 B. 0.2 C. 0.35 D. 0.4 的取值情况

试题分析:由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示 三次投篮恰有两次命中的有:191、271、932、812、393.共 5 组随机数, ∴所求概率为 考点:模拟方法估计概率 10. A. 【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理,两角和的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式化简已知等式 ,可求 的值,进而根据正弦定理可得 ,结合范围 的内角 的对边分别为 B. ,已知 C. , , D. ,则角

的值,结合大边对大角可求 C 为锐角,利用特殊角

的三角函数值即可求解. 【详解】 由正弦定理可得: 又 可得: , ,可得: 又 , , , ,可得: , , , ,

由正弦定理可得: ,C 为锐角, . 故选:D.



【点睛】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式,大边对大角, 特殊角的三角函数值在解三角形中的应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题. 11. 下列命题: ①“在三角形 中,若 ,则 ”的逆命题是真命题;

②命题 ③“ ④“若



,命题 ”的否定是“

则 是 的必要不充分条件; ”; ,则 ”;

”的否命题为“若

其中正确的个数是( ) A. 1 【答案】C 【解析】 试题分析: 对于①“在 若 或 则 “ 命题为“若 ,则 , 则 , 得不到 ,即能得到 中, 若 , 则 ” 的逆命题为“在 中, 若 , 则 ”, , , B. 2 C. 3 D. 4

, 根据正弦定理可知, , 比如 ,或 ”的否定是“ , ,

, 所以逆命题是真命题, 所以①正确; 对于②, 由 , 不是 的充分条件; 若 , 则一定有

是 的必要条件,

是 的必要不充分条件,所以②正确;对于③, ,则 ”的否

” ,所以③不对;对于④“若

”;所以④正确,故选 C.

考点:1、四种命题及其关系;2、充要条件及全称命题的否定. 12.已知函数 是 上的可导函数,当 的零点个数是( ) A. 0 【答案】B 【解析】 试题分析:令 ,为增函数,当 数,故在区间 时, . ,为减函数,函数 的零点个数是 . 在区间 ,即当 时, 上为增函 B. 1 C. 2 D. 3 时,有 ,则函数

上有一个交点.即

考点:1.函数与导数;2.零点. 【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点,如本题中的 转化为 , 也就是左右两个函数图象的交点个数, 函数 ,即当 在区间 时, 的零点,可以 上为增函数, , 为增函数, 当

通过已知条件分析 时, ,为减函数,由此判断这两个函数在区间

上有一个交点.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
13.点 到抛物线 准线的距离为 2,则 的值为______.

【答案】 或 【解析】 【分析】 求出抛物线的准线方程,利用已知条件列出方程求解即可. 【详解】抛物线 ,解得 故答案为: 或 【点睛】本题考查抛物线方程,简单性质的应用,注意抛物线方程的标准方程的应用,是易错题. 14.已知实数 【答案】 【解析】 【分析】 先作出不等式组所表示的平面区域,由于 可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率,结合图形可求 斜率最大值. 满足 ,则 的最大值是______. 的标准方程为: 或 . ,准线方程为: ,

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域如图所示, 由于 可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率 结合图形可知,当直线过 OB 时斜率最小,OA 斜率最大,

由于

可得

,此时

故答案为: . 【点睛】利用线性规划求最值的步骤: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义, 将目标函数进行变形. 常见的类型有截距型 ( 和距离型( 型) . 型) 、 斜率型 ( 型)

(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。 15.若 【答案】 【解析】 【分析】 利用两角和的正弦公式,余弦公式,二倍角公式化简已知等式,可求 数基本关系式可求 算求值得解. 【详解】 两边平方可得, ,可得: 由 又 解得: ,可得: ,解得: ,可得: , , , ,两边平方,可得: . 故答案为: . , , , 的值,利用二倍角的余弦函数公式可求 , ,进而利用同角三角函 , , , ,则 ______.

,利用两角和的余弦函数公式即可计

【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式,余弦函数公式,二倍角公式,同角三角函数基本关系 式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 16.菱形 边长为 , ,将 沿对角线 翻折使得二面角 的大小为 ,已知

、 、 、 四点在同一球面上,则球的表面积等于__________.

【答案】 【解析】

如图,点 以

分别为

外接圆的圆心,点 为球心,因为菱形 , ,故答案为 . ,

边长为 ,

,所

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)
17.在 中, 所对应的边分别为 ,且 .

1 求角 的大小; 2若 ,将函数 的图象,求函数 【答案】 (1) ; (2) 【解析】 【分析】 1 由题意利用余弦定理求得 得 的值,可得角 A 的大小; 2 利用函数 的图象变换规律求 的图象向右平移 个单位后又向上平移了 2 个单位,得到函数

的解析式及单调递减区间. , , .

的解析式,再利用正弦函数的单调性,求得单调递减区间. 中, , ,将函数 , , . 的图象向右平移 个单位后又向上平移了 2 个单位,得到函数 , ,

【详解】 1

令 故函数 的单调减区间为

,求得 , .



【点睛】本题主要考查余弦定理,函数 题. 18.设数列 1 求数列 2 设数列 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 1 由已知得 通项公式; 2 由 【详解】 1 数列 , 又 , , , , 满足: , ,从而推导出 满足: , ,且

的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基础

的通项公式; , ,设 的前 项和 证明: .

; (2)证明见解析.

是首项为 1,公差为 的等差数列,由此能求出数列 . ,



,利用裂项相消法能证明 ,且

是首项为 1,公差为 的等差数列, ,

2 证明: 数列

, ,

, .

故 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和小于 1 的证明,是中档题,解题时要认 真审题,注意裂项求和法的合理运用.这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法; 数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系,求 表达式,一般是写出 做差得通项,但是这种方法

需要检验 n=1 时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。 19.已知如图, 平面 ,四边形 为等腰梯形, , .

(1)求证:平面 (2)已知 为

平面

; 与平面 所成角的正弦值.

中点,求

【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1) 连接 平面 ,可得 , ∴ 可求得 , 过 作 ,从而可得 于 , 过 作 平面 于 , 由三角形内角和定理可得 , 由

,由面面垂直的判定定理可得结论; (2)由(1)知, 距离为 , 根据“等积变换”

为直角三角形, 为 ,进而可得 与平面

中点, 设 到平面 所成角的正弦值. 于 ,过 作 ,∴ , .

试题解析: (1)连接 在等腰梯形 ∴ ∴ ∵ ∴ 又 平面 ,∴ 平面 即 ,

,过 作

于 .

中,∵ ,则 , 平面 , 平面





平面 ,∴平面

.

(2)∵由(1)知, ∴ ∵ ∴

,∴

为直角三角形, 为 ,

中点,设 到平面

距离为 ,

, ,



,∴

.



与平面

所成角的正弦值等于

.

20.某校高一 图.

班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如

1 求分数在 2 求分数在 3 若要从分数在 数在

的频数及全班人数; 之间的频数,并计算频率分布直方图中 间矩形的高;

之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分

之间的概率. ; (3) .

【答案】 (1)2,25; (2) 【解析】 【分析】 1 先由频率分布直方图求出

的频率,结合茎叶图中得分在

的人数即可求得本次考试的总人 内的人数,从而可

数; 2 根据茎叶图的数据,利用 1 中的总人数减去 计算频率分布直方图中

外的人数,即可得到

间矩形的高; 3 用列举法列举出所有的基本事件,找出符合题意得基本事

件个数,利用古典概型概率计算公式即可求出结果. 【详解】 1 分数在 由茎叶图知: 分数在 全班人数为 2 分数在 之间的频数为 2, . 之间的频数为 间的矩形的高为 ; . 的频率为 ,

频率分布直方图中

3将 在 ,

之间的 3 个分数编号为 , , , 之间的试卷中任取两份的基本事件为: , , , , ,

之间的 2 个分数编号为 , ,







共 10 个,

其中,至少有一个在 故至少有一份分数在

之间的基本事件有 7 个, 之间的概率是 .

【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质,以及古典概型概率计算公式的应用,此题是基础 题.对于古典概型,要求事件总数是可数的,满足条件的事件个数可数,使得满足条件的事件个数除以 总的事件个数即可. 21.已知函数 f(x)=x2-ax-alnx(a∈R). (1)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求证:f(x)≥- + 【答案】(1) a=1.(2) 见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据极值的定义即导函数的变号零点,求导使得 f′(1)=0,解得 a=1;并检验 a=1 时 1 是函数的变号零点即可(2)构造函数 g(x)=f(x)- 这个函数的最小值大于等于 0 即可. 解析: (1)解 f′(x)=2x-a- ,由题意可得 f′(1)=0,解得 a=1.经检验,a=1 时 f(x)在 x=1 处取得极 值,所以 a=1. (2)证明 由(1)知,f(x)=x2-x-lnx, 令 g(x)=f(x)- = - +3x-lnx- , -3(x-1)= (x>0),可知 g(x)在(0,1)上是减函数, -4x+ 成立. , ,研究这个函数的单调性,使得 -4x+ .

由 g′(x)=x2-3x+3- =

在(1,+∞)上是增函数,所以 g(x)≥g(1)=0,所以 f(x)≥- + 22.已知椭圆 的直线的距离是 . 的右焦点 与抛物线

的焦点重合,原点到过点

1 求椭圆 的方程; 2 设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ,过 作 的垂线与直线 交于点 ,求证:点 在

定直线上,并求出定直线的方程. 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 1 由抛物线的焦点坐标求得 ,结合隐含条件得到 ,再由点到直线的距离公式得到关于 a, ; (2)证明见解析, .

b 的另一关系式,联立方程组求得 a,b 的值,则椭圆方程可求; 2 联立直线方程和椭圆方程,消去 y 得 到 , 由 判 别 式 等 于 0 整 理 得 到 求得 P 的坐标,然后写出直线 方程为 , 代 入 ,联立方程



,求得

,即说明点 Q 在定直线 ,得 ,

上.

【详解】 1 由抛物线的焦点坐标为 因此 直线 AB: , ,即

. , , ;

原点 O 到直线 AB 的距离为 联立 ,解得: ,

椭圆 C 的方程为

2由

,得方程 且 , ,即 ,解得 代入 , 式,得 ,

, ,

由直线与椭圆相切,得 整理得: 将 即







,则



直线

方程为



联立方程组 点 Q 在定直线 上.

,得



【点睛】本题考查了椭圆方程的求法,考查了点到直线距离公式的应用,考查了直线和圆锥曲线的关系, 训练了两直线交点坐标的求法,是中档题.圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点,一般难度较大, 计算较复杂,考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法: (1)从特殊入手,求出定值,再 证明这个定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.解题 时,要将问题合理的进行转化,转化成易于计算的方向.


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