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圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

时间:2015-12-17


寒假文科强化(四) :圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法
【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过 定点问题,设 该直线(曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标满足的方程 (组) ,求出相应的直线(或曲线) ,然后再利用直线(或曲线)过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题一种思路 是进行一般计算推理求出其结果;另一种是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少, 然后再进行一般性证明或计算,即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式,证明 该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现,特殊方法往往比较奏效. 题型一 :定点问题 法一:特殊探求,一般证明; 法二:设该直线(曲线)上两点的坐标,利用点在直线(曲线)上,建立坐标满足的方程 (组) ,求出相应的直线(曲线) ,然后再利用直线(曲线)过定点的知识加以解决。

例 1 设点 A 和 B 是抛物线 y 2 ? 4 px ( p ? 0) 上原点以外的两个动点,且 OA ? OB ,求证 直线 AB 过定点。 解:取 kOA ? 1, kOB ? ?1写出直线 AB 的方程; 再取 kOA ?

A

3 , kOB ? ? 3 写出直线 AB 的方程;最后求出两条直线 3

O B

的交点,得交点为 (4 p, 0) 。 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) , 由 题 意 得 y12 ? 4 px1 , y22 ? 4 px2 , 两 式 相 减 得

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4 p( x1 ? x2 ) , 即

k?

4p , y1 ? y2

? 直线 AB 的方程为 y ? y1 ?

y2 4p ( x ? 1 ) ,整理得 4 px ? ( y1 ? y2 ) y ? y1 y2 ? 0 ① y1 ? y2 4p
y12 y2 2 ? ? y1 ? y2 ? 0 ,? y1 y2 ? ?16 p2 4p 4p

又? OA ? OB ,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,?

? 直线 AB 的方程为 4 px ? ( y1 ? y2 ) y ?16 p2 ? 0 ②把 (4 p, 0) 代入直线 AB 得方程恒成
立, 所以直线 AB 过定点 (4 p, 0) 解:由上得 4 px ? ( y1 ? y2 ) y ?16 p ? 0 ②
2

? 16 p 2 又 y1 y 2 ? ?16 p , ? y 2 ? , y1
2

代入 ②

得 4 px ? ( y1 ?

16 p 2 2 ) y ? 16 p 2 ? 0 ,整理得 yy1 ? 4(4 p ? x) y1 ? 16 p 2 y ? 0 , y1

?y ? 0 ? ? ?4 p ? x ? 0 ?16 p 2 y ? 0 ?

?x ? 4 p ?? ?y ? 0

? 直线 AB 过定点 (4 p, 0)

【变式演练 1】已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离 的最大值为 3 ,最小值为 1 . (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点 ) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

题型二

定值问题 (1)通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,然后再进行一般性证明或 计算, 即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式, 证明该式是恒定的.

解题方法

如果试题以客观题形式出现,特殊方法往往比较奏效. (2)进行一般计算推理求出其结果。

例 2: 过抛物线 m : y ? ax2( a > 0) 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P, Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p, q ,则 p ?1 ? q ?1 的值必等于( A. 2 a B. ) . D.

1 2a

C. 4 a

4 a

抛物线 y ? ax ( a >0)的焦点 F (0,
2

又由 l ? m ,消去 x 得

1 1 1 ) ,准线 y ? ? . ∴ l : y ? kx ? 4a 4a 4a y

16a2 y2 ? 8a(1 ? 2k 2 ) y ?1 ? 0
P

1 ? 2k 1 , y1 y2 ? ∴ y1 ? y2 ? , 2a 16a 2
2

F

Q
O
M
图 1
右焦点的任一弦, 若过椭圆中

x
N

∴ p?q ? ∴ p ?q
?1

1? k 2 1 1 1? k 2 , pq ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? ? a 4a 16a 2 4a 2

?1

? 4a .

[来源:Zxxk.Com]

例 3. B 是经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1. (a ? b ? 0) a 2 b2

心O的弦 MN

// AB ,求证: | MN |2 : | AB | 是定值

解析:对于本题, MN , AB 分别为中心弦和焦点弦,可将其倾斜角退到 0°,此时有 .下面再证明一般性. | MN |2 ? 4a 2 , | AB |? 2a , | MN |2 :| AB |? 2a (定值) 设平行弦 MN 、 AB 的倾斜角为 ? ,则斜率 k ? tan ? ,MN 的方程为 y ? (tan ? )?x 代入椭

4a 2 b 2 1 ,另一方面,直线 圆方程,又∵ | MN |? (1 ? k ) | x1 ? x2 | 即得 | MN | ? 2 ○ b ? c 2 sin 2 ?
2

2

AB 方 程 为 y ? t a n ? x (? c . ) 同 理 可 得 | AB |2 ?
(定值) |MN2 | : |A B ?| 2 a 关于②式也可直接由焦点弦长公式得到. 例 4.设

2ab2 2 b2 ? c 2sin ?

2 ○

1 ○ 2 可知 由○

上的两点,已知向量

, 点. (Ⅰ)求椭圆的方程;

,若 m·n=0 且椭圆的离心率

短轴长为 2, 为坐标原

(Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c),(c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 【答案】 解: (Ⅰ)由题意知

椭圆的方程为

(Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为

由已知 得:

(Ⅲ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即

,由 m·n=0





在椭圆上,所以



所以 S =

所以三角形 AOB 的面积为定 值 (2).当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

,



所以三角形的面积为定值.

【高考精选传真】[来源:学科网 ZXXK] 1. (2012 年江苏省 16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

e) 和 ? e , 右焦点分别为 F1 (?c , 0) .已知 (1 , 0) , F2 (c ,
心率. (1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P.

【解析】 (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e) 在椭圆上,得 ,由点 (1 , a

12 a
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 ,∴ c 2 =a 2 ? 1 。

由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? e2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a2 ? 1 3 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 2 2 4 4 1 4 a b a a
∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1, 0) , F2 (1,
= x ?1 , m= y ?x , 1 A? x1,y 1?,B ? x , ∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 m y ,y >10,y >20 。 2 y ?2

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 ∴直线 AF1 的斜率为

1 2 = m 2

(ii) 证明: ∵ AF1 ∥ BF2 , ∴

BF PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 PB ? ?1 ? 2 ?1? ? , 即 。 PF1 AF1 PF1 AF1 PF1 AF1

∴ PF1 =

AF1 BF1 AF1 ? BF2

2.【2012 高考真题上海理 22】 (4+6+6=16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 :

2 x 2 ? y 2 ? 1.
(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的 三角形的面积;

(2) 设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、 若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切, 求证: OP ? OQ ; Q 两点, (3)设椭圆 C 2 : 4 x 2 ? y 2 ? 1,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON , 求证: O 到直线 MN 的距离是定值.

由?

? y ? x?b 2 2 ,得 x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1
? x1 ? x2 ? 2b .(lb ylfx) 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ? 又 2,所以

OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2
? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM | ? | ON | )d ?| OM | | ON | ,
2 2 2 2 2

所以 d12 ?

1 |OM | 2

1 ? |ON ? |2

3k 2 ? 3 k 2 ?1

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 3、 (2012 高考真题福建理 19) 如图,椭圆 E :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 e ? 。过 F1 2 2 a b

的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点

Q 。试探究:
在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点

M 的坐标;若不存在,说明理由。

(Ⅰ)设 c ? a2 ? b2 则e ?

c 1 ? ? a ? 2c ? 3a 2 ? 4b 2 a 2

?ABF2 的周长为

AB ? AF2 ? BF 2 ? 8 ? AF 1? AF 2 ? BF ? 1 BF ? 28 ? 4a ? 8 ? a ? 2, b ? 3, c ? 1

x2 y 2 ? ?1 椭圆 E 的方程为 4 3

【反馈训练】

1.过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 M(x0,y0)(y0≠0),作两条直线分别交抛物 线于 A(x1,y1)、B(x2,y2),当 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补时,则 于( A.-2 C.4 ) B.2 D.-4

y1+y2 等 y0

2.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,并且满足 OA⊥OB, 则 y1y2 等于( A.-4p2 C.-2p2 ) B.-3p2 D. -p2

4、 过点 M(p,0)任作一条直线交抛物线 y =2px(p>0)于 P、 Q 两点,则 值为 ( )

2

+



A.

B.

C.

D.

5、 椭圆 值为(

=1(a>b>0)上两点 A、 B 与中心 O 的连线互相垂直, 则 )



A.

B.

C.

D.

6、已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有 ( )

A.

+

=4

B.

+

=2

C.e12+e22=4

D.e12+e22=2

7、 已知定点 M ( x0, y0 ) 在抛物线 m : ( p >0) 上, 动点 A, B ? m 且 MA? 求 MB ? 0 . y2 ? 2 px 证:弦 AB 必过一定点.

???? ????

8、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上位于 x 轴两侧的两点.O 为坐标原点. (1)若 y1 y2 ? ?2 p, 证明直线 AB 恒过一个定点; (2)若 OA ? OB ,证明直线 AB 恒过一个 定点。

A

O B

【变式演练详细解析】 【变式演练 1 详细解析】

0) , 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 D(2,

? k AD kBD ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
? 3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?9m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .

【变式演练 2 详细解析】

解: (Ⅰ)由题意知

椭圆的方程为 (Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为





在椭圆上,所以



所以 S =

[来 源:学 |科| 网 Z|X| X|K]

所以三角形 AOB 的面积为定 值 (2).当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

,



所以三角形的面积为定值. 【反馈训练详细解析】

2 2 y1 y2 2 代入①得 · +y1y2=0,解得 y1y2=-4p . 2p 2p

3、 【解析】本题可用特殊值法.不妨设弦 AB 为椭圆的短轴.M 为椭圆的右顶点,

则 A(0,b),B(0,-b),M(a,0).所以 4、 【解析】 不妨取 PQ⊥x 轴,则 P(p,
p),Q(p,p),∴|MP|=

.故选 B.
p,|MQ|= p.
[来源:Zxxk.Com]



+

=

.

5、 【解析】 假设 A、 B 为椭圆的长轴和短轴的顶点, 则
排除选项 A、B、C,选 D.

=

=

.

6、【解析】设椭圆长轴长为 2a1,双曲 线实轴长为 2a2,焦距均为 2c,



∴|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.

∵PF1 与 PF2 垂直,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.

∴(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,∴2a12+2a22=4c2.∴

+

=2.

∵ x1 ? x0 ?

1 1 ( y12 ? y0 2 ) ? ( y1 ? y0 )( y1 ? y0 ) 2p 2p

x2 ? x0 ?

1 1 ( y2 2 ? y0 2 ) ? ( y2 ? y0 )( y2 ? y0 ) 2p 2p

∴③式可化为

2p 2p ? ? ?1 , y1 ? y0 y2 ? y0

即 4 p2 ? ?[ y1 y2 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y02 ] . 将①②代入得, n ? 2 p ? my0 ? x0 . 直线 AB 方程化为: x ? my ? 2 p ? x0 ? my0 ? m( y ? y0 ) ? x0 ? 2 p . ∴直线 AB 恒过点 ( x0 ? 2 p, ? y0 ) . 8、 【解析】1、 (1)解: l AB : y ? y1 ?

y2 ? y1 2p ( x ? x1 ) ? ( x ? x1 ) x2 ? x1 y1 ? y2

即y?

2 px1 yy 2p 2p 2p x? ? y1 ? x? 1 2 ? ( x ? 1) . y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

所以过定点(1,0).

(2)因为 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?

??? ? ??? ?

y1 y2 ? y1 y2 ? 0 ,得 y1 y2 ? ?4 p2 4 p2

所以 y ?

2 px1 yy 2p 2p 2p x? ? y1 ? x? 1 2 ? ( x ? 2 p) y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2
[来源:Z&xx&k.Com][ 来源:学科网]

直线 AB 过定点(2P,0).

且有 x1 x2 ? ??x2 ? ?8?y2 ? ?16.
2

抛物线方程为 y ?

1 2 1 x , 求导得 y ? ? x. 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 8 4 1 1 1 1 1 1 2 y ? x1 ( x ? x1 ) ? y1 , y ? x 2 ( x ? x 2 ) ? y 2 , 即y ? x1 x ? x12 , y ? x2 x ? x2 . 4 4 4 8 4 8 x ?x xx x ?x 解出两条切线的交点Q的坐标为( 1 2 , 1 2 ) ? ( 1 2 , ?2) 2 8 2

所以NO ? AB ? (

x1 ? x2 1 2 1 2 1 2 ? x12 ) ? 4( x 2 ? x1 ) ? 0 ,?4) ? ( x 2 ? x1 , y1 ? y 2 ) ? ( x 2 2 8 8 2

所以 NQ ? AB 为定值,其值为 0. 10、 【解析】假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使MA·MB为常数.设 A(x1,y1),B(x2,





y2).
①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x +1),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5,消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5 =0.

? ?x +x =- 6k , 3k +1 则? 3k -5 ? x ·x = . ? 3k +1
2 1 2 2 2 1 2 2

Δ =36k -4?(3k +1??)(3k -5?)>0,

4

2

2

13、设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
x2 y 2 解:(1)因为椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a b
2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 , OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8


(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 2





= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? 2k 2 2 2 k (2m ? 8) 4k m 2 m ? 8k , 要 y y ? ( kx ? m )( kx ? m ) ? k x x ? km ( x ? x ) ? m ? ? ? m ? ? 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2 1 ? 2k 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

??? ?

??? ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,所 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

以k ?
2

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所 以 ? 2 ,所以 m ? ,即 m ? 或 3 8 3 ? 3m ? 8

m??

2 6 , 因 为 直 线 y ? k x? m为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 3

r?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

8 m2 8 2 6 2 2 ? ,r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,此时圆的 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8

切 线 y ? k x? m 都满足 m?

2 6 2 6 或 m?? ,而当切线的斜率不存在时切线为 3 3

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的 两 个 交点 为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 与椭圆 x?? 8 4 3 3 3 3 3 ???? ???? 8 2 2 ,综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒 O A? O B 3 ??? ? ??? ? 有两个交点 A,B,且 OA ? OB .
4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 2 m ? 8 ? xx ? 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 )2

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 )
2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1

①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 2

所以

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) , 所以此时 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时 , 两个交点为 (

| AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭 圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有 关参数问题以及方程的根与


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高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

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圆锥曲线定点定值 技巧方法

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圆锥曲线中的定点定值问题

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圆锥曲线中的定点、定值和最值问题

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圆锥曲线中的定点定值问题 例讲

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